probleme de logique combinatoire

[Al126]

Bonjour
j'essaie de resoudre un probleme en logique combinatoire et j'arrive a un resultat mais il y a une incohérence.
Je dois etablir une equation, un un logigramme, et une table de verité du shema en piece jointe:
Il me semble que l'equation : (non A*B)+(A*C)
simplement en developpant j'obtiens: (non A*C)+(b*a)+(b*c).

table de vérité:
A B C L
0 0 0 0
0 0 1 1 (nonA*nonB*C)
0 1 0 0
0 1 1 1 (nonA*B*C)
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1 (A*B*nonC)
1 1 1 1 (A*B*C)

et en repartant de la verité pour former une equation: (nonA*nonB*C)+(nonA*B*C)+(A*B* nonC)+ (A*B*C)=(nonA*C)(nonB+B)+(A*B) (nonC+C)= (nonA*C)+(A*B).
Ce qui ne correspond plus à la premiére résolution !
Merci pour votre aide.

Pièce jointe supprimée
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[JPL]

Toutes les illustrations doivent être postées dans un format graphique (gif, png, jpg). Merci.

[Al126]

OK, je change le format du fichier.

[Jack]

Il me semble que l'equation : (non A*B)+(A*C)

Aie!
en parallèle c'est un OU, alors qu'en série, c'est un ET. C'est assez logique d'ailleurs. Donc L = (/a + b) . (a + c) (A développer)

Rq: ce fil me semble avoir davantage sa place en électronique. Si ça manque de participants, je transférerai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'aime assez les différentes écritures de la logique (algèbre de Boole).
"OU" , "OR" , "+" , "parallèle" , "||" etc. représentent la même notion : si "a" est vrai OU "b" est vrai alors "c" est vrai.
"ET" , "AND" , "." , "série" , "&&" etc. représentent la même notion ; si "a" ET "b" sont vrais tous les deux alors "c" est vrai. (on utilise plutôt le point que l'étoile)
Il y a aussi l'opérateur unaire NOT. De nombreux langages informatique utilisent '!' (le point d'exclamation).
Avec ces trois opérateurs on peut décrire toutes les opération logiques.
Exemple : le "OU exclusif", c'est à dire "a OU b" mais pas les deux.

[Chanur]

Il me semble que l'equation : (non A*B)+(A*C)
simplement en developpant j'obtiens: (non A*C)+(b*a)+(b*c).

Ben non : c'est déjà développé et tu donne une autre forme développée qui, à l'évidence n'est pas équivalente à la première.

[Jack]

Bonjour,
J'aime assez les différentes écritures de la logique (algèbre de Boole).
"OU" , "OR" , "+" , "parallèle" , "||" etc. représentent la même notion : si "a" est vrai OU "b" est vrai alors "c" est vrai.
"ET" , "AND" , "." , "série" , "&&" etc. représentent la même notion ; si "a" ET "b" sont vrais tous les deux alors "c" est vrai. (on utilise plutôt le point que l'étoile)
Il y a aussi l'opérateur unaire NOT. De nombreux langages informatique utilisent '!' (le point d'exclamation).
Avec ces trois opérateurs on peut décrire toutes les opération logiques.
Exemple : le "OU exclusif", c'est à dire "a OU b" mais pas les deux.

En même temps, on est un peu limité au niveau de l'éditeur du forum.

[Al126]

Ma demande d'aide est justement que les deux equations celle qui part du shema (non A*C)+(b*a)+(b*c) et celle qui part de la table de vérité (nonA*C)+(A*B) sont différentes ! Il doit y avoir une erreur de calcul, mais je ne la trouve pas. Il est clair que la deuxiéme n'est pas exacte, car il manque possibilité de L=1 si (a+b).
Merci de vos interventions.

[Dlzlogic]

En même temps, on est un peu limité au niveau de l'éditeur du forum.

Bonsoir Jack,
J'ai remarqué que chaque utilisateur de l'algèbre de Boole utilise des symboles différents. Mais ce qui me semble intéressant est que quelsque soient ces symboles, il représentent exactement la même chose. Et je crois que si un étudient prend conscience de cela, tout le reste n'est plus que détail. En fait, je crois que cette liste que j'ai donnée est très limitative et qu'il y a des quantités d'autres "écritures". En d'autres termes, cette notion ET, OU, NOT est extrêmement générale. Pardon de faire un petit [HS], mais c'est en fait la question.
Bonne soirée.

[PrRou_]

Pardon de faire un petit [HS], mais c'est en fait la question.

En effet, c'est un HS... qui n'a rien à voir avec la question, à mon avis.
A mes yeux, la question porte sur la propriété de distributivité de OU par rapport à ET (et réciproquement) et la mauvaise compréhension que Al126 en a (puisqu'il aboutit après calcul à une contradiction).

[PrRou_]

Il me semble que l'equation : (non A*B)+(A*C)
simplement en developpant j'obtiens: (non A*C)+(b*a)+(b*c).

Montre nous tes calculs, on te diras où il y a une erreur.

PS. (non A*B)+(A*C) n'est pas une équation (il n'y a pas de signe =, il n'y a pas d'inconnues à chercher, ...) mais simplement une expression en A,B,C.

[Jack]

C'est vrai pourtant que l'équation tirée du schéma donne L = /a.c + a.b + b.c alors que celle de la table de vérité (après simplification) donne L = /a.c + a.b

Si on fait un tableau de Karnaugh, on voit bien que le terme b.c correspond à un regroupement possible mais pas obligatoire.

[Al126]

On peut l'appeler comme on veut. L= (non A*B)+(A*C). Qu'importe. En sortie on a les conditions pour L=1.
(non A*C)+(B*A)+(B*C) != (nonA*C)+(A*B).
La premiere equation est trouvée en lisant le shema ci joint (troisieme message), la deuxieme en partant de la table de verité (voir premier message)

[Jack]

L= (non A*B)+(A*C)

D'où sort cette équation? Il est évident qu'elle est fausse. Par exemple, le 1er terme /a.b voudrait dire que la sortie est vraie si on appuie sur b et pas sur a. A l'évidence, le schéma montre que c'est faux.

[Jack]

La premiere equation est trouvée en lisant le shema ci joint (troisieme message)

Donc tu n'as pas lu ma réponse (4ème message)

[jiherve]

Bonsoir
Nota ! en logique se prononce : pouet.
ce qui fait que !!a se prononce pouet pouet a , à partir de 4 on joue la 5emme de Beethoven mais on prononce pom pom pom pom
Ceci dit l’équation logique sortie du tableau est bien l = !a&c + a&b ce qui revient à un switch SPDT : a c'est le levier et b et c les entrées L la sortie ou bien 1/4 de 74157

pas grand chose à voir avec le schéma.
JR

[Jack]

Pourtant la table de vérité semble correcte.

[Al126]

je suis un peu perdu dans les explications.
L'equation est bien:
L= (!a+b).(a+c)

[Stan_94]

Bonjour,
Ah l'algébre de Boole, ça me rappelle de bons souvenirs du lycée... (si, si)

Je confirme que la sortie L correspondante au schéma est bien donnée par L = (!a + b) . (a + c)
et je confirme aussi que la table de vérité est bonne.
mais pas la correspondance des lignes de la table en terme d'algébre de Boole.
a b c L
Ecrire : 0 0 1 1 comme (nonA*nonB*C) est juste pour cette ligne, qui pourrait s'écrire également A + B + C
de même écrire :
0 1 1 1 comme (nonA*B*C) est aussi juste et peut aussi s'écrire A + B + C
mais le "L" entre ces 2 lignes, prises seules, n'est pas une seule et même chose !
Il n'y a donc aucun sens a en combiner les différentes lignes entre elle. Ou alors c'est moi qui ne capte plus rien, avec l'âge

En algébre de bools, on peut juste développer via la régle de distributivité : (!a + b) . (a + c) = !a.c + a.b + b.c
Ce qui est bien conforme au schéma et à la table.

[Jack]

(nonA*nonB*C) est juste pour cette ligne, qui pourrait s'écrire également A + B + C

J'avoue ne pas comprendre ce que tu veux dire.

Il n'y a donc aucun sens a en combiner les différentes lignes entre elle

Pourtant si, l'équation finale de L est un OU des lignes pour lesquelles L est égale à 1

[Stan_94]

Hello,

(nonA*nonB*C) est juste pour cette ligne, qui pourrait s'écrire également A + B + C

c'est pour reprendre ce qui est écrit sur le premiers post, à coté de la table de vérité

table de vérité:
A B C L
0 0 0 0
0 0 1 1 (nonA*nonB*C)
0 1 0 0
0 1 1 1 (nonA*B*C)
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1 (A*B*nonC)
1 1 1 1 (A*B*C)

la ligne 0 0 1 -> 1 , on peux effectivement bien l'écrire !A . !B . C mais sauf erreur de ma part aussi A + B + C ou on pourrait encore trouver d'autre façon de combiner A, B et C pour vérifier 0 0 1 donne 1 !
C'est pour ça que je ne pense pas qu'il soit juste de combiner par un OU les 4 lignes données dans la table de vérité. Mais je ne saurais pas le justifier rigoureusement !

PS : Je préfére l'utilisation du "!" pour "non", du "." pour le "*" et du "+" pour le "OU"

[Jack]

la ligne 0 0 1 -> 1 , on peux effectivement bien l'écrire !A . !B . C mais sauf erreur de ma part aussi A + B + C

Je ne comprends pas comment tu peux en venir à cette égalité.

Pour faire apparaitre des +, on peut éventuellement utiliser De Morgan et dans ce cas: !A . !B . C = ! (A + B + !C)

C'est pour ça que je ne pense pas qu'il soit juste de combiner par un OU les 4 lignes données dans la table de vérité

C'est pourtant logique car chacune de ces 4 lignes valide la sortie, donc l'une ou l'autre de ces 4 lignes. La sortie est donc vraie si on a (A=0 et B = 0 et C = 1) ou (etc.) ...

[Stan_94]

C'est fou qu'une algébre aussi "logique" de celle de Boole puisse nous (mais peut-être moi uniquement ) donner autant d'incompréhention !
La première ligne que j'ai pris en exemple :
A B C -> L
0 0 1 -> 1 provient de la table de vérité correspondante au schéma, soit (!A + B) . (A + C)
Jusque là, nous devrions être bien d'accord.

Ensuite le "primo posteur" écrit que cette ligne peut s'écrire : !A . !B . C
Effectivement : A = 0 -> !A = 1, B = 0 -> !B = 1, C = 1
donc !A . !B . C = 1 . 1 . 1 = 1 ce qui est tout à fait juste.
Mais avec le triplet 0 0 1 , la relation A + B + C -> 1 est également juste ( 0 ou 0 ou 1 donne bien 1)
On pourrait l'écrire de nombreuse façon, comme A + ( !B . C )...
Pour les autre lignes de la table de vérité aussi on peut les écrires séparément de multiple façon mais ces diverses façon ne sont pas alors "correler" et ne peuvent pas, à mon sens, être liées par un OU.
Pour le faire, il faudrait ques les 4 lignes sont représentées par la même relation, qui est évidement celle du départ : (!A + B) . (A + C)

Bon, c'est pas bien grave mais quand même frustrant de soit ne pas avoir compris quelque chose, soit ne pas arriver à faire comprendre son intuition !

[Jack]

0 0 1 -> 1 provient de la table de vérité correspondante au schéma, soit (!A + B) . (A + C)
Jusque là, nous devrions être bien d'accord.

Non

Mais avec le triplet 0 0 1 , la relation A + B + C -> 1 est également juste ( 0 ou 0 ou 1 donne bien 1)

A + B + C = 1, d'accord, mais aucun rapport avec la table de vérité.

Pour les autre lignes de la table de vérité aussi on peut les écrires séparément de multiple façon mais ces diverses façon ne sont pas alors "correler" et ne peuvent pas, à mon sens, être liées par un OU.

Si, c'est le principe de l'écriture des équations à partir d'une table de vérité.

Bon, c'est pas bien grave mais quand même frustrant de soit ne pas avoir compris quelque chose, soit ne pas arriver à faire comprendre son intuition !

Je pense que ton intuition n'est pas correcte parce que tu interprètes mal la table de vérité. En reprenant celle donnée par le primo posteur:

table de vérité:
A B C L
0 0 0 0
0 0 1 1 (nonA*nonB*C)
0 1 0 0
0 1 1 1 (nonA*B*C)
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1 (A*B*nonC)
1 1 1 1 (A*B*C)

La sortie est à '1' pour l'état de a, b, c de la ligne 2 OU de la ligne 4 OU de la ligne 7 OU de la ligne 8.
Pour la ligne 2 par exemple, la sortie est à '1' si a=0 ET b=0 ET c=1, d'où !a.!b.c

En conclusion, L = !a.!b.c + !a.b.c + a.b.!c + a.b.c = !a.c + a.b après simplification

A+

[Al126]

Je suis toujours la discution. C'est assez deroutant cette inegalité entre la fonction de depart et celle que l'on obtient avec la table e verité.
J'aimeari bien comprendre.
Merci pour vos interventions.

[Chanur]

Bonjour,
C'est simplement que (non A*B)+(A*C) n'est PAS équivalente à (non A*C)+(b*a)+(b*c)
Par exemple si A et B sont faux et C vrai, la première expression est fausse et la deuxième vraie.

Mais il faut lire les réponses ...

[Jack]

En effet, mais regarde mon message #12, où il reste à justifier la présence du terme b.c

[Stan_94]

Bon, c'est donc bien que c'est la source de la table de vérité que je n'ai pas comprise, voire ça définition (Ca date pour moi...).
Pour moi, cette table, simplifiée, a été construite à partir de schéma. Donc je pensais que le lien entre A, B et C n'était pas un 'ET' mais bien la traduction en algébre de boole du schéma.
Si je lis bien le schéma, mais pas sûr à 100%, mes yeux fatigues, on a, à gauche, "b" en parallèle avec "!a", le tout en série avec, à droite, "a" en parallèle avec "c".
Et ceci ce traduit bien par L = ( !a + b ) . ( a + c ). J'ai bon là ?

Donc j'avais construit la table détaillé suivante :

   
 a b c !a  !a+b  a+c  L   
 0 0 0 1     1    0   0 
 0 0 1 1     1    1   1
 0 1 0 0     1    0   0
 0 1 1 1     1    1   1
 1 0 0 0     0    1   0
 1 0 1 0     0    1   0
 1 1 0 1     1    1   1
 1 1 1 1     1    1   1

et comme pour moi la table poster au départ n'était qu'un résumé de celle-ci, je ne voyais pas pourquoi on pourrait combiner les colonne par un "et".
Je tâche de revoir l'algébre de Boole en détail rapidement

Bon courage pour la suite.

[Jack]

On est d'accord sur tout maintenant

[Chanur]

C'est vrai pourtant que l'équation tirée du schéma donne L = /a.c + a.b + b.c alors que celle de la table de vérité (après simplification) donne L = /a.c + a.b

Si on fait un tableau de Karnaugh, on voit bien que le terme b.c correspond à un regroupement possible mais pas obligatoire.

Oui, et alors ?
On fait tout le temps ça, en automatisme pour éviter des transitoires casse pied.
On peut ajouter ou pas le terme b.c parce que quand b.c est vrai, alors si a le terme a.b est vrai, et si /a, le terme /a.c est vrai (donc L est vraie dans les deux cas) ; et quand b.c est fausse, les deux termes sont faux (donc L est fausse)

Peut-être que quelque chose m'échappe complètement, mais je ne vois pas où est le problème.