Le lièvre et la tortue

[nico2685]

Salut à tous !!

Encore un petit problème de statistiques… Je pense pas que ça soit très dur c’est surtout que je dois pas avoir la bonne réflexion donc mon résultat me paraît… faux en fait…

Une course entre un lièvre et une tortue (jusque là rien de bien original je vous l’accorde) gérée par un dé (bah oui sinon ou seraient les statistiques !!)
On lance le dé, si le dé tombe sur 6 c’est directement le lièvre qui gagne, sinon c’est la tortue qui avance d’un pas. Si la tortue arrive à 6 c’est elle qui gagne la course.

Quelles sont les probabilités de victoire de chacun ?

Le résultat auquel j'arrive ne me parait pas correct, j'attend donc de voir si c'est moi qui ai mal procédé ou si c'est normal...

[kron]

le calcul naïf de proba semble faux...
Probabilité conditionnelle ?

[Médiat]

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Pour que la tortue gagne, il faut qu'elle tire 6 fois de suite un N° différent de 6, soit .

[nico2685]

Jusque là je suis d'accord avec toi, l'expérience montre d'ailleur que c'est bien le bon résultat

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la proba de gagner pour la tortue approche alors les 33 %

Et pour le lièvre ???

[nico2685]

Bon en fait j'ai trouvé... erreur de base...

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Bien vu Kron et merci!! ah ben non je met pas carrément la réponse ça serait trop facile pour ceux qui trouvent pas...

Je retourne me coucher (Comment ça il est que 16h et j'ai pas fini ma journée de boulot ? Oui oui bon ok je reste) quand même !!

[humanino]

Envoyé par nico2685

Et pour le lièvre ???

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Tu as trouve pour la tortue ! Quelle est la prbobalite qu'ils fassent match nul ?

[behemerre]

Salut,

On lance le dé, si le dé tombe sur 6 c’est directement le lièvre qui gagne, sinon c’est la tortue qui avance d’un pas. Si la tortue arrive à 6 c’est elle qui gagne la course.

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Rien ne sert de courir il faut partir à point

a+

[kron]

Envoyé par humanino

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Tu as trouve pour la tortue ! Quelle est la prbobalite qu'ils fassent match nul ?

Leurs chance de match nul avoisine les... 0 je dirais...

[_Goel_]

SAlut !
Je m'y essaie !
Raisonnement tout en finesse, mais alors... d'une finesse !!!!

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Attention les neurones ! :
Ouvrir Excel, créer un nouveau module et y coller le code ci dessous
Cliquer sur la cellule C10 (par ex.)
Lancer la macro grille
Attendre patiemment que le compteur en cellule A1 arrive à 6
à la fin de la première ligne de résultat, taper "=QUIGAGNE(C8:H8)" (en y mettant l'adresse de la première ligne
Menu outil/options/calculs : Calcul sur ordre (sinon, après l'ordinateur fva vouloir tout recalculer à la moindre occasion)
Etendre la cellule avec la formule QUIGAGNE à toutes les lignes (doubleclick sur le petit carré en bas à droite de la cellule active)
Appuyer sur Echap pour interrompre le calcul
Lancer la macro "Calculer_sht" : le recalcul va beaucoup plus vite (impressionnant) !

Faire un filtre automatique sur le tableau obtenu et compter le nombre de "LIEVRE" et de "TORTUE"
résultat :

LIEVRE : 7776
TORTUE : 38880
SOMME = 46656 = 6^6 => pas de partie nulle

Moralité les propabilités de gain sont
LIEVRE : 17%
TORTUE : 83%

Je pense que tout le monde aura saisi l'extrême subtilité de mes calculs !


Macros :

Sub Grille()
Application.ScreenUpdating = False
Dim j As Integer
Dim i As Long
For j = 1 To 6
For i = 0 To 46656 -1
ActiveCell(i, 7 - j) = (i \ PUISS(6, j - 1) Mod 6) + 1
Next
Cells(1, 1).Value = j
Application.ScreenUpdating = True
Application.ScreenUpdating = False
Next
End Sub
____________________
Function PUISS(i As Integer, j As Integer)
PUISS = 1
For k = 1 To j
PUISS = i * PUISS
Next
If PUISS = 0 Then PUISS = 1
End Function
______________________
Function QUIGAGNE(Liste As Range) As String
Dim Somme As Integer
Somme = 0
For Each Celli In Liste
Somme = Somme + Celli.Value
If Celli.Value = 6 Then
QUIGAGNE = "LIEVRE"
ElseIf Somme >= 6 Then
QUIGAGNE = "TORTUE"
Else
QUIGAGNE = "PERSONNE"
End If
Next
End Function
_____________________
Sub calculer_sht()
Application.ScreenUpdating = False
ActiveSheet.Calculate
End Sub

[_Goel_]

ERRATUM ! (ça m'apprendra à poster trop vite !)

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Un énorme bourde s'est glissée dans mon code !!!!

Finalement les probabilités de gains sont :
LIEVRE : 36%
TORTUE : 64%
après 6 tirs, il y a forcément un vainqueur.
dès le second tir, la TORTUE est donnée gagnante (42% vs 31%)
1 tir : LIEVRE : 17%, TORTUE 00%, PERSONNE, 83%
2 tirs : LIEVRE : 31%, TORTUE 42%, PERSONNE, 28%
3 tirs : LIEVRE : 35%, TORTUE 60%, PERSONNE, 5%
4 tirs : LIEVRE : 36%, TORTUE 64%, PERSONNE, 0.4%
5 tirs : LIEVRE : 36%, TORTUE 64%, PERSONNE, 0.013%
6 tirs : LIEVRE : 36%, TORTUE 64%, PERSONNE, 0%

Remplacer la fonction "QUIGAGNE" du code précédent par celle-ci :

Function QUIGAGNE(Liste As Range) As String
Dim Somme As Integer
Somme = 0
For Each Celli In Liste
Somme = Somme + Celli.Value
If Celli.Value = 6 Then
QUIGAGNE = "LIEVRE"
Exit For
ElseIf Somme >= 6 Then
QUIGAGNE = "TORTUE"
Exit For
Else
QUIGAGNE = "PERSONNE"
End If
Next

[Médiat]

J'ai l'impression que tu n'as pas compris l'énoncé :

si le dé tombe sur 6 c’est directement le lièvre qui gagne, sinon c’est la tortue qui avance d’un pas

il est donc impossible que la tortue gagne en 2 coups, puisqu'au mieux elle fait 2 pas en 2 coups. N'aurais-tu pas considéré que la tortue fait un nombre de pas égal au dé ?

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Pour la tortue : soit environ 33,5 %
Pour le lièvre : soit environ 66,5%

[nico2685]

A oui Goel j'ai peur que tu n'ais pas compris l'énoncé !!! Cela dit très impressionnant ta méthode de résolution bravo !!! Moi j'avais fait aussi sous excel mais juste avec un petit bouton, génération aléatoire de chiffre de 1 à 6, si c'est 6 afficher lièvre au bout de la ligne, sinon continuer jusqu'à 6 et afficher tortue au bout, le compte à la fin et hop !!
J'en reviens pas que je me sois planté comme ça moi... J'avais raisonné tout bêtement en disant que le lièvre avait 1/6 de gagner au premier lancer, 1/6 au 2ème etc... donc 1/6 + 1/6... = 1, le lièvre était sur de gagner !!! Sauf que je n'avais pas pri en compte que pour gagner au 2ème tour, il fallait qu'il n'ai pa gagné au premier, la proba du 2ème tour était donc bien 1/6 x 5/6... Alala ça s'oublie vite les stat...
Le pire, c'est que c'est un exercice que ma petite soeur a eu à faire en 2nde ya pas longtemps... c'est moi qui l'ai aidé... Bravo le grand frère !!! J'imagine bien quand sa prof a corrigé l'exercice...

[_Goel_]

Vous comprendrez aisément que j'ai pas fit mon exo du bac sur les probas, si en prépa, ni après... !

[_Goel_]

Donc... :

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6/6*1/6
+5/6*1/6
+4/6*1/6
+3/6*1/6
+2/6*1/6
+1/6*1/6
+0/6*1/6...
= 58.3% de chance pour que le lièvre gagne... (et même là, je suis pas sûr d'avoir raison !

Mais pourquoi n'arrivé-je pas à bien comprendre un énoncé (j'ai ce même pb dans la vie te tous les jours, c'est terrible !)

[_Goel_]

Cela dit très impressionnant ta méthode de résolution bravo !!!

Merci, merci !
Mais heureusement que le dé n'avait pas 7 faces, car cela aurait dépassé le nombre de lignes d'excel ! (et avec 8 ou 9 faces, on aurait dépassé le nombre de cellules d'une feuille excel !)

[Médiat]

Envoyé par _Goel_

Donc... :

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6/6*1/6
+5/6*1/6
+4/6*1/6
+3/6*1/6
+2/6*1/6
+1/6*1/6
+0/6*1/6...
= 58.3% de chance pour que le lièvre gagne... (et même là, je suis pas sûr d'avoir raison !

Et non c'est faux, à la troisième ligne (par exemple) il faudrait avoir (5/6)²*1/6 (et la suite du même tonneau

[polo974]

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Un dessin valant parfois mieux qu'un long texte:
stat.gif
A chaque noeud, le lièvre a une chance sur 6 de gagner la partie qui du coup s'arrête immédiatement.

Par contre pour que la tortue gagne, il faut 6 fois de suite un nombre différent de 6 au dé.
Donc 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = (5/6)⁶ soit environ 0.335 chances de gagner pour la tortue.

Comme il n'y a pas de match nul possible,
On peut déjà conclure que le lièvre à (1 - (5/6)⁶) soit environ 0.665 chances de gagner.

Procédons autrement, juste pour le fun (ou parce que c'est demandé dans le sujet)...
Sur le graphe, on voit qu'il y a plusieurs sorties, donc que c'est une somme de probabilité:

1/6_(gagné) + 5/6_{(pas gagné ce coup mais ça va venir)} * (ce qui va suivre pour gagner)

ce qui donne au final:
1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6)))))
soit environ 0.665 (ouf, comme prévu).

[nico2685]

Envoyé par polo974

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Un dessin valant parfois mieux qu'un long texte:
Pièce jointe 22543
A chaque noeud, le lièvre a une chance sur 6 de gagner la partie qui du coup s'arrête immédiatement.

Par contre pour que la tortue gagne, il faut 6 fois de suite un nombre différent de 6 au dé.
Donc 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = (5/6)⁶ soit environ 0.335 chances de gagner pour la tortue.

Comme il n'y a pas de match nul possible,
On peut déjà conclure que le lièvre à (1 - (5/6)⁶) soit environ 0.665 chances de gagner.

Procédons autrement, juste pour le fun (ou parce que c'est demandé dans le sujet)...
Sur le graphe, on voit qu'il y a plusieurs sorties, donc que c'est une somme de probabilité:

1/6_(gagné) + 5/6_{(pas gagné ce coup mais ça va venir)} * (ce qui va suivre pour gagner)

ce qui donne au final:
1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6 + 5/6 * (1/6)))))
soit environ 0.665 (ouf, comme prévu).

Bravo polo !!
D'une part parce que effectivement, rien ne vaut un dessin ou une expérience simple quand c'est possible, comme je l'ai déjà dit dans un autre sujet cela permet très souvent de détecter le petit détail qui change tout... Moi-même si j'avais commencé par faire un dessin, j'aurais tout de suite vu qu'il fallait ajouter ce (5/6)^i et ainsi je me serais évité de me vautrer lamentablement à un exercice de 2nde...

Et d'autre part bien sur parce que c'est le bon résultat mais ça personne n'en doutait plus...

Goel effectivement tu t'es pas mal compliqué la vie !!! Je vais voir si je ne trouve pas un problème qui correspondrait à tes solutions, je m'en voudrais que tu aie fait tout ça pour rien !!