Economiser le fil électrique !

[danyvio]

Bonjour ! Je me souviens d'un vieux problème sympa, qui pourrait s'intituler : " ne pas se fier à l'intuition" :

Soient 4 points aux sommets d'un carré. Il faut relier électiquement ces quatre points à l'aide de fil. On peut couper et souder ce fil comme on veut. Quel est le schéma pour utiliser le minimum de fil ?
On peut aussi interpréter le problème comme : on veut construire une route filiforme permettant de relier quatre villes situées aux sommets d'un carré. Peu importe le trajet que suivraient les voitures, mais il faut économiser l'asphalte ! SI vous avez des réponses, considérez que chaque côté du carré vaut 1 et indiquez SVP la longueur de fil que vous trouvez. A vous de jouer !
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[Coincoin]

Salut,
Énigme intéressante. Personnellement, on m'en avait parlé pour illustrer un exemple de brisure de symétrie...

[invite800a3b4b]

mmmmmh On a qu'a les relier par l'interieur du carré

[danyvio]

mmmmmh On a qu'a les relier par l'interieur du carré

Oui, certes, bien sûr, OK, bien vu, remarquable mais ce n'est pas un réponse car il y a 1.256.325.847 façons (au moins) de relier les points...

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

Je ne sais pas si c'est de ce coté là qu'on peut trouver la solution optimale, mais j'ai déjà un moyen de faire mieux que de tout relier au centre (ce qui fait )...

L'idée de départ est qu'il est plus économe de relier les sommets par paires, et ensuite de relier les deux paires. Ca évite d'avoir deux longueurs de fil à tendre entre les deux sommets du haut et les deux sommets du bas par exemple.

Naturellement en utilisant les deux cotés opposés et en les reliant, on arrive à 3, ce qui n'est pas mieux. Mais il semble évident qu'on peut gagner du fil en tendant un peu le bazar. Comme je ne me sens pas trop d'humeur à faire de l'optimisation sur plein de variables différentes, disons que tout est symétrique (donc déjà, l'indice donné par Coincoin me confirme que je ne vais aps avoir une solution optimale). J'ai un segment vertical de longueur x, passant par le centre du carré, et centré sur celui-ci. Les 4 coins sont reliés à l'extrémité du segment la plus proche.

La longueur d'un fil reliant un sommet au segment central est Ce qui fait une longueur de fil totale de . En dérivant j'obtiens , qui s'annule quand , ce qui revient à dire que 3x²-6x+2=0, puisque x est compris entre 0 et 1. Les solutions sont et .

Comme on est entre 0 et 1 , je prends la première, j'obtiens une longueur totale d'environ 2,73, ce qui est mieux que 2,83

Sauf si, comme à mon habitude, je me suis planté quelque part

[danyvio]

Je ne sais pas si c'est de ce coté là qu'on peut trouver la solution optimale, mais j'ai déjà un moyen de faire mieux que de tout relier au centre (ce qui fait )...

L'idée de départ est qu'il est plus économe de relier les sommets par paires, et ensuite de relier les deux paires. Ca évite d'avoir deux longueurs de fil à tendre entre les deux sommets du haut et les deux sommets du bas par exemple.

Naturellement en utilisant les deux cotés opposés et en les reliant, on arrive à 3, ce qui n'est pas mieux. Mais il semble évident qu'on peut gagner du fil en tendant un peu le bazar. Comme je ne me sens pas trop d'humeur à faire de l'optimisation sur plein de variables différentes, disons que tout est symétrique (donc déjà, l'indice donné par Coincoin me confirme que je ne vais aps avoir une solution optimale). J'ai un segment vertical de longueur x, passant par le centre du carré, et centré sur celui-ci. Les 4 coins sont reliés à l'extrémité du segment la plus proche.

La longueur d'un fil reliant un sommet au segment central est Ce qui fait une longueur de fil totale de . En dérivant j'obtiens , qui s'annule quand , ce qui revient à dire que 3x²-6x+2=0, puisque x est compris entre 0 et 1. Les solutions sont et .

Comme on est entre 0 et 1 , je prends la première, j'obtiens une longueur totale d'environ 2,73, ce qui est mieux que 2,83

Sauf si, comme à mon habitude, je me suis planté quelque part

Précisément 1+. La figure (que je n'ai pas encore scannée, montre bien les quatre sommets reliés deux à deux aux extrèmités d'un segment central. Sous des angles de 120 °. Le segment central vaut 1-( / 3) , et les quatres segments partant des sommets valent chacun /3

[Coincoin]

Et mine de rien, tu as brisé la symétrie en imposant que ton segment central soit vertical. Une autre solution équivalente consiste à le mettre horizontal bien sûr. Ce qui est intéressant, c'est que le problème de base a une certaine symétrie (celle d'un carré, avec notamment invariance par rotation d'un quart de tour) et que chaque solution n'a pas toute cette symétrie (on garde certaines symétries, on en perd d'autres), c'est l'ensemble des solutions qui a la symétrie du problème initial.

Quelqu'un s'occupe de faire un joli schéma ?

[ABN84]

bonsoir,

Quelqu'un s'occupe de faire un joli schéma ?

les trois cas cités:

[inviteceb08337]

Et mine de rien, tu as brisé la symétrie en imposant que ton segment central soit vertical. Une autre solution équivalente consiste à le mettre horizontal bien sûr. Ce qui est intéressant, c'est que le problème de base a une certaine symétrie (celle d'un carré, avec notamment invariance par rotation d'un quart de tour) et que chaque solution n'a pas toute cette symétrie (on garde certaines symétries, on en perd d'autres), c'est l'ensemble des solutions qui a la symétrie du problème initial.

Si tu parles de symétries horizontale et verticale, elles ne sont pas brisées.

Ou alors j'ai mal compris, ce qui est fort possible.

[invite35452583]

Si tu parles de symétries horizontale et verticale, elles ne sont pas brisées.

Ou alors j'ai mal compris, ce qui est fort possible.

Le carré est invariant par 4 symétries axiales, une symétrie centrale, deux rotations, et par l'identité (c'est pas le seul ). Les symétries axiales e décomposent en deux symétries par rapport à une médiane (horizontale ou verticale si on place le carré comme dans les schémas ci-dessus et en deux symétries par rapport aux diagonales.
La solution est invariante par l'identité, la symétrie centrale, les deux symétries par rapport aux médianes. Mais elle ne l'est pas par rapport aux deux symétries par rapport aux diagonales et aux 2 rotations, leur transformation par ces opérations donnent la même autre solution. Il y a brisure partielle de symétrie. 4 sont conservées par la solution, les deux solutions sont images l'une de l'autre par les 4 autres.

[danyvio]

bonsoir,
les trois cas cités:

OK C'est bien cela (3ème cas). Perso, je n'ai pas pu (ou su) joindre un scan de mon schéma, pourtant c'était un .jpeg de 19,3 k 781x551 . C'était refusé : fichier non valide

[lajuersy]

tout cela me fait penser aux problèmes des formes de bulles lorsquelles sont soumises à des formes géométriques. Elles prennent la forme qui permettent de diminuer au minimum la tension superficielle, et donc, la distance.

à voir:

http://web.ujf-grenoble.fr/PHY/FOREXPER/foam.mov