n cubes de coté 1/n

[stefjm]

Bonjour,
Quelle est la bizarrerie physique de la série infinies des n cubes de coté 1/n?

Enfant, j'adorais jouer avec des cubes...
-----

[invite7553e94d]

Je ne vois pas de bizarrerie ...
Le volume total des n cubes est de 1/n². Y a-t-il quelque chose qui m'échappe ? En revanche, si on prend n cubes de coté 1/n, pour chaque n, alors le volume total est de pi²/6.

[stefjm]

On parle bien de ce cube de coté 1/n?
Si vous avez une relation entre le volume de ces cubes et pi, je crois qu'il faut publier.
Je ne suis pas trop d'accord avec vos résultats que je ne comprends pas bien...

Il se peut que j'ai mal formuler l'énigme.

Deuxième tentative :
Quelle est la bizarrerie physique de la série infinies des cubes de coté 1/n?

[invite7553e94d]

Et bien, il y a plusieurs interprétations possibles à mon sens.

• Pour chaque , il y a un cube de coté (un de coté 1, un de coté , un de ...). Le volume cumulé des cubes est :
  
  
  
• Il y a au total cubes de coté ( fixé). Le volume total est donc en fonction de :
  
  
  
• Pour chaque , il y a cubes de coté (1 de 1, 2 de , 3 de ...). Le volume total est donc cette fois ci de :
  

Et je ne vois toujours pas de "bizarreries" ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

• 1) Pour chaque , il y a un cube de coté (un de coté 1, un de coté , un de ...). Le volume cumulé des cubes est :
  
• 2) Il y a au total cubes de coté ( fixé). Le volume total est donc en fonction de :
  
• 3) Pour chaque , il y a cubes de coté (1 de 1, 2 de , 3 de ...). Le volume total est donc cette fois ci de :
  

Merci beaucoup.
Vos propositions enrichissent l'énigme.
J'étais trop omnubilé par le cas 1.

Et je ne vois toujours pas de "bizarreries" ...

Ces trois interprétations présentent presque la même bizarrerie physique. (J'ai de la chance...)
Il faut de la peinture et un hangar pour s'en rendre compte...
Le cas 3) présente d'ailleurs un paradoxe très intéressant que j'ai bien du mal à interprêter physiquement... (Dans ce cas là, même pas besoin de hangar pour trouver cela bizarre. Le pot de peinture suffit.)

Cordialement.

[invite7553e94d]

Haaaa ! C'est la suface qui t'intéresse ! Je vois !

• Pour chaque , il y a un cube de coté (un de coté 1, un de coté , un de ...). La surface cumulée des cubes est :
  
  
  
• Il y a au total cubes de coté ( fixé). La surface totale est donc en fonction de :
  
  
  
• Pour chaque , il y a cubes de coté (1 de 1, 2 de , 3 de ...). La surface totale est donc cette fois ci de :
  

Ha bah nan je vois toujours pas .


Si tu veux quelque chose d'amusant en rapport avec des formes géométriques et des pots de peinture, sache que si tu coupe une boule en 4 (comme on couperait une orange) parties égales, alors pour chaque partie, la mesure des deux surfaces planes égale celle de la face sphérique ().

[stefjm]

Ha bah nan je vois toujours pas .

Sérieux?
Ben moi, je suis tout traumatisé par les volume et surface du cas 3.
Mathématiquement, cela ne me pose aucun problèmes particuliers, mais physiquement, j'ai vraiment du mal à comprendre ce que cela peut bien signifier.

Si tu veux quelque chose d'amusant en rapport avec des formes géométriques et des pots de peinture, sache que si tu coupe une boule en 4 (comme on couperait une orange) parties égales, alors pour chaque partie, la mesure des deux surfaces planes égale celle de la face sphérique ().

Joli.
Ca fait longtemps qu'il m'intrigue ce rapport 4 entre surface de sphere et aire de disque.

[invite7553e94d]

Sérieux?
Ben moi, je suis tout traumatisé par les volume et surface du cas 3.
Mathématiquement, cela ne me pose aucun problèmes particuliers, mais physiquement, j'ai vraiment du mal à comprendre ce que cela peut bien signifier.

C'est le fait que le volume converge mais que la surface diverge qui te traumatise ? Mais c'est presque normal.

Imaginons, je prends un cube unité. Je le coupe en 8. Le volume des huit cubes est toujours de 1, mais la surface totale est supérieure. Si je répète ce processus, la surface va diverger.
Plus rigoureusement, si à l'étape j'ai une surface de (où est la longueur de l'arête des cubes à l'étape ), alors à l'étape la surface sera de
Ainsi, la suite du volume converge (elle est constante) vers 1 alors que la suite diverge.

Il est possible de retrouver ce genre de phénomènes avec les objets fractals, l'éponge de Menger ou le flocon de Koch.

[stefjm]

Merci pour tes exemples.
D'un point de vue math, ça me va tout à fait.
C'est le coté physique qui me trouble.
Une quantité de peinture finie contenue dans une surface infinie.

[invite7553e94d]

Ha oui en effet, mais physiquement ce n'est pas possible, on ne peut pas diviser indéfiniment la matière.

[invité576543]

Une quantité de peinture finie contenue dans une surface infinie.

N'es-tu pas juste en train de "découvrir" une surface fractale de dimension de Hausdorff 3?

Quelle différence avec la courbe de Peano (et autre fractale du genre) une dimension en-dessous (une ligne fractale de dimension de Hausdorff 2)?

Autrement dit, tu es en train de parler de la différence entre la dimension topologique et la dimension de Hausdorff, non?

Cordialement,

[invite88ef51f0]

Encore plus troublant, la trompette de Torricelli : http://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel
On prend la courbe de 1/x pour x allant de 1 à l'infini.On la fait tourner autour de l'axe des abscisses. On obtient une belle trompette de longueur infinie. Son aire est infinie, mais son volume est fini. Ça veut dire qu'on peut la remplir de peinture, mais pas peindre l'intérieur.

[stefjm]

N'es-tu pas juste en train de "découvrir" une surface fractale de dimension de Hausdorff 3?

Ben, je n'ai pas fait exprès!
Je pensais que la dim de Hausdorff pour les fractales était non entière.
Trouver une surface fractale de dimension de Hausdorff 3 me plait bien quand même!
On réduit la dimension d'une unité en acceptant une description passant par l'infini. Je trouve sympatique ce pont entre dim 2 et dim 3.
La question suivante que je me poserai sera : Faut-il parler de mètre^2 ou de mètre^3?

Quelle différence avec la courbe de Peano (et autre fractale du genre) une dimension en-dessous (une ligne fractale de dimension de Hausdorff 2)?

Probablement pas de différence.
C'est l'exemple 1) de ce fil.
Longueur des cubes infinie :
Surface des cubes finie bien connue :
Volume des cubes fini mal connu :

Avec un en prime pour une surface et le 6 des six faces du cubes dans la valeur de .

Autrement dit, tu es en train de parler de la différence entre la dimension topologique et la dimension de Hausdorff, non?

Je ne suis pas assez à l'aise en math pour en être sûr.

Un autre point que me tracasse est à propos des théorèmes de calcul de circulation et de flux. (Stokes et Ostrogradsky)
Ces théorèmes mettent en relation des longueurs avec des surfaces, et des surfaces avec des volumes)
Que deviennent-t-ils avec une longueur (ou une surface) infinie?

Cordialement.

[stefjm]

Encore plus troublant, la trompette de Torricelli : http://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel
On prend la courbe de 1/x pour x allant de 1 à l'infini.On la fait tourner autour de l'axe des abscisses. On obtient une belle trompette de longueur infinie. Son aire est infinie, mais son volume est fini. Ça veut dire qu'on peut la remplir de peinture, mais pas peindre l'intérieur.

Intéressant!
Et là au moins, il n'y a pas de découpages infinitésimaux.
On se retrouve quand même avec une belle contradiction logique :
On peut remplir la trompette de peinture avec impossiblitité de peindre le contenant?!
Il y a un truc...

C'est aussi une surface de dimension de Hausdorff 3 ?

[Médiat]

Ça veut dire qu'on peut la remplir de peinture, mais pas peindre l'intérieur.

Ben si, par exemple en remplissant l'intérieur et en jetant le surplus ; pourquoi refuser à la peinture la propriété que l'on accorde au cuivre (je sais, c'est pas vraiment du cuivre) de la trompette ?

[invite88ef51f0]

Ben si, par exemple en remplissant l'intérieur et en jetant le surplus

Ça fait quand même une surface infinie...

pourquoi refuser à la peinture la propriété que l'on accorde au cuivre (je sais, c'est pas vraiment du cuivre) de la trompette ?

D'autant plus que la peinture pour remplir la trompette se trouve beaucoup plus facilement que la peinture pour peindre sa surface !

[Médiat]

Ça fait quand même une surface infinie...

Comme la trompette ; je ne vois pas pourquoi on accepterait que la surface infinie de la trompette soit normale et ne pose pas de problème, et que la surface infinie de la peinture soit impossible (d'autant plus que la peinture est plus facile à travailler que le cuivre )

[invite88ef51f0]

Parce que la peinture bidimensionnelle se vend par pot de 10 m², ce qui te coutera donc infiniment cher.
Donc tu as raison, mieux vaut acheter un volume fini de peinture tridimensionnel.

[stefjm]

Comme la trompette ; je ne vois pas pourquoi on accepterait que la surface infinie de la trompette soit normale et ne pose pas de problème, et que la surface infinie de la peinture soit impossible (d'autant plus que la peinture est plus facile à travailler que le cuivre )

J'ai bien du mal à accepter comme normale cette surface, bien qu'elle me définisse un volume.

C'est quoi le truc qui manque?

[stefjm]

Parce que la peinture bidimensionnelle se vend par pot de 10 m², ce qui te coutera donc infiniment cher.
Donc tu as raison, mieux vaut acheter un volume fini de peinture tridimensionnel.

Dim 2, dim 3 ? (Quel type de dimension d'ailleurs?)
On en mais j'avoue que cela me rend un peu .
Ca ,, de ne pas me laisser .

[Médiat]

J'ai bien du mal à accepter comme normale cette surface, bien qu'elle me définisse un volume.

Mon "normal" faisait allusion à l'hypothèse que l'on "pouvait" remplir la trompette de peinture, mais pas la peindre, il va de soi que même avec une surface et un volume finis non nuls (précision, parce que peindre un objet dont la surface est nulle ... même les minimalistes n'ont pas réussi), si la longueur est infinie (facile d'en trouver des exemples), l'objet n'existe pas, donc l'idée de le peindre ... .

[invite88ef51f0]

Comme le dit Médiat : qu'y a-t-il de choquant ?
Si tu veux peindre l'intérieur de la trompette, il te faut soit de la peinture bidimensionnelle, soit de la peinture tridimensionnelle. Ton magasin de bricolage étant situé dans un univers à 3 dimensions, il ne vend que de la peinture à 3D. Donc pour peindre, tu recouvres la surface d'une certaine épaisseur de peinture 3D. Maintenant, la question décisive est : si je mets une couche de 1mm de peinture 3D pour peindre ma surface infini, quel volume faut-il ? Et la réponse est un volume fini ! En effet, l'infini de la surface vient du fait que la trompette est infiniment longue et de plus en plus fine. Au bout d'un moment, le rayon deviendra inférieur à 1mm et il te faudra donc de moins en moins de peinture pour recouvrir la surface d'une couche de peinture. La surface tend vers l'infini mais l'épaisseur nécessaire tend vers 0, si bien qu'au final il te faut bien un volume fini.

[BioBen]

Ça veut dire qu'on peut la remplir de peinture, mais pas peindre l'intérieur.

Sauf que la longueur de la trompette étant infinie, quand tu verses de la peinture c'est comme un puit sans fond

[stefjm]

Sauf que la longueur de la trompette étant infinie, quand tu verses de la peinture c'est comme un puit sans fond

Un volume fini dans un puis sans fond ne le remplit pas, alors que dans ce cas, il semble bien que si! (Message #22)

Pour considérer un objet comme physique, il faut pourvoir définir sa longueur, surface et volume?

[invite344e48b6]

Le volume total est de pi²/6.

Tout à fait, ce qu'on peut également formuler par "ça fait pipi assis"
(ça fait pi*pi à 6 donc ça fait pi²/6 pour 1 empilement)