Les carrés parfaits et cubes parfaits

[SuperSansPlomb]

Bonjour,

C’est un exercice sur les cubes et carrés parfaits. J’ai bien étudié le thème et je pense qu’il n’y aura pas d’erreur ( du moins je l’espère ! )
Si quelqu’un peut me corriger, confirmer ou infirmer mes résultats, merci !

EDIT = J’ai omis de vous dire que je suis en classe de seconde, pour connaître mon niveau .

Décomposer 216 en produits de facteurs premiers :
216 = 8 x 27

(8 et 27 sont des cubes parfaits)

8 = 2³

27 = 3³


Donc 2³ x 3³ = 216

2³ x 3³ , est le produit en nombres premiers de 216 , car 2 et 3 sont des nombres premiers

En déduire que 216 est le cube d’un nombre entier :
216 est le cube d’un nombre entier. Un cube parfait est multiple de 9 , on vérifie par 9 x 24 = 216


En utilisant une méthode analogue, rechercher dans la liste L suivante, les carrés parfaits, les cubes parfaits : L = ( 1764; 729; 512; 3375; 432)


1)

Racine carré 1764 = 42
42 x 42 = 1764 est donc un carré parfait

Quand on multiplie un nombre entier par lui-même, on obtient un carré parfait
Un carré parfait est un nombre qui se termine ( entre autres) par 4

2)

Racine carré 729 = 27
27 x27 = 729 est donc un carré parfait
Quand on multiplie un nombre entier par lui-même, on obtient un carré parfait
Un carré parfait est un nombre qui se termine ( entre autres) par 9

3)

512 est un cube parfait
512 = 8 x 64
8 = 2³
64 = 2³ x 2³

Et 2^3 x 2^3 x 2^3 = 512

( 8 et 64 sont des cubes parfaits)
2^3 x 2^3 x 2^3 , sont le produits en nombres premiers de 512 , car 2 et 3 sont des nombres premiers
Nous en déduisons que 512 est un cube parfait, on vérifie par un cube parfait est un multiple de 9 diminué de l’unité.
9 x 57 = 513 – 1 = 512

4)

3375 est un cube parfait
3375 = 27 x 125

125 = 5³
27 =3³

Et

3³ x 5³ = 3375

(125 et 64 sont des cubes parfaits)
3^ 3 x 5^ 3 , sont le produits en nombre premiers de 3375, car 3 et 5 sont des nombres premiers.
Nous en déduisons que 3375 est un cube parfait, on vérifie par un cube parfait en un multiple de 9
9 x 375 = 3375

5)

432 est un carré parfait
Car 432 / 2 = 216 , et l’on sait que 216 est un carré parfait

Le produit de deux des trois nombres suivants est un cube parfait : 36 ; 108 ;432
De quels nombres s’agit-il ?

Je n’ai peut être pas compris la question, mais pour moi c’est comme la question ci-dessus :

Racine carré 36 = 6
6 x 6 = 36
36 est donc un carré parfait
Quand on multiplie un nombre entier par lui-même, on obtient un carré parfait
Un carré parfait est un nombre qui se termine ( entre autres) par 6

108 , n’est ni un carré parfait car racine carré 108 = 10,3923… Ce n’est donc pas un nombre entier.
Et il n’est pas cube parfait car, les 10 plus petits cubes parfaits sont : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 et 1000


C’est 432 qui est un cube parfait car le produit de ce nombre est un cube parfait :

432 / 2 = 216

216 + 216 = 432

216 = 8 x 27

(8 et 27 sont des cubes parfaits)

8 = 2³

27 = 3³


Donc 2³ x 3³ = 216

2 et 3 sont le produits en nombres premiers de 216 , car 2 et 3 sont des nombres premiers
On en déduit que 216 est le cube d’un nombre entier. Un cube parfait est multiple de 9 , on vérifie par 9 x 24 = 216
Et que donc le produit de ce nombre est un cube parfait

Quel est le plus petit entier qui multiplié par 216 est un carré parfait ?
Donc :

216 x (le plus petit entier ) = Carré parfait

C’est lui même ;

216 x 216 = 46656

Un carré parfait est un nombre entier multiplié par lui-même , on en déduit donc que le plus petit entier et 216 et que 46 656 est un carré parfait.
On vérifie par , un carré parfait est un nombre qui se termine ( entre autres ) par 6

Calculer Racine carré 7744 = 88

88 x 88 = 7744 est donc un carré parfait
Quand on multiplie un nombre entier par lui-même, on obtient un carré parfait
Un carré parfait est un nombre qui se termine ( entre autres) par 4


Encore merci !
A bientôt sur le forum de FS
SuperSansPlomb

[benjy_star]

Salut !

Je ne connais pas bien le programme de seconde, mais j'aurais vu une autre rédaction pour une série de question. je te cite :

En déduire que 216 est le cube d’un nombre entier :
216 est le cube d’un nombre entier. Un cube parfait est multiple de 9 , on vérifie par 9 x 24 = 216

Tu avais écrit :

Donc

A la question soulignée en gras dans la citation j'aurais répondu :



216 est donc le cube d'un nombre entier, ici 6. Non ?

Et même raisonnement par la suite.

[ginkoTA]

Bonjour,

Le produit de deux des trois nombres suivants est un cube parfait : 36 ; 108 ;432
De quels nombres s’agit-il ?

Donc 2³ x 3³ = 216
2 et 3 sont le produits en nombres premiers de 216 , car 2 et 3 sont des nombres premiers
On en déduit que 216 est le cube d’un nombre entier. Un cube parfait est multiple de 9 , on vérifie par 9 x 24 = 216
Et que donc le produit de ce nombre est un cube parfait

Produit de ce nombre par quel autre nombre ??
Pour repondre a la question, je te conseille de decomposer les 3 nombres en produits de facteurs premiers :

Puis, tu teste les differents produits 2 à 2 (il n'y en a que 3)
Tu dois avoir un nimbre tel que sa decomposition en facteurs premiers ne doit avoir que des puissances multiples de 3. (pour qu'il soit un cube)

Quel est le plus petit entier qui multiplié par 216 est un carré parfait ?
Donc :
216 x (le plus petit entier ) = Carré parfait
C’est lui même ;
216 x 216 = 46656
Un carré parfait est un nombre entier multiplié par lui-même , on en déduit donc que le plus petit entier et 216 et que 46 656 est un carré parfait.

216² est bien un carré parfait, mais rien ne dit que c'est le plus petit.
Decompose a nouveau en facteurs premiers
Tu dois trouver le plus petit nombre tel que 216 multiplie par ce nombre est un carré. On voit que 2 présente une puissance impair (3). Il faut donc que ce nombre soit multiple de 2. De même pour 3.
D'où...


[EDIT] Grillé par Benjy...
[EDIT2] Pas pour la meme question...

[SuperSansPlomb]

Bonjour,

216² est bien un carré parfait, mais rien ne dit que c'est le plus petit.
Decompose a nouveau en facteurs premiers
Tu dois trouver le plus petit nombre tel que 216 multiplie par ce nombre est un carré. On voit que 2 présente une puissance impair (3). Il faut donc que ce nombre soit multiple de 2. De même pour 3.
D'où...


[EDIT] Grillé par Benjy...
[EDIT2] Pas pour la meme question...

Re-bonjour,

Si on décompose 216 en facteurs premiers =
Donc
2^3 = 8
3^3 = 27

8x27 = 216 Mais pour qu'un carré soit parfait , il faut multiplier un nombre entier par lui-même

il faut faire 216 x (le plus petit nombre ) = Carré parfait

Mais alors dois-je multiplier 216 par lui-meme , non ?

Je ne vois pas bien ce que je dois multiplier par 216 , les facteurs premiers ?

Merci

[ginkoTA]

Si tu prends 12 et que tu le multiplies par 3, cela fait 36. Qui est un carré parfait.
On ne te demande pas que la racine carré de ton carré parfait soir divisible par 216, on te demande juste d'avoir le plus petit nombre possible.

[SuperSansPlomb]

Merci

En effet 36 est un carré parfait.
6X6 = 36

Mais est-ce qu'il faut faire la formule :
216 x (le plus petit nombre ) = Carré parfait

Aussi, non ?


C'est 216 x 36 = 7776 ( mais alors ce n'est pas un carré parfait) puisqu'un carré parfait est un nombre entier multiplié par lui meme.

Ou bien il ne faut pas faire la formule 216 x (le plus petit nombre ) = Carré parfait

Car 216 / 6 = 36
6 x 36 = 216
Il faut juste en conclure que 36 est le plus petit nombre qui multiplié par 216 est un carré parfait .

[ginkoTA]

Bon,
Tu fais
216*1
216*2
216*3
216*4
216*5
216*6
Et la, ... miracle !
relis mon premier post, avec en tete que, pour avoir un carre parfait, il faut que toutes les puissances soient paires. Pour avoir un cube, qu'elles soient multiples de 3 (les puissances associees aux nombres premiers de la decomposition, n'est ce pas !).
Et on en reparle demain.

[SuperSansPlomb]

Bon,
Tu fais
216*1
216*2
216*3
216*4
216*5
216*6
Et la, ... miracle !
relis mon premier post, avec en tete que, pour avoir un carre parfait, il faut que toutes les puissances soient paires. Pour avoir un cube, qu'elles soient multiples de 3 (les puissances associees aux nombres premiers de la decomposition, n'est ce pas !).
Et on en reparle demain.

Merci


216*1 = 216
216*2 = 432
216*3 = 648
216*4 = 864
216*5 = 1080
216*6 = 1296 est un carré parfait

216^2 = 46 656
216 x 216 = 46 656
216 = 2^3 x 3^3

2^3 = 8
3^3 = 27

8 + 27 = 35

12 x 3 = 36 = 6 x 6

216 x 36 x 6 = 216 x 216 = 46 659
36 x36 = 1296
216x6 = 1296

Et il faut qu' "un carre parfait, il faut que toutes les puissances soient paires. Pour avoir un cube, qu'elles soient multiples de 3 (les puissances associees aux nombres premiers de la decomposition, n'est ce pas !)."

En l'occurence 2^3 et 3^3 , les puisances sont impairs

Je vois pas comment on pourrait faire pour que les puissances soient paires ...

Je commence a mélanger les calculs ou quoi ?

[ginkoTA]

Si on multiplie par 6, on obtient . Qui est un carré parfait. Donc, en multipliant par 6, tu obtiens à partir de 216 un carré parait.

[SuperSansPlomb]

Si on multiplie par 6, on obtient . Qui est un carré parfait. Donc, en multipliant par 6, tu obtiens à partir de 216 un carré parait.

D'accord donc 216 X 6 = 1296 qui est un carré parfait

6 est alors le plus petit entier qui multiplié par 216 est un carré parfait .

Je n’avais pas compris la question comme ça puisque pour avoir un carré parfait il faut multiplier un nombre entier par lui même normalement …


Merci de m'avoir aidé

[ginkoTA]

On est d'accord.

Pour avoir N un carré parfait, il faut que N soit le multiple d'un entier M par lui-même. Tu ne connais rien a priori de M. (au départ du moins)

Ta question consistait à trouver le plus petit nombre qui multiplié par 216 donne un carré parfait.
En d'autres termes, tu cherches le plus petit carré parfait qui est divisible par 216.

C'est différent de chercher la carré de 216... qui lui, est bien 216*216.

[ginkoTA]

pour avoir un carré parfait il suffit multiplier un nombre entier par lui même

4*9 est aussi un carré parfait. Le fait est que tout carré parfait peut être vu comme le produit d'un entier par lui-même.
Mais quand on ne fait pas de décomposition en facteurs premiers, il n'y a pas unicité de l'écriture :



Dans tous ces produits, un seul est explicitement (de façon apparente) le produit d'un entier par lui-même. Mais tous, au final, sont égaux à 6*6, et sont donc des carrés parfaits.

[SuperSansPlomb]

Merci pour ces explications !