Les 3 portes

[Amanuensis]

Mais qui n'a jamais "joué" avec les chaines de Markov ?

Je ne suis pas bien sûr du pourquoi du choix du terme "markovien" par pesdecoa, ne voyant pas le rapport entre les chaînes de Markov et la description du point de vue...
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[JPL]

Il me semble qu'une partie des problèmes vient du fait que certains raisonnent dans l'hypothèse où le joueur connaît la règle suivie par l'animateur (parce que la règle a été communiquée au départ, ou parce que le joueur voit que l'animateur regarde derrière la porte pour l'ouvrir), d'autres dans l'hypothèse où le joueur ne peut pas connaître la règle (non communiquée et jeu nouveau sans historique connu), d'autres enfin dans l'hypothèse où la règle n'est pas communiquée mais où le joueur va l'inférer des émissions déjà diffusées... avec deux variantes : toutes les jeux sont diffusés/seuls des jeux sélectionnés sont diffusés).

Cela construit une vraie tour de Babel.

[Deedee81]

Salut,

Je ne suis pas bien sûr du pourquoi du choix du terme "markovien" par pesdecoa, ne voyant pas le rapport entre les chaînes de Markov et la description du point de vue...

Les chaînes de Markov décrivent des processus sans mémoire. Mais c'est vrai que ce n'est pas du tout l'opposition habituellement relevée, on parle de Bayésiens et de fréquentistes il me semble (attention, je ne dis pas que ça s'applique ici , je rappelle juste l'opposition habituelle). Et je vois d'ailleurs mal comment les employer ici !!!

[Philou67]

Puisque Pa5cal a fait un petit programme en C (quelqu'un d'autre en mentionne également un dans un autre forum) je serais curieux de connaître le résultat sur un grand nombre de tirage selon que le programme a pour règle que l'animateur choisit au hasard ou que l'animateur choisit volontairement la chèvre. Il y a juste un IF en plus ou en moins pour passer de l'un à l'autre. Bien entendu si le choix est au hasard il ne faut faire les statistiques des gains que sur les cas où le hasard de l'animateur est tombé sur la chèvre.

Je ne connais rien à Bayes (enfin, j'ai peut-être connu à une époque), mais j'ai programmé le jeu avec les deux variantes : le cas où l'animateur sait où le lot est caché, et le cas où l'animateur est bête (il choisi au hasard une porte parmi les 2 portes que le joueur n'a pas choisi).
Le résultat, sur 10M de jeu tends vers :
Jeu 1: le joueur qui change de porte gagne 2 fois sur 3
Jeu 2: sur les jeux où l'animateur n'a pas ouvert la porte du lot, le joueur qui change de porte gagne 1 fois sur 2.

Le programme (en perl) :

 Cliquez pour afficher

#!/usr/bin/perl

use strict;
use warnings;
use feature qw(:5.10);

srand(time);
my @portes = ([qw(c c v)], [qw(c v c)], [qw(v c c)]);
my $jeux = $ARGV[0] // 10000000;
sub tirage() {
  return @{$portes[rand(3)]};
}

sub jouer() {
  return int(rand(3));
}

sub animer($@) {
  my ($choix_joueur, @tirage) = @_;

  my @chevre_restante = grep $_ != $choix_joueur && $tirage[$_] eq "c", 0 .. 2;
  return $chevre_restante[int(rand(@chevre_restante))];
}

sub animer_sans_savoir($@) {
  my ($choix_joueur, @tirage) = @_;

  my @chevre_restante = grep $_ != $choix_joueur, 0 .. 2;
  return $chevre_restante[int(rand(@chevre_restante))];
}

sub dernier_choix($$) {
  my ($choix_joueur, $choix_animateur) = @_;

  return 3 - $choix_joueur - $choix_animateur;
}

my ($gain_si_inchange, $gain_si_change) = (0, 0);
my ($gain_si_inchange_bete, $gain_si_change_bete, $jeux_bete) = (0, 0, 0);
foreach (1 .. $jeux) {
  my @tirage = tirage();

  my $choix_joueur = jouer();
  my $choix_animateur = animer($choix_joueur, @tirage);
  my $choix_animateur_bete = animer_sans_savoir($choix_joueur, @tirage);

  $gain_si_inchange += $tirage[$choix_joueur] eq "v";
  $gain_si_change   += $tirage[dernier_choix($choix_joueur, $choix_animateur)] eq "v";

  if ($tirage[$choix_animateur_bete] ne "v") {
    $jeux_bete++;
    $gain_si_inchange_bete += $tirage[$choix_joueur] eq "v";
    $gain_si_change_bete   += $tirage[dernier_choix($choix_joueur, $choix_animateur_bete)] eq "v";
  }
}

say "Gain si inchangé: ", int(100000 * $gain_si_inchange / $jeux) / 1000, q(%);
say "Gain si changé:   ", int(100000 * $gain_si_change / $jeux) / 1000, q(%);

say "Si l'animateur est bête, et qu'il ne sait pas où est la voiture (nombre de jeu avec suspense : ", int(100*$jeux_bete/$jeux), q{%): };
say "Gain si inchangé: ", int(100000 * $gain_si_inchange_bete / $jeux_bete) / 1000, q(%);
say "Gain si changé:   ", int(100000 * $gain_si_change_bete / $jeux_bete) / 1000, q(%);

Le résultat avec 10M de jeu :

$perl les3portes.pl 10000000
Gain si inchangé: 33.345%
Gain si changé:   66.654%
Si l'animateur est bête, et qu'il ne sait pas où est la voiture (nombre de jeu avec suspense : 66%):
Gain si inchangé: 50.011%
Gain si changé:   49.988%

[JPL]

Donc exactement ce que je prévoyais. Merci.
Et pour couvrir tous les cas : quelles sont les probabilités de gain du joueur sur l'ensemble des jeux avec un animateur qui ouvre la porte au hasard (donc en incluant les cas où l'animateur tombe sur la voiture) ?

[Amanuensis]

Donc exactement ce que je prévoyais. Merci.
Et pour couvrir tous les cas : quels sont les probabilités de gain du joueur sur l'ensemble des jeux avec un animateur qui ouvre la porte au hasard (donc en incluant les cas où l'animateur tombe sur la voiture) ?

1/3 (même sur un seul jeu)

(en supposant que le joueur ne peut pas choisir la voiture si dévoilée par l'animateur...)

[JPL]

C'est logique bien entendu mais si je posais la question d'une "démonstration " expérimentale c'est pour le cas où quelqu'un contesterait la restriction aux cas où l'animateur n'était pas tombé sur la voiture car j'ai eu l'impression en suivant cette discussion que tout n'était pas clair dans l'esprit de certains.

[Amanuensis]

J'ai tendance à utiliser (et du coup comprendre) "statistique" pour une donnée issue d'un ensemble de tirages ("démonstration expérimentale"), et "probabilité" seulement pour une évaluation prédictive. Habitude de bayésien, évidemment...

[JPL]

Je comprends. Mais dans le cas présent on a une situation ambiguë car on utilise les statistiques de ces tirages (pseudo) aléatoires pour en inférer la probabilité de gain. Donc soit un mot soit l'autre selon la rédaction de la phrase. Bien entendu cette expérience n'a pas du tout la même valeur qu'une preuve mais elle peut convaincre des gens qui buteraient sur le problème logique.

[Philou67]

JPL, je crois qu'ici, on utilise (le programme) les statistiques comme une mesure expérimentale des probabilités préalablement calculées.
J'ai donné les statistiques des jeux ou l'animateur n'ouvrait pas la porte avec le lot (66%).
On peut donc en déduire que statistiquement, le joueur à 1 chance sur 3 de gagner le lot sans changer de choix, 1 chance sur 3 de gagner le lot en changeant de choix, et que l'animateur (qui n'est finalement pas si bête) à une chance sur 3 de gagner le lot

(je suis en train de programmer le jeu avec plus de 3 portes )

[invite2313209787891133]

J
Jeu 2: sur les jeux où l'animateur n'a pas ouvert la porte du lot, le joueur qui change de porte gagne 1 fois sur 2.

Il y a forcément une erreur quelque part : Si on considère uniquement les situations pour lesquelles l'animateur a ouvert la porte au hasard, mais est tombé sur une chèvre la situation est en tout point identique au problème de départ (lorsqu'il ouvre la porte en sachant que la chèvre se trouve derrière).

[Amanuensis]

C'est reparti...

[stefjm]

Mais non, mais non ti ti pi di bi
Mais non, mais non ti ti ti
Mais non, mais non ti ti bi di bi
Bi di bi di bi di bi di di di di

http://www.nomorelyrics.net/fr/Henri...n-paroles.html

[Amanuensis]

Il va être expliqué à la fin que c'est juste pour "voir jusqu'où ça pourrait aller", genre message #42...

[pesdecoa]

Les maths se veulent factuels. Il est curieux du coup de voir une telle controverse à propos de la notion basique de probabilité. on voit clairement qu'il y a plusieurs "écoles de pensée"

[Philou67]

Avec 10 portes et 1M de tirages :

$ perl lesnportes.pl 1000000 10
Gain si inchangé: 10.026%
Gain si changé:   89.973%
Si l'animateur est bête, et qu'il ne sait pas où est la voiture (nombre de jeu avec suspense : 20%):
Gain si inchangé: 50.007%
Gain si changé:   49.992%

[Philou67]

on voit clairement qu'il y a plusieurs "écoles de pensée"

On peut considérer logique d'avoir plusieurs écoles de pensées, du moment qu'on arrive au même résultat, non ?

[invite2313209787891133]

C'est reparti...

Lorsque je t'ai posé la question ici : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post4263928

Tu étais d'accord pour dire que la probabilité de tomber sur le lot est 2 fois plus importante si le joueur change de porte non ?

[Amanuensis]

Les maths se veulent factuels.

Les probas c'est pas des maths pures (la théorie mathématique "pure" sous-jacente est la théorie de la mesure), c'est une forme de "mathématiques appliquées". C'est comme en physique, ce ne sont pas les calculs qui posent problème, mais leur interprétation en termes de ce qu'ils représentent dans "la vie réelle".

Il est curieux du coup de voir une telle controverse à propos de la notion basique de probabilité. on voit clairement qu'il y a plusieurs "écoles de pensée"

L'erreur est de penser que la notion de probabilité est "basique" ! C'est une illusion, à classer avec toutes celles entretenues par l'enseignement et la vulgarisation.

La divergence principale sur les probabilités porte sur la notion elle-même !

[Amanuensis]

Lorsque je t'ai posé la question ici : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post4263928

Tu étais d'accord pour dire que la probabilité de tomber sur le lot est 2 fois plus importante si le joueur change de porte non ?

Effectivement j'ai répondu de travers, votre attitude n'incitant pas à prendre la discussion avec vous au sérieux. Pas mon habitude de faire ce genre de manque de rigueur (vous pouvez faire les stats sur 27000 messages), mais je suis comme tout le monde, l'émotivité intervient, et il y a certains types de participants qui me portent sur le système.

Sur les six cas équiprobables, le choix a posteriori en retient 4, les deux dans lesquels le joueur a choisi la porte gagnante, et deux où il n'a pas choisi la porte gagnante, les deux éliminés par le choix a posteriori étant nécessairement parmi les 4 cas où le joueurs n'a pas choisi la porte gagnante.

[Xoxopixo]

Il y a forcément une erreur quelque part : Si on considère uniquement les situations pour lesquelles l'animateur a ouvert la porte au hasard, mais est tombé sur une chèvre la situation est en tout point identique au problème de départ (lorsqu'il ouvre la porte en sachant que la chèvre se trouve derrière).

Lorsque j'ai répondu.
http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post4263722

J'ai bel et bien produit la simulation du jeu, et cette simulation a bel et bien donné un résultat différent, selon que l'animateur choisisse les boites au hasard, et selon que l'animateur ouvre les boites sciemment.
Il s'agissait, concernant ma réponse, d'un résultat experimental.

Et les résultats statistiques prédit par Médiat sont très exactement ceux théorique qu'il a proposé. (j'ai fait tourner avec 1 Million de tirages)
Resultat 10 Boites.JPG
Resultat 3 Boites.JPG

Il y a donc une différence entre les deux cas, même si on arrive au même résultat : 2 boites fermées dont 1 contient le lot et les autres boites toutes ouvertes...

[stefjm]

La divergence principale sur les probabilités porte sur la notion elle-même !

Je crois que j'ai déjà lu cela sous la plume de Smullyan, dans son livre : "Ca y est, je suis fou!"

De ce que j'avais compris à l'époque, il avait noté que même des mathématiciens en arrivaient aux mains...

Quand on en aura fini avec celui la, je relancerai le problèmes des deux enveloppes où il y a intérêt à changer car l'espérance de gain est positive.
http://forums.futura-sciences.com/sc...quantique.html

[Amanuensis]

Quand on en aura fini avec celui la, je relancerai le problèmes des deux enveloppes où il y a intérêt à changer car l'espérance de gain est positive.
http://forums.futura-sciences.com/sc...quantique.html

Hmm... Je n'avais pas participé à cette discussion. Il me semble qu'il y en a eu au moins une autre moins ancienne sur le même problème, et avec un traitement moins vaseux (leur conclusion est fausse (1), cause absence de discussion du prior). Une analyse "à la bayesienne" de la question est bien plus intéressante que le problème des trois portes, et montre qu'un raisonnement probabiliste "à la bayésienne" est adapté, alors que l'approche fréquentiste butte sur l'espace probabilisé. Et cette question est utile pour illustrer le choix de prior !

(1) Non, la stratégie "changer" n'est pas la bonne... Ni ne pas changer... Faut être débile de changer si l'enveloppe indique 1 milliard d'Euros, et faut être débile pour ne pas changer si elle indique 1 euro. Encore plus évident si on remplace le facteur 2 par un facteur bien plus grand, genre 100 ou 1000 ou 10000000000...

[invite2313209787891133]

Je suis bien obligé d'admettre que j'ai tord si la simulation le dit, mais je ne demande qu'à comprendre où est mon erreur et pour quelle raison les 2 situations ne sont pas équivalentes (ensemble des cas où le choix du vendeur est une chèvre avec tirage aléatoire, ou choix délibéré d'une porte cachant une chèvre par l'animateur).

Imaginons le cas suivant :
- Un 1er animateur choisi une porte au hasard après que le joueur ai fait son 1er choix, mais ne l'ouvre pas.
- Un second animateur (animateur2), qui sait où se trouve la voiture valide le choix de l'animateur 1 si la porte cache une chèvre, ou annule le jeu si il y a une voiture.

Sur l'ensemble des jeux n'ayant pas été annulés peut on alors dire que le joueur a autant de chance de gagner la voiture en restant sur son choix initial ?


###### citations supprimées à la demande de leur auteur

[pesdecoa]

Moi incontestablement bayésienne! D'ailleurs dans mon domaine propre, on ne se sert que de l'approche bayésienne.

De même. Il me semble que ton domaine est la médecine.
La formule "magique" de Bayes nous apprend des choses surprenantes notamment sur la fiabilité des tests de dépistage de maladies rares.
Ainsi une maladie qui toucherait 1/100000 de la population et un test fiable à 95% feraient que même si je suis positif au test, je n'ai que 2% de risque d'avoir effectivement la maladie!

[invite6754323456711]

mais je ne demande qu'à comprendre où est mon erreur

Je me demande si c'est pas lié à la confusion sur le mode de pensée des probabilités qui est un raisonnement inductif et non un raisonnement déductif qui lui nécessite de disposer "d’assez d’information" pour permettre l'inférence et peut dans certain cas être traité par le dénombrement.

Patrick

[Amanuensis]

@Dudulle, je ne sauve pas la face, je reconnais mon erreur et en présente des excuses.

###### supprimé

(De toutes manières, on vous l'a expliqué plusieurs fois, différemment, votre erreur. S'il vous faut des stats faite par un programme qui ne fait que mouliner un grand nombre de fois ce qui se fait en quelques secondes une fois avec un papier et un crayon, il y a un problème grave. Pire, votre première réaction est de dire que le programme doit être faux...)

Bye (re)

[Amanuensis]

La formule "magique" de Bayes nous apprend des choses surprenantes notamment sur la fiabilité des tests de dépistage de maladies rares.
Ainsi une maladie qui toucherait 1/100000 de la population et un test fiable à 95% feraient que même si je suis positif au test, je n'ai que 2% de risque d'avoir effectivement la maladie!

Attention au terme "fiable" ! Il est ambigu. Si un test est "fiable" à 95%, que la probabilité de faux-positif est nulle, et que vous êtes positif, la probabilité que vous ayez la maladie est de 95 %.

[pesdecoa]

Peut-être...

Exemple de cas où raisonner en causal amène la perplexité : Soit une urne avec 10 boules blanches et 10 boules noires, et deux tirages sans remise. Quelle est la probabilité que le premier tirage soit d'une blanche sachant que le second tirage est d'une blanche ?

Il faut faire le raisonnement suivant:
P(A)=1/2 (probabilité a priori d'une boule blanche au 1er tirage)
P(C/A) : probabilité d'une boule blanche au second tirage sachant que la première est une blanche =9/20
P(C/B) : probabilité d'une boule blanche sachant que la première est une noire =11/20
Donc la solution est
P(A/C)=9/20*1/2/(9/20*1/2+11/20*1/2)
P(A/C)=9/20
Donc si tu sais que la deuxième boule est une blanche, alors il y a plus de chance que la première fut une noire...

[pesdecoa]

pardon... petite erreur de calcul

Il faut faire le raisonnement suivant:
P(A)=1/2 (probabilité a priori d'une boule blanche au 1er tirage)
P(C/A) : probabilité d'une boule blanche au second tirage sachant que la première est une blanche =9/19
P(C/B) : probabilité d'une boule blanche sachant que la première est une noire =10/19
Donc la solution est
P(A/C)=9/19*1/2/(9/19*1/2+10/19*1/2)
P(A/C)=9/19
Donc si tu sais que la deuxième boule est une blanche, alors il y a plus de chance que la première fut une noire...