L'hôtel infini de Hilbert

[GradJ]

Bonjour à tous, je viens vous partager ici un article que j'ai écris sur mon blog ### supprimé : autopromotion. Il raconte le pseudo paradoxe de l'infini, surtout cela devient un paradoxe avec des yeux ne voyant que le fini.

Imaginez un hôtel qui vous indique à l’entré « No vacancy » (complet), on passe donc notre chemin. Pourtant dans un monde infini ce genre de chose est totalement possible mais qui plus est … on vous trouvera une chambre.
Admettons un hotel infini, avec une infinité de chambre. Toutes* les chambres sont occupées. Mais le réceptionniste vous indique qu’il pourra vous donner une chambre. En évacuant les problèmes de divergences, il indiquera à toutes les personnes de changer de chambre en prenant le numéro de leurs chambres et d’aller dans la chambre ayant leurs numéro + 1.

Donc dans ce cas, la chambre 0 se libère et tout le monde pourra s’endormir dans un autre lit. Ici si vous imaginez ceci dans un monde fini, c’est tout simplement impossible. Mais dans un monde infini, vous ne pouvez dire qu’il y a un moment « Voilà la dernière chambre » vous ne pouvez vous arrêter de compter.

Car si vous vous arrêtez en y indiquant que vous êtes arrivé à l’infini, regarder à côté de vous, vous y verrez encore de la place … donc quelque chose de plus grand que l’infini … ce qui montre que vous n’êtes toujours pas arrivé à la dernière chambre. Force est de constaté que vous n’y arriverez jamais.

Maintenant imaginons, un car infini qui vient avec une infinité de passagers. Votre hôtel est complet mais le réceptionniste n’a pas peur.

Il demandera aux personnes de l’hotel de multiplier le numéro de leurs chambre par 2 et d’aller dans la chambre qu’indique cette multiplication et aux personnes du car de prendre les chambres impaires.

Petite question pour une réflexion sur cet hôtel :

Et si nous avions une infinité de car avec une infinité de passagers ?

Pour obtenir la réponse à ceci, je vous invite à répondre à ce billet

*Faites attention avec ce toutes, il peut prêter à confusion"
**Ne faites pas trop attention aux fautes d'orthographes, je me ¬relis
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[pelkin]

Bonjour,

Ben oui, et où est l'humour ?
Quelle est la différence entre un car et un hôtel de nombre de places infini ?
Et pourquoi se tracasserait-on qu'il y ait deux cars, ou trois cars, ou X cars ???
Quel est l'intérêt d'un pseudo paradoxe réglé depuis des lunes ?
Bref, quelle est la question ?

Bonne soirée.

[GradJ]

Bonjour,

Dites moi si après ce message j'aurai répondu à vos questions.
L'humour est subtile, en tout cas il ne fera pas place à un éclat de rire mais plutôt à une réflexion que je trouve assez riches de sens concernant la notion d'infini.
En répondant à la question, qui est très mal posée, :

"Comment pourrions-nous loger une infinité de cars infini dans un hôtel infini complet ?"

Le problème de x cars, admettons déjà un cars, nous avons du nous poser la question concernant la possibilité d'obtenir une infinité de chambre sans avoir deux personnes ayant la même chambre. D'où l'idée des nombres pairs et impairs. Maintenant le problème devient tout autre en essayant de loger une infinité de cars avec une infinité de personnes.

Ce paradoxe n'est pas, car tout simplement on doit réfléchir dans le cadre de l'infini. Mais j'ai voulu apporter ce problème qui n'a qu'une simple et vague solution sur Wikipedia et surtout qui ne laisse pas la possibilité de réfléchir. Surtout que ce problème est à la portée d'un élève de lycée voir de collège. Maintenant je suis tout à fait d'accord que ce problème ne date pas d'hier mais j'ai voulu le remettre au goût du jour.

Maintenant il se peut que je me sois tromper de catégorie, mais j'ai trouvé que ce sont des mathématiques amusantes. Mais si vous le voulez je veux bien rediriger ce post à un autre endroit sur le forum.

Pour les personnes qui auraient trouvés une solution, posez-vous la question :

"En ayant, mon hôtel accueillant une infinité de passagers venant de différents cars infini, est-ce que votre hôtel est-il toujours aussi complet ?"

Excellente soirée

**Veuillez encore une fois m'excuser de mon orthographe désastreuse pour les plus littéraires d'entre vous

[Amanuensis]

C'est un classique... Faudrait quand même préciser une infinité dénombrable de cars, chacun avec une infinité dénombrable de passagers. Sinon, faut un hôtel dont la numérotation des chambres n'est pas par N...

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Il y a plein de solutions possibles, comme par exemple les puissances de premiers (une infinité de premiers, et une infinité de puissances pour chaque). Pour libérer ces chambres, on met l'occupant de la (p+k)p^(n-1) dans la (p+k+1)p^(n-1), ce qui libère la p^n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GradJ]

Tout à fait d'accord qu'il faudrait bien entendu ne pas étendre à un infini non dénombrable, maintenant avez-vous déjà vu la chambre 2,3 ? Vous pourriez me répondre de la même manière en me disant "Avez-vous déjà vu un hotel infini ?" ^^ j'en conviens la rigueur.

Concernant la rigueur, vous n'avez pas spécifié le p, k et n, pour un observateur lambda la réflexion pourrait sembler plus complexe.

Maintenant concernant la place dans votre hôtel, y a-t-il des chambres vides ? Surtout pouvons-nous émettre l'idée que l'hôtel serait plus vide que précédemment ?

[EricoB]

Bonjour,

Cette question est très amusante quand on commence à avoir une réponse !

Voici comment je vois la solution :

Si pour loger un car contenant une infinité de passagers dans un hôtel infini complet il "suffit" d'attribuer à chaque résident une nouvelle chambre dont le numéro est égal au double du numéro de la chambre initiale, "on n'a qu'à" répété cette opération une infinité de fois pour loger une infinité de cars contenant chacun une infinité de passagers, non?

Et au final on a une infinité de chambres vides dans notre hôtel "complet". On ne peut pas dire qu'un hôtel soit plus vide qu'un autre vu qu'on peut trouver une infinité de chambres vides dans tous.

[Amanuensis]

Concernant la rigueur

C'est en spoil, mon but n'est pas la rigueur, juste d'indiquer la piste. Au lecteur de compléter.

[GradJ]

C'est en spoil, mon but n'est pas la rigueur, juste d'indiquer la piste. Au lecteur de compléter.

Pas de problème

[GradJ]

Bonjour,

Cette question est très amusante quand on commence à avoir une réponse !

Exactement, on peut commencer à s'amuser dans un monde où nos intuitions sont totalement perturbées.

Voici comment je vois la solution :

Si pour loger un car contenant une infinité de passagers dans un hôtel infini complet il "suffit" d'attribuer à chaque résident une nouvelle chambre dont le numéro est égal au double du numéro de la chambre initiale, "on n'a qu'à" répété cette opération une infinité de fois pour loger une infinité de cars contenant chacun une infinité de passagers, non?

Je n'ai pas compris, l'"opération", si l'opération est d'attribuer une chambre pair vous ne pourrez loger qu'un seul Car. Comment ferez-vous pour le deuxième car ? Et le troisième ?

Et au final on a une infinité de chambres vides dans notre hôtel "complet". On ne peut pas dire qu'un hôtel soit plus vide qu'un autre vu qu'on peut trouver une infinité de chambres vides dans tous.

L'idée est là, on aurait pu se demander cette question :

Si l'on prend tous les nombres naturels, on en a une infinité, est-ce que l'ensemble des nombres pairs est-il plus petit que l'ensemble des nombres naturels ?

Répondre à cette question est essentiel pour les personnes qui sont coincé.

[EricoB]

Je n'ai pas compris, l'"opération", si l'opération est d'attribuer une chambre pair vous ne pourrez loger qu'un seul Car. Comment ferez-vous pour le deuxième car ? Et le troisième ?

Je voulais dire : une fois que le premier car est logé, rien ne nous empêche de réattribuer à chacun une chambre paire pour loger le second car, puis refaire la même chose pour le troisième car, etc ...

[Smooth56]

Bonjour !

Excusez moi, mais je crois ne pas avoir bien compris.

Si l'on dit que l'hotel infini est complet, alors la phrase " il indiquera à toutes les personnes de changer de chambre en prenant le numéro de leurs chambres et d’aller dans la chambre ayant leurs numéro + 1 " ne peut pas être vraie, car l'hotel infini est complet.

Pour moi, c'est comme si, par définition, n'importe quelle chambre de cet hotel est dite "prise". Comme un état si vous voulez.

Ou alors je n'ai pas compris le premier astérisque.

[Amanuensis]

Au même moment, tous les clients sortent de leur chambre, puis vont dans celle de numéro une unité de plus. Comme son occupant vient de sortir, elle est libre. Donc tous les clients déjà là restent logés. Et la chambre 0 est alors inoccupée.

Où est le problème?

[Smooth56]

Mais puisque l'hotel est complet, il se pose forcément un problème lorsqu'on avoisine l'infini, non ? Une personne ne trouvera pas sa place. Je comprend que lorsqu'on évoque l'infini, on peut "créer" de nouvelles places, mais celles que l'on cherche vers +oo seront forcément occupées.
Je suis d'accord avec le fait que la chambre 0 reste vide, mais une personne ne sera pas logée, celle vers +oo qui ne pourra pas trouver sa place, car par définition "l'hotel infini est complet"

[Amanuensis]

Supposons qu'un client ne soit pas logé après le mouvement.

Supposons que ce soit celui qui était dans la chambre n. Alors il est logé, puisque le client de n+1 a quitté sa chambre.

En appliquant la règle du raisonnement par l'absurde, cela prouve que la supposition initiale est fausse. Autrement dit, tous les anciens clients sont logés après le mouvement.

La logique mathématique est imparable.

(En fait, il y a bien d'autre suppositions possiblement absurdes, comme la notion même d'hôtel infini, ou la possibilité d'avertir tout le monde du changement, etc. Mais affirmer que l'hôtel est complet n'est pas un problème.)

[Smooth56]

Merci ! J'ai compris maintenant ^^ En fait c'est un peu comme si ils se décalaient tous à l'infini.

[Amanuensis]

Oui, c'est un phénomène de "bosse glissante", qu'on rencontre couramment en "jouant" avec l'infini... Le truc anormal "disparaît" par passage à l'infini. C'est une propriété anti-intuitive de l'infini (1), et l'hôtel de Hilbert est juste une manière d'illustrer, de manière provocante, cette propriété.

(1) De l'infini actuel, précision destinée à ceux qui apprécient la distinction.