Enigme

[gondebaud]

Bonsoir,
Voici une énigme que je viens de concocter :

" Je suis un nombre entier et positif.
Si on me divise par 100 alors je deviendrais plus petit que 15.
Je serais un carré parfait si on me multiplie par 15.
Je resterais entier si on me divise par 15.
Je serais le dixième d'un carré parfait si on m'enlève 15.
Et en plus la somme de mes chiffres est égale à 15.
Qui suis-je ? "

Bonne recherche !
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[Amanuensis]

Ce serait mieux de s'abstenir de répondre avec une réponse genre "j'ai programmé une recherche exhaustive et le programme a donné tel résultat", disons plutôt une réponse obtenue avec sa tête, un crayon et une serviette en papier à la cantine.

[Seirios]

Bonsoir,

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Avec les données, on en déduit que l'entier est de la forme avec . Si on calcule les onze possibilités, il ne reste plus que trois entiers dont la somme des chiffres vaut quinze : 375, 735 et 960. En utilisant la cinquième condition, on en déduit que la seule possibilité est 375.

On pourra également remarquer que la quatrième condition n'est pas nécessaire, qu'elle peut se déduire des autres.

[gondebaud]

Bravo Seirios, c'est bien ça

@Amanuensis : Bien d'accord et merci de le suggérer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

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Les conditions donnent
* <=1500
* de la forme 15n²
* de la forme 10m²+15

On a la diophantienne 15n² = 10 m² +15, soit 3n² = 2m²+3

Cela impose m multiple de 3, soit n²-1 = 6m'²

Cela impose n impair puis m' pair, et n²-1 = 24 m"²

La première condition impose m"<=2, m"=1 saute aux yeux. m"=0 est aussi solution, mais est rejetée par la somme des chiffres. m"=2 n'est pas solution (97 n'est pas un carré).

On peut remplacer la dernière condition (somme des chiffres décimaux) par une exclusion de la solution 15 (par exemple "dixième d'un carré parfait non nul").

Quand à la première condition, on peut l'élargir pas mal. Si on finit par une recherche sur 10 valeurs, on peut remplacer la limite à 1500 par 360000

[gondebaud]

Ah, ça y est, je viens de comprendre comment on fait pour faire apparaître la fenêtre "Cliquer pour afficher" : Par la balise SPOILER (en bas à droite dans les boutons possibles en mode édition avancée). Bien pratique pour afficher une réponse cachée, pour laisser les autres continuer à chercher sans voir la réponse, j'ignorais que l'on pouvait le faire.

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En fait, j'avais rajouté la cinquième condition après avoir vu qu'il y avait 3 réponses possibles, celles trouvées par Seirios, condition avec laquelle j'avais réfléchi un bon moment (et toujours dans l'esprit d'écrire les conditions en les terminant par 15) jusqu'à trouver celle-là. Je n'avais alors pas pensé que cette nouvelle condition permettrait d'élargir le champ {1..1500}, qui m'avait semblé initialement un peu petit, bien qu'acceptable
Maintenant, si on remplaçait 100 par 20.000 (par exemple) dans la 2ème condition, il y aura alors plus de cas pour 15k² à étudier (plus d'une centaine), ce qui impliquera que la méthode de Seirios sera (très) difficile à appliquer et qu'il faudra "aller plus loin", comme dans votre méthode, Amanuensis... Je me dis aussi que 375 sera bien petit comparé à 300.000, peut-être changer alors la solution par un autre nombre, si on veut refaire ce problème dans ce sens... Je réfléchis aussi à quel niveau de difficulté on se retrouverait. Bref... à méditer.
En tout cas merci pour vos analyses à tous les deux

[Amanuensis]

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L'équation n² - 24m"² = 1 est une équation de Pell-Fermat. Elle a une infinité de solutions, et on peut les obtenir par une méthode systématique, à partir du développement en fraction continue de sqr(24). Cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Fracti...de_Pell-Fermat.

Autrement dit, il y a moyen de trouver la solution suivante autrement que par recherche exhaustive... La flemme d'essayer ce soir.

Autre conséquence: l'énigme peut se développer assez loin en complexité...

[Amanuensis]

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Le développement de la fraction continue est 4 [1, 8], les approximantes intéressantes sont assez espacées. La première est 5/1, amenant à 375. La deuxième est 49/10, amenant à 36015, dont la somme des chiffres vaut, ô miracle, 15. La troisième est 485/99, amenant à 3528375, la somme des chiffres vaut 33...

On peut sans trop s'avancer penser qu'il y a exactement deux solutions à l'énigme en enlevant la première condition, 375 et 36015.

[Amanuensis]

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Et finalement, en enlevant les premières et dernières conditions:

Soit les suites et , initialisées par , , alors les solutions sont

Les premières solutions sont

(1,0) -> 15
(1,1) -> 375
(9,10) -> 36 015
(88,99) -> 3 528 375
(980,881) -> 279 417 975

[Amanuensis]

Hmm... Ce que j'ai appelé première condition est en fait la deuxième, celle majorant.

Et il faut inverser p et q dans le dernier cas, 881, 980 et donc 345 744 015

[gondebaud]

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Bonsoir

Ah oui, excellent! Et le nombre 36.015 est bien le candidat idéal si on veut compliquer cette énigme.
J'ai lu l'article de wiki, je ne connaissais pas la méthode de la fraction continue et l'équation diophantienne de Pell-Fermat (pourtant célèbre d'après wiki). Intéressant également l'exemple du nombre d'or dont la suite périodique est très simple : {}.

Il ne reste donc plus qu'à changer les conditions de façon à augmenter le maximum 1500 (ou peut-être aucun, mais dans ce cas on ne sera jamais sûr qu'il n'y a pas une autre solution très grande, bien qu'improbable, dont la somme des chiffres est 15, c'est une idée... A voir), à virer la solution 375 et peut-être changer d'autres choses selon les suggestions apportées jusqu'à maintenant. Perso, j'essaierais de faire ça ce week-end.

Cela fera ainsi deux problèmes de niveau différent : celui de ce post (plus simple mais qui fonctionne bien) et celui "en cours de complication" par votre méthode qui fera un bon problème (et bien corsé ).

Bonne soirée à tou(te)s.