initiation à la logique:algebre de Boole d'ordre u

[fluorhydrique]

Bonjour
toujours dans la série initiation à la logique avec l'idée de sortir des sentiers battus afin d'interesser le sujet
là cette fois on propose un algèbre de Boole définit sur un ensemble fini à éléments
on appellera ça une algèbre de Boole d'ordre u avec

Sommaire
1)Généralités
2)algèbre de Boole d'ordre 3
3)algèbre de Boole d'ordre 4
4)algebre de Boole d'ordre


1)Généralités

l'ensemble est munis des deux lois : la premiere la loi + et . la seconde loi
ces lois sont définis par quatre axiomes qui definissent leurs proprietes :
-commutatives x+y=y+x et x.y=y.x
-associatives (x+y)+z=x+(y+z) et (x.y).z=x.(y.z)
-forment une distribution (x+y).z=xz+yz et (x.y)+z=(x+z).(y+z)
-forment une potence definie par les propriétés suivantes
les deux lois possèdent chacune un élément neutre
0 est le neutre de la loi +
1 est le neutre de la loi .
x+0=x et x.1=x
et les lois forment une potence selon x+1=1 et X.0=0

munis de ces quatre axiomes on en deduit des théorêmes comme par exemple entre autre
l'existence d'une bijection dans E definie par telle que















et d'autres théorêmes par exemple (liste non exhaustive)

et

et

et

et



et

et

et

et

et le plus important :

si E est un ensemble fini dans lequel on construit un algebre de Boole alors il existe un entier naturel non nul u tel que

par ailleurs et enfin avant d'aborder l'algebre de Boole d'ordre u
on peut traduire n'importe quelle loi de composition interne definie sur un ensemble à deux elements
{0,1} avec rien qu'un algebre de boole definit sur cet ensemble ainsi

pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * commutative qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * commutative qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :

pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * associative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * associative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :

pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :

Bref ...on en reviens à cet algebre là:

dans ce qui suit et afin de differentier et un alebre de Boole on notera
algebre de Boole

Soit un algebre de Boole définit sur un ensemble fini
donc et possède éléments est un algèbre de Boole d'ordre u

1)propriétés générales pour tout u











de plus on considère la bijection
lorsque x est pair
lorsque x est impair

2)algebre de Boole d'ordre 3

en plus des propriétés générales
(donc on peut en déduire par exemple)
on fixe pour cet ordre là uniquement































3)algebre de Boole d'ordre 4

en plus des propriétés générales

on fixe pour cet ordre là uniquement

































































































































































































4)algebre de Boole d'ordre

là on généralise pour tout
cependant je le posterai plus tard car c'est long à écrire
-----

[fluorhydrique]

je corrige une erreur
je voulais dire

...de plus on considère la bijection
lorsque x est pair
lorsque x est impair

bon @+ pour u supérieur ou égal à 5

[Médiat]

Bonjour,

Quelle est l'apport de votre présentation des algèbres de Boole d'ordre , par rapport à l'algèbre de Boole ?

[fluorhydrique]

Bonjour Mediat
c'est du pareil au même
en fait à toute partie d'un ensemble fini je lui attribue un entier naturel

mais disons c'est une autre manière de faire sans passer par l'énumération des éléments d'une partie et la comparaison des parties pour en connaitre la valeur ou
pour l'ordre u supérieur ou égal à 5 je posterai plus tard car c'est manuscrit papier et c'est ...long à re écrire sur un ordi
il y a des tas d'équations à écrire

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Donc : quel est l'intérêt de rendre compliqué (long à écrire), quelque chose de simple et de facile à décrire ?

D'autant plus que si le but est d'attribuer un entier à toutes les parties d'un ensemble fini (sinon c'est impossible), le plus simple, le plus naturel est d'ordonner cet ensemble (surtout si on l'identifie avec un ordinal fini, puisqu'alors l'ordre est naturel), et de considérer que la fonction caractéristique de cette partie est l'écriture en binaire d'un entier.

Ce qui permet entre autres de n'avoir à regarder que les ensembles de la forme , c'est à dire où les opérations sont les opérations naturelles sur un produit cartésien.

[fluorhydrique]

Mediat l'intérêt est justement là
le plus simple n'est pas forcément ludique et n'interesse pas qq comme moi ici (sinon je me serait pas cassé la tête en écrivant ces équat certes je les ai pas posté elles sont longues à écrire je les posterai plus tard c'est écrit sur papier et sans erreur j'ai vérifié mille et mille fois car quand c'est long vaut mieux)
c'est la raison de ce fil : interesser à la chose! mais d'une manière différente
les equat pour n superieures ou egal à cinq sont .. longues à écrire mais bon l'intérêt d'une chose est assez philosophique
c'est vrai

[Médiat]

Mediat l'intérêt est justement là

Désolé, mais je ne comprends toujours pas où est l'intérêt, pourriez-vous être plus clair sur la finalité ?

[fluorhydrique]

l'interêt est relatif à chacun
quand je posterai mes equat on ne verra pas d'interêt car c'est "idiot en soi"
mais alors pourquoi je les ai écrites ?
tout simplement parce que en se donnant une relation d'ordre sur P(n) on ne se donne pas forcément les moyens d'effectuer les calculs sur ces lois
on doit passer par l'évaluation des éléments des parties
or là on s'en passe
mais encore une fois l'intérêt d'une chose est relatif: c'est comme quel interêt qu'on a de vivre
mourir c'est plus simple
belle journée à vous Mediat

[Médiat]

tout simplement parce que en se donnant une relation d'ordre sur P(n) on ne se donne pas forcément les moyens d'effectuer les calculs sur ces lois

Mais bien sûr que si, il suffit de connaître les lois et sur !

[fluorhydrique]

Mediat
alors donc dites moi comment vous ferez pour savoir la solution du X ieme element Union Y ième élément selon votre relation d'ordre total (celle que vous optez mais c'est une convention que vous devez préciser) sans savoir comment est composé X et Y
on arrive pas à moins de se donner une loi intermedaire celle que je propose et dont on voit un exemple pour u=3 ou u =4 mais le systeme d'equation general pour u supérieur ou egal à 5 certes n'est pas encore écrit oui
là je suis là http://www.youtube.com/watch?v=eVTtFjU0T-Y eh oui certes je trompe les maths elles sont jalouses et méchantes soit dit entre nous

[Médiat]

Je l'ai déjà écrit : où les opérations sont les opérations naturelles sur un produit cartésien (ça c'est pour la formulation mathématique).

Formulation pratique : Pour le cas 5, il suffit de considérer les nombres de à et les opérations sont ultrasimples à mettre en place dans un tableur, comme excel :

et

30 secondes pour faire les tables d'addition et de multiplication !

[Médiat]

eh oui certes je trompe les maths elles sont jalouses et méchantes soit dit entre nous

Là je ne peux rien pour vous, la paranoïa n'a pas de solution mathématique.

[fluorhydrique]

quelle paranoia?
vous n'avez pas répondu à ma question mais de là a me traiter de malade mental c'est autre chose

[Médiat]

vous n'avez pas répondu à ma question

Mais si, relisez les posts précédents

[fluorhydrique]

tres mal éduqué en plus...
mais bon ...
revenons en au sujet
comment vous pouvez dire qu'avec votre relation d'ordre vous connaissez la solution ?
vous ne pouvez pas puisque cette relation d'ordre total (et que vous choisissez) ne vous indique pas les elements de la partie

[Médiat]

Je confirme : 30 secondes !

[fluorhydrique]

30 secondes d'un logiciel?

*** Inutile et déplacé ***

[fluorhydrique]

je répète ma question sur quel argumlent vous fondez vous pour justifier le rapport entre une relation d'ordre total sur P(n) et le fait d'en definir les lois d'algebre de Boole sachant que la relation d'ordre total est une convention
celle que vous choisissez
et enfin pourquoi rabaisser les gens en les traitant de paranoiaques?
vous ai-je dit cela?

[Médiat]

je répète ma question sur quel argumlent vous fondez vous pour justifier le rapport entre une relation d'ordre total sur P(n) et le fait d'en definir les lois d'algebre de Boole sachant que la relation d'ordre total est une convention
celle que vous choisissez

Etablir une relation d'ordre revient à établir un lien entre le k^ième (dans l'ordre défini) élément de l'ensemble et la k^ième coordonnée de et donc entre et de (c'est une méthode très classique).

et enfin pourquoi rabaisser les gens en les traitant de paranoiaques?
vous ai-je dit cela?

cf.

eh oui certes je trompe les maths elles sont jalouses et méchantes

Penser que les mathématiques puissent être méchantes avec vous ...

[fluorhydrique]

pour la dernière réponse penser cela serai vraiment imbécile (là ok) : je peux penser qu'un humain me veuille du mal mais penser qu'une entité non humaine ou même un animal me veuille du mal se serai une pure imbécilité
mes mots sont poétiques à l'instart du lien musical mais je m'étonne de cette exagération ciblant mon psychisme à mon encontre

pour la premiere réponse on ne parle pas d'un ensemble à un élément dont il dispose de deux parties

si vous me dites sans me préciser l'ordre que le 1000 ième élément de P(n) Union le 1001 ième élément de p(N) = le 987 ieme Element de p(n) la méthode peut être classique
moi pour ma part je suis pas convaincu
part contre mon tableur pour u=4 là oui je suis convaincu
et pour u superieur ou egal à 5 (pas encore posté) là aussi

[Médiat]

le 1000 ième élément de P(n) Union le 1001 ième élément de p(N) = le 987 ieme Element de p(n)

Le plus naturel est

[fluorhydrique]

non!
le 1000 ième élément de p(n) selon votre relation d'ordre peut posséder l'élément a et 1001 ne pas le posseder et dans ce cas l'union ne sera pas 1001
sur quoi vous fondez vous pour m'en convaincre ?sinon que vous me detaillez les elements qui appartiennent à chacunes des parties de P(n)
et ici il en possede beaucoup et que dire s'il en a des milliards et des milliards
ne pensez vous pas que vous êtes bien obligé de definir chacun des elements de p(n) selon les elements de n qui lui appartiennent?
le plus naturel n'est pas le choix d'un logiciel untel
il n'y a en fait rien de naturel ici

mes equat pour u superieur ou egal à 5 se fichent de la quantitée d'element de n

[Médiat]

non!

Si !! (Etre péremptoire ne vous conduira nulle part)

le 1000 ième élément de p(n) selon votre relation d'ordre peut posséder l'élément a et 1001 ne pas le posseder et dans ce cas l'union ne sera pas 1001
sur quoi vous fondez vous pour m'en convaincre ?

donc contient les éléments N° 4, 6, 7, 8, 9 et 10
donc contient les éléments N° 1, 4, 6, 7, 8, 9 et 10 et donc l'union est bien

[fluorhydrique]

vous confondez notation d'un entier écrit en base quelconque (ici écrit en base deux 1001 écrit en base deux donne l'écriture 1111101001 comme vous dites si bien ) et ce dont on parle là
reflechissez un peu l'algebre de boole n'a rien à voir avec ce genre de relation

vous faites fausse route
je posterai mes formulations plus tard mais en attendant je vous laisse reflechir

[Médiat]

l'algebre de boole n'a rien à voir avec ce genre de relation

Vous démontrez là votre totale ignorance du sujet (très classique, pourtant), je vous abandonne à vos certitudes, je doute que vous ayez beaucoup de lecteurs intéressé par vos formulations puisque ceci existe depuis très longtemps de façon énormément plus facile et plus naturelle ; à défaut de réfléchir, renseignez-vous !

[fluorhydrique]

eh bien je suis triste pour vous Mediat
votre ignorance est complète (confondre une base numérique et partie d'un ensemble il faut le faire)
pour les lecteurs ils choisiront
ne parlons pas à leur place
merci pour eux
belle journée à vous

[gg0]

Quand le sage montre l'étoile, l'imbécile regarde le doigt !

Fluorhydrique, tu regardes le doigt .....

[fluorhydrique]

pas la politesse ni le savoir vivre qui t'étouffe à toi non plus Gg0
ceci dit moi je n'ai traité personne ni de parano ni d'imbécille
et en plus mon fil est valide
les lecteurs jugeront avec intelligence

[ansset]

les lecteurs jugeront avec intelligence

sur ce point. je n'en doute pas.

[fluorhydrique]

...ni du reste de ce que j'ai dit ...
car jusqu'ici vos objections désolé mais ça va pas loin
donc je termine ce fil d'abord puis je demontre les théos et vous verrez...