Bonjour
toujours dans la série initiation à la logique avec l'idée de sortir des sentiers battus afin d'interesser le sujet
là cette fois on propose un algèbre de Boole définit sur un ensemble fini àéléments
on appellera ça une algèbre de Boole d'ordre u avec
Sommaire
1)Généralités
2)algèbre de Boole d'ordre 3
3)algèbre de Boole d'ordre 4
4)algebre de Boole d'ordre
1)Généralités
l'ensemble est munis des deux lois : la premiere la loi + et . la seconde loi
ces lois sont définis par quatre axiomes qui definissent leurs proprietes :
-commutatives x+y=y+x et x.y=y.x
-associatives (x+y)+z=x+(y+z) et (x.y).z=x.(y.z)
-forment une distribution (x+y).z=xz+yz et (x.y)+z=(x+z).(y+z)
-forment une potence definie par les propriétés suivantes
les deux lois possèdent chacune un élément neutre
0 est le neutre de la loi +
1 est le neutre de la loi .
x+0=x et x.1=x
et les lois forment une potence selon x+1=1 et X.0=0
munis de ces quatre axiomes on en deduit des théorêmes comme par exemple entre autre
l'existence d'une bijection dans E definie par
et d'autres théorêmes par exemple (liste non exhaustive)
et le plus important :
si E est un ensemble fini dans lequel on construit un algebre de Boole alors il existe un entier naturel non nul u tel que
par ailleurs et enfin avant d'aborder l'algebre de Boole d'ordre u
on peut traduire n'importe quelle loi de composition interne definie sur un ensemble à deux elements
{0,1} avec rien qu'un algebre de boole definit sur cet ensemble ainsi
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * commutative qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=0
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * commutative qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=1
1*1=0
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=0
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative qui donne
0*0=0
0*1=0
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * qui donne
0*0=1
0*1=0
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=0
0*1=1
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
pour la loi * associative & commutative qui donne
0*0=1
0*1=1
1*0=1
1*1=1
on l'obtiens par :
Bref ...on en reviens à cet algebre là:
dans ce qui suit et afin de differentier
algebre de Boole
Soit un algebre de Boole définit sur un ensemble fini
donc
1)propriétés générales pour tout u
de plus on considère la bijection
2)algebre de Boole d'ordre 3
en plus des propriétés générales
(donc on peut en déduire par exemple
on fixe pour cet ordre là uniquement
3)algebre de Boole d'ordre 4
en plus des propriétés générales
on fixe pour cet ordre là uniquement
4)algebre de Boole d'ordre
là on généralise pour tout
cependant je le posterai plus tard car c'est long à écrire
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Envoyé par fluorhydrique 