Bonjour
Voici ici un truc sympa qui date de l'an passé lorsque j'ai voulu comprendre la théorie des ensembles dans le cadre de mon itinéraire d'auto-didacte passionné des maths mais ne pouvant avancer sans quelques fondamentaux ... bref un truc sympa pour rendre ludique l'initiation à la logique (d'ordre zero) en proposant :
"les énigmes binaires"
Sommaire:
I notations générales
II notation pour les énigmes binaires de premier niveau
III notation pour les énigmes binaires de second niveau
IV exemple d'énigme binaire utilisant la notation de second niveau
I notations générales
une énigme binaire consiste à répondre à une énigme donnée après avoir posé des questions "binaires" (ie questions dont les réponses signifient soit OUI soit NON) à des répondants qui peuvent soit toujours dire la vérité soit toujours mentir soit enfin dire la vérité de façon dépendant d'une fonction
par exemple tel répondant disant la vérité selon une fonction aléatoire ou tel répondant disant la verité si le repondant precedent a menti mais mentant si ce répondant précédent a dit la vérité (exemples de fonctions)
on pose la conventiond'un répondant qui vient de dire la verité à la question qu'on viens de lui poser
celles-ci se présente sous deux formes definies par le niveau de leurs notations voir le chapitre suivant
II notation pour les énigmes binaires de premier niveau
une question peut se présenter sous la forme
p désigne une proposition et a prend pour valeur 0 ou 1 selon la question posée
on remplace p par la valeur 1 pour signifier que p est vrai et par 0 si elle est fausse
significations des questions
on considère le répondant à qui s'adresse la question et qui donne la réponse
comme on viens de voir pour tel répondant celui-ci répond à la question posée selon une fonction
ci-dessous une table où à toute réponse d'un répondant
...car si p est vrai et que le repondant dit la verité
...car si p est vrai et que le repondant dit la verité
...car si p est fausse et que le repondant dit la verité
...car si p est fausse et que le repondant dit la verité
...car si p est vrai et que le repondant ment
...car si p est vrai fausse et que le repondant ment
...car si p est fausse et que le repondant ment
...car si p est fausse et que le repondant ment
III notation pour les énigmes binaires de second niveau
une question peut aussi se présenter sous la forme
p designe une proposition et j un répondant
on remplace p par la valeur 1 pour signifier que p est vrai ou par la valeur 0 sinon
on remplace j par le chiffre 1 pour signifier que le répondant j dit la vérité ou par la valeur 0 sinon
on considère le couple ab où a et b peuvent prendre les valeurs 0 ou 1 selon la question posée
significations des questions
ci-dessous une table où à toute réponse d'un répondant
IV exemple d'énigme binaire utilisant la notation de second niveau
on va utiliser la table précédente pour résoudre l'enigme suivante :
(on peut même construire des énigmes plus compliquées que celles ci et que l'on résous en consultant la table)
"enigme"
Après votre mort vous vous trouvez à une croisée de chemins. Il y a deux chemins possibles; L'un mène au paradis tandis que l'autre mène à l'enfer
à cet embranchement se trouvent deux anges qui connaissent le chemin qui indique le paradis et l'enfer
L'un de ces anges dit toujours la vérité tandis que l'autre ment toujours
Vous avez le droit de poser qu'une seule et unique question à l'un de ces deux anges et qui lui pour sa part sera obligé de vous donner une réponse exploitable mais cependant ils ne répondent qu'avec deux mots dans leurs vocabulaire:
Soit en vous répondant JA soit en vous répondant DA
Ces anges parlent la même langue et dans leur dialecte ces deux mots signifie OUI pour l'un et NON pour l'autre
Malheureusement vous ne connaissez pas leur dialecte et n'êtes pas en mesure de dire si le mot JA signifie OUI ou s'il signifie NON
Question de l'énigme:quel serait la question à poser pour être sûr de connaitre le chemin du paradis?
Solution: une reponse possible à poser serait: Si je demande à ton collègue si le chemin du paradis se trouve à droite me répondra t-il JA?
si cet ange là à qui je pose la question me répond JA alors le chemin exact est à gauche sinon il est à droite
en consultant le tableau on trouve sans difficultée et très rapidement la solution qu'il faut donner à l'énigme
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