Aire de SCHMIDT
Voivi un exercice particulièrement intéressant. Il demande un peu d'astuce mais reste néanmoins abordable par tout les élèves de prépa.
Montrer que L est linéaire.
Avec L(S) = i*n*e(S)
i : nombre complexe tel que i*i=-1
n : nombre entier non nul
e : l'exponentiel
S : l'aire de SCHMIDT: S=L°L ( ° est la loi de composition pour les applications)
Salut,
Je ne comprends pas.S=L°L
Bonjour martini. S=L°L signifie que S est une application ! C'est la composée de L 2 fois. SL=L°LEnvoyé par martini_bird
Suis je clair ?
Ben ça, ça va, mais c'est quoi alors L(S) ?
pareil, je comprend pas la. (et pourtant je fais parti "des eleves de prepa "
quand tu ecrit L(S) = ... S c'est une abstraction, je voi pas comment S peut-dependre de L, ou alors sa definit pas L quoi...
je comprend vraiment pas ce que veux dire ton enoncé la
Bonsoir,
J'ai bien une idée perverse... ça tient la route si c'est une équation (genre équa diff, mais peut-être même pas), on cherche une fonction (un opérateur?)telle que:
Ca me semble un peu tordu, mais pourquoi pas?
-- françois
L(S) est l'image de l'aire de SCHMIDT par l'application L.
un indice : montrer que L est linéaire en passant par la définition ...
non mais attend il y a un probleme dans ton enoncé la...
soit tu a oublié de dire ce qu'etait l'air de schmidt
soit ton enoncé veux dire LoLoL=i*n*exp(LoL)
Je ai précisé l'aire de SCHMIDT dans mon tout premier post:
S=L°L.
L est donc une application agissant sur L. Dans ces conditions, comment prouver la linéarité ?
Je l'ai dit et je le répète : l'exercice demande un peu d'astuce. Echappez vous de la shère des convenance...
donc sa veux bien dire que
LoLoL = i*n*exp(LoL) ton enoncé ?
Le but de l'exercice est de montrer la linéarité de L. Voilà la vérité !
Salut,
stp, tu n'aurais pas l'énoncé original, parce que là, ton truc ne veut rien dire ?
Merci.
Mon énoncé est le même que l'original. Mais d'abord, qui est tu pour affirmer que l'énoncé ne veut rien dire avant d'en connaître la solution ?
Ouh là, ça tourne vinaigre... Restez calmes, les gars!
C'est vrai que l'énoncé initial n'est pas très clair, mais ce que dit et répète basilic me confirme dans mon interprétation. L est apparemment un opérateur, et on veut qu'il vérifie:
L(L°L) = i.n.exp(L°L)
où la notation L(X) signifie "résultat de l'action de L sur X". Ce qui n'est pas clair, c'est où on prend X: dans le même espace que L probablement (et même sûrement!) pour que L(L°L) ait un sens...
J'aimerais avoir plus de précisions mais je vais essayer de les retrouver par moi-même. Après tout, vu ce que dit basilic, la solution doit être largement indépendante de beaucoup d'hypothèses, avec un peu de bol il s'agit d'un raisonnement purement formel...
-- françois
quand il y a bessoin de la solution pour comprendre l'enoncé, alors je pense qu'on peut dire que l'enoncé n'est pas claire.
C'est aussi un exercice très instructif, que de reconstituer l'énoncé à partir de la solution...
-- françois
Re-bonjour !
1)pour essayé de te faire comprendre que ton enoncé manque peut-etre de quelque element :
tu dit que ton enoncé est accesible au eleves de prepas, voici l'interpretation la plus naturelle que pourrait faire un eleve de prepa de l'enoncé que tu donne
L n'est pas definit, je suppose qu'il s'agit d'une application de C dans C (ce n'est pas le cas ?)
alors j'ai L(LoL) = i*n*exp(LoL) , c'est exactement ce que dit ton enoncé non ?
je suppose que par lineair, tu entend que L est un endomorphisme du C-espace vectorielle C (ou meme du R-espace vectorielle C sa changera aps beaucoup le probleme ici)
donc si L est lineaire alors on doit avoir L(0) = 0
ie l'egalité precedente ecrit en 0 :
i*n*exp(LoL(0) ) = L(LoL(0))
0 = 1
conclusion L n'est pas lineaire.
2) je t'en pris, ne parle de personne dont tu na aucuns connaissance du niveaux comme d'eleves mediocres.
3) maintenant je reconnait tous a fait que, peut-etre , il me manque certaine connaissance pour comprendre le probleme... mais dans ce cas il est tres loin d'etre accesible a tous les eleves de prepa...
Salut,
l'énoncé n'est pas clair et je ne vois pas l'intérêt d'introduire cette aire de Schmidt dont je n'ai trouvé aucune trace sous google. Pourquoi ne pas poser la question ainsi :
soit L une fonction telle que
Un lecteur...
Dernière modification par martini_bird ; 19/03/2006 à 16h48.
mais sa doit pas etre sa puisque une telle fonction n'est clairement pas lineaire (ou en tous cas pas lineair au sens ou moi je l'entend) ?
Bonjour
En fait le jeu consiste donc à deviner ce que veut dire l'énoncé. Quelques hypothèses :
E est un espace vectoriel sur le corps des complexes et L un endomorphisme de E tout comme S.
L doit donc vérifier L = i n exp(L o L).
En supposant, comme hypothèse heuristique, que L soit linéaire et diagonalisable, l'équation se traduit par une relation assez simple sur chaque valeur propre de L.
Mais ça coince en prenant L(0), on obtient encore 0=1 !
J'ai eu presque la même idée, mais il n'est pas trop difficile de prouver que L est linéaire si on suppose que c'est un endomorphisme d'un e.v.
C'est la signification de L(S) qui me gêne (que S soit l'aire de Schmidt, inconnue au bataillon, ou autre chose). On peut penser que L est une application d'un espace E dans lui-même, ce qui donne un sens à L°L, mais alors que signifie L(X)???
-- françois
P.S. - Je pense que le jeu consiste à comprendre l'énoncé, sans énerver basilic (difficulté supplémentaire).
Autant pour moi, je voulais bien sur dire "application de E dans E".J'ai eu presque la même idée, mais il n'est pas trop difficile de prouver que L est linéaire si on suppose que c'est un endomorphisme d'un e.v.
La formulation de départ L(S) =....S semble plausible, L est bien défini comme fonction de S.
Le problème est qu'à priori, une exponentielle n'a aucune chance d'être linéaire du moins en S. Elle pourrait l'etre sur E mais la définition de S devrait être autre...
C'est peut-etre ça qu'il faut trouver...
Si L est une application de E dans E, alors S=LoL est une application de E dans E aussi (et donc pas un élément de E). Donc L(S) n'est pas défini ...
C'est bien ça qui me turlupine.
Que L soit une application de quelque chose X vers quelque chose Y, OK. Pour que L°L ait un sens, il faut que X = Y.
Et si on veut donner un sens à "montrer que L est linéaire", ça veut dire que X (= Y) a déjà une structure d'e.v. (ou de module, mais on ne va pas chipoter, c'est déjà assez compliqué comme ça).
On va donc dire que L € F(X,X) où X est un e.v. (je mets € pour "élément de", je ne vais pas faire du LaTeX pour si peu). Alors écrire L(L°L) veut dire que F(X,X) opère sur lui-même. Mais il n'y a pas de manière "canonique" de faire... la composition f(g) = f°g n'est qu'une façon parmi bien d'autres!
Et puis, basilic dit que c'est à la portée d'un élève de prépa avec un peu d'astuce. S'il ne charrie pas, il y a un truc qui crève les yeux, et qui est relativement indépendant d'hypothèses techniques.
Je crois que c'est Artin qui disait que le problème n'était pas de fournir des démonstrations, mais d'énoncer ce qui devait être démontré... Et c'est vrai que j'ai eu maintes fois l'occasion de constater qu'un problème correctement posé comportait quasiment la solution dans son énoncé.
-- françois
oui mais des qu'on dis que L est une application de E dans E on a une contradiction imediate, soit en regardant le cas 0, soit en disant que L=i*n*exp est une sollution est n'est pas l'ineaire non ?
donc L ne doit apiori pas etre une application de E (dans E, mais dans tous les cas L est iterable puisque LoL est definit).
NB : une petit question quand meme si vous etandez le probleme a un C-espace vectorielle quelconque, comment est definit l'exponentielle dessu ?
on est d'accord alors (quand j'ai commencé a ecrire ton post n'etait pas encore la )
euh... ça dépend...
A priori, par un développement en série entière. Si on a le droit d'écrire L°L, il n'y a pas de raison qu'on ne puisse pas écrire L°...°L (n fois) et l'appeler Ln. Et on pose:
exp(L)=somme (Lk/k!)
pour k de 0 à l'infini. Et on prie pour que ça converge... ou au moins que ça veuille dire quelque chose.
Evidemment, si L est une fonction numérique (complexe ou autre), on peut prendre froidement l'exponentielle classique.
-- françois
Pas d'accord, tu peux écrire f(g)=ag où f et g sont deux applications et a un scalaire. f est à la fois une fonction de x comme g et aussi fonction de g.
En tout état de cause, ce ne peut être que par rapport à x que L est linéaire, en S ce n'est pas possible.
C'est bien mon problème. L'écriture L(S) veut dire qu'on fait opérer L sur S, pas forcément comme on croit.
-- françois
EDIT: grillé par zinia!
Oui on peut faire comme ça, ...., ou autrement. Ce n'est pas défini a priori.
