Deux points dans un carré

[Juzo]

Bonjour,

Si je considère un carré plein de côté 1, quelle est la distance moyenne entre deux points du carré ? (Il faut considérer aussi les points situés à l'intérieur du carré)


Questions subsidiaires pour la suite :
1 : et si l'on considère seulement les bords du carré ? J'ai une petite idée de la méthode mais je ne l'ai pas calculé.
2 (par curiosité) : On obtient quoi si l'on trace le nombre de paires de points distants de x en fonction de la distance x ?
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[Juzo]

La question subsidiaire 2 était mauvaise.

Je la remplace par : Que dire du nombre de paires de distance 1 par rapport au nombre de paires de distance 0.05 ?

[Médiat]

La question subsidiaire 2 était mauvaise.

Je la remplace par : Que dire du nombre de paires de distance 1 par rapport au nombre de paires de distance 0.05 ?

Quelque chose doit m'échapper parce que telle que je comprends la question, la réponse est évidente : quelque soit le rayon , c'est le même :

[mike.p]

Salut,

ce n'est pas vraiment une énigme mais plutôt une question de maths, du genre si la formule n'est pas vérifiée dans une simulation ou bien sans cachet d'aspirine, on n'est pas sûr du résultat ...

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Ici , il faudrait écrire la distance en fonction des coordonnées et double sommer sur elles de 0 à 1

une simulation donne environ 0.53 , il doit y avoir un petit ajustement à faire à ceci pour mieux refléter la distribution parce que comme ça la répartition uniforme porte sur la différence de coordonnées , ce qui est manifestement faux :


peut être tout simplement mimer la simulation ( c'est le comble du bidouillage ) mais je n'ai pas mon logiciel de calcul d'intégrale sous la main


ps : c'est la faute au score dithyrambique de la soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[mike.p]

Salut,

A propos du spoiler précédent : la 1ere formule n'aurait jamais du passer le stade du brouillon. La seconde est la bonne mais elle gagnerait à être simplifiée. Sa résolution manuelle est difficile mais un logiciel confirme à peu près le Monte-Carlo. Bon exercice pour comprendre les répartitions uniformes. Il faudrait faire la même chose avec d'autres figures que le carré ...

[ansset]

bonjour à vous deux:
@Juzo:
est ce du pur calcul mathématique, même avec subtilité, ou bien peut on chercher une astuce pour éviter un truc un peu infernal ?

[ansset]

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idée d'astuce:
prendre en rectangle de coté qcq : a,b.
calculer la moyenne des distances /point (0,0) qui doit être ab*cte.
faire ensuite l'intégrale pour l'ensemble des points x0,y0 du carré principal que l'on découpe en 4 parties, dont (x0,y0) est un sommet de chacun.

les rectangles ayant comme tailles : (x0,y0) ; (1-x0,y0) ; (xo,1-y0) ;(1-x0,1-y0).

[mike.p]

Re bonjour,

Cette question fait penser aux problèmes d'allumettes et leurs applications ...

Quelque chose doit m'échapper parce que telle que je comprends la question, la réponse est évidente : quelque soit le rayon , c'est le même :

je ne comprends pas ce résultat. Pourriez vous svp l'expliciter ?

De ce que j'en ai compris, ça revient à calculer le rapport des probabilités d'avoir le 2e point à l'interieur du carré. Je trouve 1 dans le plan et pour le carré, il y a un effet de bords. Seuls les points situés à moins de la distance critique du bord vont provoquer des pertes. Il va falloir intégrer des rapports de surfaces et de périmètres , pas très très symétriques, ce n'est qu'un carré...

@Juzo
Il me manque une petite motivation pour me lancer dans les détails. Faudrait construire un cheminement énigmatique

[ansset]

@mike:
tu peux regarder mon spoiler, qui n'est pas une résolution mais une proposition d'astuce.... ( direction d'astuce plutôt )
j'aimerai ton avis.

[Médiat]

De ce que j'en ai compris, ça revient à calculer le rapport des probabilités d'avoir le 2e point à l'interieur du carré.

Un rapport de mesure n'est pas "le nombre de paires de points ", dans les conditions que j'ai données, il y a toujours au moins un point à la distance x d'un arc de cercle, ergo

[mike.p]

@mike:
tu peux regarder mon spoiler, qui n'est pas une résolution mais une proposition d'astuce.... ( direction d'astuce plutôt )
j'aimerai ton avis.

j'avoue ne pas bien comprendre mais j'y retourne ...

Un rapport de mesure n'est pas "le nombre de paires de points ", dans les conditions que j'ai données, il y a toujours au moins un point à la distance x d'un arc de cercle, ergo

oui bien sûr ... je n'avais pas bien compris la question visiblement ... merci

[ansset]

résultat obtenu avec astuce pressentie ( si méthode et calcul correct )

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ma cte étant (1+rac(2))/4
je trouve 0,53644444

[ansset]

j'avoue ne pas bien comprendre mais j'y retourne ...

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pour un point x0,y0 je découpe le carré en 4 rectangles dont un des sommets est ce point.
à la base je calcule la moyenne des distances d'un point (0,0) dans un rectangle de coté a,b qui vaut ab*cte.
pour un point (xo,yo) j'ai donc facilement une formule de la moyenne des distances à ce point en prenant les 4 rectangles ( sans oublier leur poids ( surface )).
j'intègre le tout.

[Médiat]

Bonjour,

D'abord, j'ai peur que cette question ne soit candidate au paradoxe de Bertrand, donc si vous voulez faire une démonstration, il faut être extrêmement vigilant, surtout si une symétrie est utilisée.

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J'ai fait une simulation avec 10 000 000 de points de coordonnées comprises entre 0 inclus et 1 exclu (distribution normale), la moyenne à l'air de tendre vers 0.52...

[ansset]

correction ( faute de frappe ) du post 12:

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la cte vaut (1+rac(2))/2.
le facteur multiplicateur lié aux intégrales vaut 4/9.
d'où mon résultat.

mais vu le mess de Médiat, je vais peut être revoir ma copie.
je ne connais pas le paradoxe de Bertrand !!
et j'aimerai comprendre si j'ai fait une erreur logique.

[mike.p]

@mike:
tu peux regarder mon spoiler, qui n'est pas une résolution mais une proposition d'astuce.... ( direction d'astuce plutôt )
j'aimerai ton avis.

ah oui ! ça permettait de n'intégrer que sur x,y, en calculant directement 2 densités de probabilités.
En effet, ça rendrait l'intégrale nettement moins incalculable à la main.
( 2 ( 1-x) ) ??? c'est ça ?

[mike.p]

je valide parfois tardivement , en décalage avec les dernières réponses. Désolé.

Le paradoxe de Bertrand nous guette tout le temps en probabilités ... Des fois, on ne s'en rend pas compte car c'est justement la configuration physique qu'on cherche à simuler, ça tombe juste et on continue

@Mediat : quelles sont les constructions alternatives ici ?

@Anset, ton idée est bonne mais il faut faire attention au montage. Il reste à introduire 2 dp dans la formule fausse de mon premier post ( ma seconde formule à intégrale quadruple n'est plus visible, encore problème latex ). En les multipliant tout simplement ?

[ansset]

@mike:
je sais déjà que mes calculs sont faux.

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en premier :

et non ce que j'avais écrit.
ensuite:
pour le passage du cas du carré à celui du rectangle, j'ai trop simplifié ( une boulette ).
et là je ne sais faire
sans wolfram, et avec mes connaissances.

sinon, la méthode devrait aboutir, je pense, car je ne vois pas de biais.

[Juzo]

Sa résolution manuelle est difficile

est ce du pur calcul mathématique, même avec subtilité, ou bien peut on chercher une astuce pour éviter un truc un peu infernal ?

Bonjour,
c'est du pur calcul mais on peut utiliser une astuce classique sur les coordonnées pour simplifier ce calcul.

[Juzo]

Indice

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Integration.jpg

[mike.p]

@Anset :

Wolfam c'est juste une super calculette ... De plus, il manque les outils sur le pc perso dont quelques miens. Je ne sais plus intégrer à la main ce genre de fonctions ou alors je mets 2 jours. Il faudrait m'y mettre pour le fun mais pas cet été.

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As tu appliqué ton idée ? je ne la reconnais pas.
Il y a une densité de probabilité de (-x+1)/2 et pareil pour y afin d'ajuster la répartition de la différence. Ainsi on fait l'économie de 2 intégrations. Sans cela, je trouve 0.765 ( wolfam ) au lieu de 0.52 ou 0.53 en simulation ( à peu près comme Mediat )

Qu'est ce que ça donne ? vois tu une solution ?



C'est qu'on pourrait justement être en plein syndrome de Bertrand. Parle t on de la même chose ? que va t on calculer effectivement ?

message de Juzo entre temps : c'est ça alors ...

[mike.p]

@mike:
je sais déjà que mes calculs sont faux.
sinon, la méthode devrait aboutir, je pense, car je ne vois pas de biais.

Si, il manque la correction de x et y par leurs densités de probabilités. Ca c'est déjà ma 1ere solution fausse. Comme on échange sous spoiler , c'est difficile de se suivre ... Est ce que ce sujet en nécessite ?

Dans la continuité des messages précédents dont certains sont cachés, il faut tirer au hasard des paires de points et calculer leurs distances. L'intégration ne donne pas de répartition équiprobable de x et y les différences de coordonnées. Il faut utiliser des fonctions de densités qui , ça tombe bien , sont aussi des fonctions de x et y