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Échecs en 3D

  1. #1
    Juzo

    Échecs en 3D

    Bonjour,
    Voici une question que j'ai trouvé sur internet :
    Quel est le nombre minimal de tours nécessaires pour contrôler complètement un échiquier en trois dimensions (8×8×8) ?

    J'ai trouvé un minimum de
     Cliquez pour afficher
    pour le moment

    ... Mais cherche à démontrer quel est le nombre minimal.

    Bonne journée !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    * mais JE cherche

    Ps : Il n'y avait pas de réponse sur le site où j'ai trouvé cette question

  4. #3
    Noress

    Re : Échecs en 3D

    Bonjour Juzo, ce serait donc 4 élevé au cube.
    Pour un échiquier à trois dimensions (je n'ai pas la réponse) ça n'a pas l'air évident à se représenter.
    Soit on l'imagine dans son volume à six plateaux, soit on appréhende l'espace à l'intérieur de ce même volume par la superposition de 8 plateaux pour chacune des trois dimensions.
    Troisième possibilité : je n'ai rein compris... C'est plutôt complexe.
    Cdt.

  5. #4
    Noress

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Noress Voir le message
    Bonjour Juzo, ce serait donc 4 élevé au cube.
    Pour un échiquier à trois dimensions (je n'ai pas la réponse) ça n'a pas l'air évident à se représenter.
    Soit on l'imagine dans son volume à six plateaux, soit on appréhende l'espace à l'intérieur de ce même volume par la superposition de 8 plateaux pour chacune des trois dimensions.
    Troisième possibilité : je n'ai rein compris... C'est plutôt complexe.
    Cdt.
    Rectification : 4 élevé au cube, quelle horreur !!!!

  6. #5
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    Bonjour, c'est un cube dont les arêtes font 8 cases de long

  7. #6
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Bonjour Juzo ,
    je suis d'accord avec toi pour contrôler complétement un cube échiquier de 8X8X8 il faut 32 tours
    soit 8 au 8 coins du cube 8
    puis 8 aux 8 coins du cube 7
    puis 8 aux 8 coins du cube 6
    puis 8 aux 8 coins du cube central
    soit 4X8 32 tours pour couvrir toutes les cases.
    Pas possible de faire mieux!

  8. #7
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    plutôt lire:
    8 tours aux 8 coins du cube 8X8X8 puis
    8 tours aux 8 coins du cube 6X6X6 puis
    8 tours aux 8 coins du cube 4X4X4 puis
    8 tours aux 8 coins du cube 2X2X2 du cube central
    soit 32 tours au total
    Pas possible de faire mieux

  9. #8
    Dynamix

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    Bonjour Juzo ,
    je suis d'accord avec toi pour contrôler complétement un cube échiquier de 8X8X8 il faut 32 tours
    soit 8 au 8 coins du cube 8
    Tu contrôle les 12 arêtes .
    Mais , chaque tour dans un coin contrôlant 3 arrêtes , 4 tours suffisent .
    Ce qui donne un contrôle sur 80 cases seulement .

    (une case , c' est en fait un cube )

  10. #9
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Tu contrôle les 12 arêtes .
    Mais , chaque tour dans un coin contrôlant 3 arrêtes , 4 tours suffisent .
    Ce qui donne un contrôle sur 80 cases seulement .

    (une case , c' est en fait un cube )
    je ne sais pas ou tu trouves 12 arêtes dans un cubes moi j'en vois que 8...

  11. #10
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Yes compris...en fait, il faut 16 tours pour contrôler les 512 cases du cube 8X8X8

  12. #11
    Dynamix

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    je ne sais pas ou tu trouves 12 arêtes dans un cubes moi j'en vois que 8...
    Ne te décourage pas , cherche encore .
    Tu va finir par trouver .

  13. #12
    Dynamix

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    Yes compris...en fait, il faut 16 tours pour contrôler les 512 cases du cube 8X8X8
    Non , c' est impossible .
    Une tour , peu importe son emplacement , contrôle 22 cases (3x7+1)
    Sans chevauchement (2 tours contrôlant la même case) il faudrait donc 24 tours (23,27...) .
    On ne peut pas faire moins .
    L' astuce est en fait de minimiser les chevauchements .

  14. #13
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Ne te décourage pas , cherche encore .
    Tu va finir par trouver .
    je sais pas si tu t'en est rendu compte mais je réagis à chaud, et il est impossible avec ce foutu logiciel de revenir en arrière même 20 seconde après avoir relu son texte... il dise 5 minutes mais c'est du bluf!

  15. #14
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Non , c' est impossible .
    Une tour , peu importe son emplacement , contrôle 22 cases (3x7+1)
    Sans chevauchement (2 tours contrôlant la même case) il faudrait donc 24 tours (23,27...) .
    On ne peut pas faire moins .
    L' astuce est en fait de minimiser les chevauchements .
    Bon récapitulons
    avec 32 tours, il n'y a aucun problème on occupe ou on vise tous les cubes...du cube(8X8X8)
    de la même façon avec 24 tours on occupe ou on vise tous les cubes du cube(6X6X6) et le centre des 6 faces (8X8)
    Bref, il ne reste plus qu'à s'occuper des 12 arêtes avec 4 tours supplémentaires et donc, on contrôle avec 28 tours seulement l'ensemble des 512 cases du cube(8X8X8)
    là, ça devrait être pas trop mal...

  16. #15
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    Bon récapitulons
    avec 32 tours, il n'y a aucun problème on occupe ou on vise tous les cubes...du cube(8X8X8)
    de la même façon avec 24 tours on occupe ou on vise tous les cubes du cube(6X6X6) et le centre des 6 faces (8X8)
    Bref, il ne reste plus qu'à s'occuper des 12 arêtes avec 4 tours supplémentaires et donc, on contrôle avec 28 tours seulement l'ensemble des 512 cases du cube(8X8X8)
    là, ça devrait être pas trop mal...
    Bon, on peut encore se passer de 4 tours dans le petit cube (2X2X2) du centre
    On arrive donc à 24 tours...
    4 tours dans le cube(2X2X2) central
    8 tours dans les arêtes du cube (4X4X4)
    8 tours dans les arêtes du cube (6X6X6)
    et 4 tours dans les arêtes du cube (8X8X8)

  17. #16
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    Bonjour, pour un cube d'arête 6 j'utilise 18 tours

    Je décris la méthode que j'utilise ci-dessous, en spoiler pour que tu puisses continuer Ã* chercher si tu le souhaites

     Cliquez pour afficher


    Par contre je ne sais pas si c'est la méthode optimale, ni dans ce cas comment le démontrer.

  18. #17
    JPL

    Re : Échecs en 3D

    La même chose avec des caractères lisibles ?
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  19. #18
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    Bonjour, pour un cube d'arête 6 j'utilise 18 tours

    Je décris la méthode que j'utilise ci-dessous, en spoiler pour que tu puisses continuer Ã* chercher si tu le souhaites

     Cliquez pour afficher


    Par contre je ne sais pas si c'est la méthode optimale, ni dans ce cas comment le démontrer.
    bien si tu as bien compris comment je disposais mes tours, je pense qu'il est possible de n'avoir que 16 tours pour un cube (6X6X6)
    Dans les jours qui viennent je vais dessiner ma solution pour un cube (6X6X6)
    A bientôt

  20. #19
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    Désolé, c'est le téléphone qui a mal fonctionné :

     Cliquez pour afficher


    Et comme je le disais, je ne sais pas si c'est la méthode optimale, et si c'est le cas comment le démontrer
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  21. #20
    Dynamix

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Mct92mct Voir le message
    et 4 tours dans les arêtes du cube (8X8X8)
    Avec 4 tours , tu ne contrôle que les arête , pas les faces .

  22. #21
    Dynamix

    Re : Échecs en 3D

    Je me lance
     Cliquez pour afficher

  23. #22
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Je me lance
     Cliquez pour afficher
    Pourquoi 8 tours dans le 23 alors que pour ce cube les arêtes et le cube entier, c'est la même chose?
    4 tours suffisent...

  24. #23
    Dynamix

    Re : Échecs en 3D

    Pour contrôler les faces du 43
    Mais c' est vrai qu' on peut le faire avec les coins opposés .

  25. #24
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Pour contrôler les faces du 43
    Mais c' est vrai qu' on peut le faire avec les coins opposés .
    hé oui, c'est même à cause de cela que j'ai cru qu'il suffisait de 16 tours...
    En fait il en faut 4+8+8+4 soit 24 tours au total pour contrôler les 512 cases du cube de (8X8X8)
    c'est l'optimum qu'on puisse faire!

  26. #25
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    @Mct92mct Je ne sais pas exactement quelle technique tu utilises (si on peut se tutoyer ), ce qui es sûr c'est qu'en plaçant des tours sur les sommets de cubes imbriqués les uns dans les autres, tu ne contrôles pas complètement l'échiquier.

    Prenons un échiquier (8x8x8) :
    Tu contrôles les arêtes du cube (8x8x8) avec 4 tours, puis tu contrôles les arêtes du cube (6x6x6) en utilisant 8 tours.

    Que se passe-t-il maintenant sur une face de l'échiquier ?
    Le carré extérieur (8x8) est complètement contrôlé (il est constitué d'arêtes du cube (8x8))
    Le carré (6x6) de cette face est contrôlé en seulement 4 cases, celles qui sont "au-dessus" des tours du cube (6x6x6). Il te manques donc 4x4 = 16 cases à contrôler sur cette face, soit 16 x4 = 64 cases à contrôler en tout sur toutes les faces de l'échiquier. C'est le même raisonnement pour les "couches" en-dessous.

    De toute façon il est impossible que tu n'utilises que 24 tours s'il y a des tours qui se recoupent, c'est-à-dire qu'il y a des "cases" contrôlées par deux tours différentes. 24 tours implique que chaque tour permet de contrôler 22 cases sans recoupement.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  27. #26
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    * ce seront plutôt 6x16 = 96 "cases" qui ne seront pas contrôlées sur les carrés (6x6) des 6 faces de ton échiquier, mais le raisonnement est le même

  28. #27
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    Citation Envoyé par Juzo Voir le message
    * ce seront plutôt 6x16 = 96 "cases" qui ne seront pas contrôlées sur les carrés (6x6) des 6 faces de ton échiquier, mais le raisonnement est le même
    Bonjour, effectivement en dessinant, je me suis aperçu que mon raisonnement avait un problème...

  29. #28
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    Bonjour, la méthode donnée pour l'échiquier d'arête impaire n'était pas la bonne, je corrige

     Cliquez pour afficher


    Fin du monologue ?
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

  30. #29
    Mct92mct

    Re : Échecs en 3D

    bonjour,
    Comme promis,
    une petite vidéo des 24 tours qui sont nécessaires pour contrôler un cube 6X6X6
    http://sd-1.archive-host.com/membres...8/IMG_1724.MOV
    Cordialement

  31. #30
    Juzo

    Re : Échecs en 3D

    Bonjour, merci pour la vidéo, quel logiciel as-tu utilisé ?
    Comme je l'ai décrit plus haut, il est possible de contrôler un échiquier (6x6x6) avec 18 tours seulement.
    Les fleurs du cerisier rêvent en blanc les fruits qu'elles ne verront jamais

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