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Le coffre du trésor

  1. Archi3

    Date d'inscription
    novembre 2011
    Messages
    2 456

    Le coffre du trésor

    Un roi très riche demande à son maitre serrurier de lui confectionner un coffre muni d'une porte très solide avec un certain nombre de serrures , pour garder son trésor (immense bien sur).

    Par sécurité, il ne confiera les clés qu'aux 5 membres les plus surs de sa garde, mais pour encore plus de sécurité, il faudra qu'il y en ait 3 simultanément présents pour ouvrir les serrures, chacun n'ayant qu'une partie des clés. Ca ne marchera pas en dessous de 3, en revanche, n'importe quelle équipe de 3 peut ouvrir le coffre.
    Quel est le nombre minimal de serrures que le maitre serrurier doit mettre ?
    Combien de clés doit avoir chaque membre de la garde ?

    -----

    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.
     


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  2. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 391

    Re : Le coffre du trésor

     Cliquez pour afficher
     

  3. Archi3

    Date d'inscription
    novembre 2011
    Messages
    2 456

    Re : Le coffre du trésor

    bonne réponse !!
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.
     

  4. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 391

    Re : Le coffre du trésor

    Du coup, je cherche la généralisation à n gardes et un minimum de k gardes présents...
     

  5. Bounoume

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Localisation
    allier
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    918

    Re : Le coffre du trésor

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
     Cliquez pour afficher
    ai-je encore fumé la moquette ce soir?
    D'un côté l'énoncé dit qu'il faut au moins 3 gardes pour ouvrir toutes les serrures, et la solution donnée parle de 'couple' de gardes.
    Pour moi un couple, c'est 2 individus (de genre, de sexe quelconques ou spécifiés, m'en fiche...)

    EN supposant valide exclusivement l'énoncé initial: 5 gardes dont 3 doivent être présents pour ouvrir avec succès
    j'ai construit un graphe avec en abscisses les gardes, et en ordonnées les serrures.... et en valeur l'appariement serrure/clef du trousseau du garde ....
     Cliquez pour afficher


    est-ce bien ça?
    bonne soirée......
    Dernière modification par Bounoume ; 18/11/2017 à 22h39.
    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (les Shadoks)
     


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  6. Bounoume

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Localisation
    allier
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    68
    Messages
    918

    Re : Le coffre du trésor

    post-scriptum:
    le problème considéré par Tryss se trouve être (graphiquement) le complément du problème original.....
    et j'ai fort l'impression qu, même dans ce cas, 5 serrures suffisent encore, mais chaque garde aura 3 clés....
    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (les Shadoks)
     

  7. Archi3

    Date d'inscription
    novembre 2011
    Messages
    2 456

    Re : Le coffre du trésor

    Non, dans ta solution par exemple les gardes ABD n'ont pas la clé n° 3 ....
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.
     

  8. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 391

    Re : Le coffre du trésor

    ai-je encore fumé la moquette ce soir?
    D'un côté l'énoncé dit qu'il faut au moins 3 gardes pour ouvrir toutes les serrures, et la solution donnée parle de 'couple' de gardes.
    Pour moi un couple, c'est 2 individus (de genre, de sexe quelconques ou spécifiés, m'en fiche...)
    Oui, donc tout couple de garde ne doit pas pouvoir ouvrir le coffre : il leur manque forcément une clé !


    Sinon, pour la généralisation à n gardes et un minimum de k gardes présents :

     Cliquez pour afficher
     

  9. Bounoume

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Localisation
    allier
    Âge
    68
    Messages
    918

    Re : Le coffre du trésor

    j'ai essayé, empiriquement, de corriger le défaut.
    Voici ce que ça donne:
    correction du défaut:
    état initial:
    >ouverture en x pour xxx.. ou xx..x mais pas xx.x. (ici * est assimilé à . c.a.d. = pas de clé )
    maintenant rajout des clés en *:
    >pour ouvrir en xx.x. rajout des clés symbolisées par *: clé si x ou *, pas de clé seulement si .
    A B C D E
    1 x * x . .
    2 . x * x .
    3 . . x * x
    4 x . . x *
    5 * x . . x

    mais effet de bord: ouvertures illégales de type x.x.. ,x..x.
    >blocage des ouvertures non voulues
    6 . x . x x
    7 x . x . x
    8 x x . x .
    9 . x x . x
    10 x . x x .


    11 . x x . x
    12 x . x x .
    13 . x . x x
    14 x . x . x
    15 x x . x .

    Ainsi il me faudrait 15 serrures et chaque garde aurait 9 clés.....

    Pour ta généralisation, Tryss2,j'ai 2 doutes:
    les 'n' sur la ligne au-dessus, est-ce bien des exposants (puissance 'n' )?..... et s'appliquent-ils bien au contenu entre parenthèses?
    si oui, en posant k=2, alors..
    comme (k-1) devient (2-1)=1
    alors
    n
    (k-1) devient 1 quel que soit l'exposant
    il faudrait UNE SEULE serrure pour avoir ouverture à 2 gardes minimum ....
    et si non, on en viendrait très vite à des nombres monstrueux..

    bonne soirée!
    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (les Shadoks)
     

  10. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 391

    Re : Le coffre du trésor

    Il s'agit des coefficients binomiaux, et oui effectivement, ça grimpe "vite".

    Par exemple, le nombre de serrures pour 100 gardes dont plus de la moitié doivent être présent est un nombre à 30 chiffres
     

  11. Archi3

    Date d'inscription
    novembre 2011
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    2 456

    Re : Le coffre du trésor

    Citation Envoyé par Bounoume Voir le message
    j'ai essayé, empiriquement, de corriger le défaut.
    ce qui prouve que c'est bien moins efficace que le raisonnement rigoureux ...
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.
     

  12. Bounoume

    Date d'inscription
    octobre 2005
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    allier
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    68
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    918

    Re : Le coffre du trésor

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Il s'agit des coefficients binomiaux, et oui effectivement, ça grimpe "vite".

    Par exemple, le nombre de serrures pour 100 gardes dont plus de la moitié doivent être présent est un nombre à 30 chiffres
    effectivement, ça me rappelle de très vieux souvenirs....mais alors le nombre de combinaisons de p éléments pris dans un ensemble de n entiers naturels s'écrivait
    avec le symbole C (combinaison/ensemble non ordonné ) et A (arrangements, ordonnés )

    n
    Cp et on n' utilisait pas la notation ( )


    pour nos 5 gardes parmi lesquels 3 quelconques sont nécessaires et suffisants pour ouvrir,
    5
    C(3-1), ça fait 10 serrures.......;


    et ma solution empirique:
    comme en réalité les serrures 6,7,8,9,10 permettent de gérer les DEUX séquences x.x.. et x..x. parce que.... c'est la même par translation avec retour en pos. zéro !!!
    les serrures suivantes sont inutiles!
    ainsi, après seconde correction (la suppression des serrures et clés redondantes de 11 à 15)
    j'ai aussi 10 serrures!
    l'empirique rejoint le théoricien......
    Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (les Shadoks)
     


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