Enigme des 3 portes

[Jacques 1515]

Le jeu oppose un présentateur à un candidat .
Le candidat est placé devant trois portes fermées.
Derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre (ou tout autre prix sans importance).
Il doit tout d'abord désigner une porte.
Puis le présentateur ouvre une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début).
Le candidat a alors le droit ou bien d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou bien d'ouvrir la troisième porte.

A t-il interet a conserver son choix initial ou à choisir l'autre porte ?
Le choix n'est pas aussi évident qu'on croit

Ce paradoxe est connu mais il faudra l'expliquer de façon simple et rigoureuse.
Ne pas donner trop tôt la réponse SVP !
-----

[Dynamix]

Salut

C' est un classique de chez classique .
Tout le monde connait ce problème .

[Jacques 1515]

Bien sur que c'est un classique mais tout le monde ne connait pas les raisonnements s'y rapportant et en particulier les plus jeunes !

On sort bien des films policiers comme le crime de l'Orient-Express alors que le dénouement est connu depuis 1934 !
et que dire des tutoriels et conférences sur la relativité alors que cette théorie est classique et connue depuis plus de 100 ans !

[LeMulet]

Bien sur que c'est un classique mais tout le monde ne connait pas les raisonnements s'y rapportant et en particulier les plus jeunes !

Ben justement, les plus jeunes, on ferait bien de leur apprendre que la chèvre a bien plus d'importance que la voiture.
Donc je préfère qu'on dise qu'il n'y a rien derrière les deux autres portes plutôt qu'on dise qu'une chèvre est sans importance.
A partir de là je veux bien considérer que cette énigme présente du sens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Schrodies-cat]

Comme toujours quand on présente ce problème, il manque une hypothèse dans l'énoncé :
Il faut que le candidat sache que le présentateur, après que le candidat ait fait son choix, ouvrira une autre porte derrière laquelle ne se trouve pas la voiture et lui proposera de changer son choix.
Faute de quoi, un présentateur vicelard pourrait n'ouvrir une porte et lui proposer de changer son choix que si la voiture se trouve derrière la porte que le candidat a choisi en premier, et cela ne marche plus.

[Jacques 1515]

Cette enigme fait l'objet du paradoxe nommé Monty Hall (nom du présentateur) qui a usé un grand nombre de logisticiens et de matheux
Le plus incroyable est que sur cette énigme les pigeons ont dépassés les humains en gain !!!!
moi qui les croyait au dernier rang de l'espèce animal ...
regardez les tests !!!!

https://www.sciencesetavenir.fr/anim...e-par-5_103021

[Dynamix]

Il faut que le candidat sache que le présentateur, après que le candidat ait fait son choix, ouvrira une autre porte derrière laquelle ne se trouve pas la voiture et lui proposera de changer son choix.

Non , pas du tout .
Qu' il le sache ou pas ne change rien au problème .

[Schrodies-cat]

Ben si, et je l'ai expliqué en une ligne.
Bon, quand on joue à un jeu dont on ne connait pas les règles, c'est moins favorable.

[vgondr98]

La connaissance ou non des règles du jeu ne change pas les probabilités de gain, en revanche si le candidat ne connaît pas les règles du jeu, il ne pourra pas établir de stratégie.
Malgré cette impossibilité d'établir une stratégie (sous réserve que les règles du jeu soit les règles du jeu classique, c'est-à-dire que le présentateur est obligé d'ouvrir une porte quelque soit le choix initial du candidat), changer de porte sera toujours l'option la plus avantageuse.

Je connais 2 manières d'expliquer en quoi changer de porte est plus avantageux sans utiliser la formule de Baye.
1) Imaginons qu'il y ait non pas 3 portes mais 1 000 000 de portes.
Le candidat choisit une porte au hasard avec une proba de trouver la bonne porte de 1 / 1 000 000.
Au second tour, le présentateur laisse la porte du candidat fermée et ouvre toutes les autres portes sauf une de sorte que derrière une des portes qui reste fermée se cache la voiture.
Doit-il changer de porte ou garder sa porte ?

2) Imaginons que le candidat ait juste au premier tour. S'il choisit de changer de porte alors il aura tord au second tour (stratégie A).
Imaginons que le candidat ait juste au premier tour. S'il choisit de ne pas changer de porte alors il aura juste au second tour (stratégie B).

Imaginons que le candidat ait tord au premier tour. S'il choisit de changer de porte alors il aura juste au second tour (stratégie A).
Imaginons que le candidat ait tord au premier tour. S'il choisit de ne pas changer de porte alors il aura tord au second tour (stratégie B).

La proba d'avoir juste au premier tour est de 1/3.
La proba d'avoir tord au second tour est de 2/3.

La stratégie A change une réussite en échec et un échec en réussite avec une probabilité de 1.
Donc comme il y a 2 chance sur 3 d'avoir un échec au premier tour, le choix de la stratégie A fait qu'il y a 2 chance sur 3 d'avoir une réussite au second tour (2/3 * 1).

[obi76]

Bof, un simple arbre fait l'affaire.

1° branche : on tombe sur la porte gagnante (1/3). soit on change d'avis, probabilité de gain = 0, soit on ne change pas : probabilité de gain = 1
2° branche : on tombe sur une porte perdante (2/3). soit on change d'avis (probabilité de gain = 1 puisque le présentateur a ouvert l'autre perdante), soit non (probabilité de gain = 0 )

Si on change d'avis : probabilité de gain = 1/3*0 + 2/3*1 = 2 chance sur 3
Si on ne change pas d'avis : probabilité de gain = 1/3 + 0*2/3 = 1 chance sur 3

2x plus de chances de gagner si on change d'avis, c'est tout...

[invite36041331]

Salut,

Qu' il le sache ou pas ne change rien au problème .

Je suis d'accord avec Shrodies, imagine que le présentateur ne donne la permission de changer de porte que lorsque la porte que l'on a choisi au départ est gagnante, alors si le présentateur demande de garder ou choisir une nouvelle porte, je garde ma porte et toi ?

Cordialement.

[pm42]

Il y a des livres complets sur le sujets et des simulateurs en ligne pour les incrédules :

http://lmrs.univ-rouen.fr/Vulgarisation/Hall/hall.html

Voir aussi : https://www.scientificamerican.com/a...-hall-problem/ qui parle notamment du bouquin https://global.oup.com/academic/prod...cc=fr&lang=en&

[Deedee81]

Salut,

Enormément discuté aussi ici même :

http://forums.futura-sciences.com/sc...d-daccord.html
http://forums.futura-sciences.com/sc...obabilite.html
http://forums.futura-sciences.com/sc...ematiques.html
http://forums.futura-sciences.com/sc...onty-hall.html
http://forums.futura-sciences.com/sc...-3-portes.html

[polo974]

Ben si, et je l'ai expliqué en une ligne.
Bon, quand on joue à un jeu dont on ne connait pas les règles, c'est moins favorable.

je te propose un jeu: tire une carte parmi les quatre sur la table: si c'est un as, tu as gagné.

tu ne connais pas toutes les règles, vu que tu ne sais pas quelles sont les cartes sur la tables.
et bien, si j'y ai mis 4 as: tu gagne à tous les coups, donc ton affirmation est fausse ! ! !

sinon, le "vicelard" présumé est hors scope du jeu présenté vu qu'il est clairement indiqué que le présentateur ouvre systématiquement une porte.

enfin, le fait que le joueur ne connaisse pas la règle de l'ouverture d'une porte ne change rien à ses chances finales.
avec ou sans cette info, les 3 portes sont équivalentes lors du premier choix.

[Deedee81]

Salut,

donc ton affirmation est fausse ! ! !

Parfois fausse.

Je dirais que pour la plupart des jeux, cela implique en fait qu'on ne sait pas jouer du tout sauf à avoir quelqu'un au-dessus de l'épaule pour rectifier au fur et à mesure (au bridge, aux échecs, etc...)
Pour le reste, ignorer les règles constitue souvent un désavantage (on est incapable de savoir quels seraient les bons et mauvais coups).
Et dans quelques cas ça n'a pas d'importance, en fait dans tous les jeux où aucune déduction n'est utile. C'est le cas du jeu que tu proposes (pas besoin de mettre quatre as d'ailleurs) ou du jeu de bataille aux cartes.


Et dans le jeu des trois portes, ne pas connaitre les règles est un désavantage car on ne peut alors pas en déduire qu'on a intérêt à changer de choix au second coup.

D'une manière générale (je suis sûr qu'on doit en parler dans un des liens ci-dessus ) pour faire comprendre l'intérêt du changement, je propose la variante :
il y a mille porte dont une seule avec le gros lot. Tu choisis une porte (sans l'ouvrir). Le maître du jeu te montre 998 autres portes où il n'y a rien dedans.
Doit-on changer pour prendre la dernière porte restante ?
Un minimum de réflexion permet de comprendre qu'on a vraiment intérêt à changer. Et un autre minimum de réflexion montre alors que cela s'applique à trois portes.
(en logique, rien de tel que de pousser quelqu'un à trouver par lui-même ).

Mais le plus intéressant dans ce jeu est "pourquoi y en a-t-il tant qui se trompent ?". Mais ce problème est alors plus psycho-sociologique que mathématique

[polo974]

Salut,

Parfois fausse.

Ou pas toujours vraie, donc ce n'est pas une règle. c'est dans ce sens que je disais qu'elle était fausse...

...

Et dans le jeu des trois portes, ne pas connaitre les règles est un désavantage car on ne peut alors pas en déduire qu'on a intérêt à changer de choix au second coup.

Ben moi je dirais qu'à partir du moment où on lui propose de changer son choix, le joueur connaît toutes les règles, et qu'avant qu'on le lui propose, ça n'avait aucune importance sur le choix initial. Donc aucun désavantage ici à ne pas savoir qu'on propose de changer son choix une fois une mauvaise porte ouverte.

...

Mais le plus intéressant dans ce jeu est "pourquoi y en a-t-il tant qui se trompent ?". Mais ce problème est alors plus psycho-sociologique que mathématique

et surtout "pourquoi y en a-t-il tant qui s'entêtent dans l'erreur ?" (cf les fils précédents).

[Deedee81]

Salut,

Ben moi je dirais qu'à partir du moment où on lui propose de changer son choix, le joueur connaît toutes les règles

Dans les règles il y a ce qui est présent derrière les portes (une seule porte avec un trésor) et ce que fait le Maître du Jeu (il désigne une porte où il n'y a pas le trésor).
Sans savoir ça, comment pourrait-il faire son choix ?

Bon, évidemment, ça dépend un peu de ce qu'on entend par règle Par exemple, aux échecs, on ne spécifie pas toujours dans les règles que le plateau fait 64 cases. Mais c'est bien une des règles.

et surtout "pourquoi y en a-t-il tant qui s'entêtent dans l'erreur ?" (cf les fils précédents).

Aussi, c'est vrai.
Et ça aussi c'est probablement psycho-sociologique.
Avec probablement deux causes possibles :
- ils n'arrivent pas à comprendre
- ils refusent d'admettre avoir commis une erreur
Dans d'autres situations, je connais les deux types de cas. Mais je serais bien incapable de donner des proportions. Que ce soit ici ou dans la population générale.

[polo974]

Salut,

Dans les règles il y a ce qui est présent derrière les portes (une seule porte avec un trésor) et ce que fait le Maître du Jeu (il désigne une porte où il n'y a pas le trésor).
Sans savoir ça, comment pourrait-il faire son choix ?
...

Au début du jeu, quand le joueur doit choisir une porte sur trois, le fait de savoir ou pas que le Maître du Jeu va ouvrir une porte perdante ne change rien dans les proba: il y a 3 portes et une seule gagnante. Le fait de savoir ou pas qu'on lui offre un second choix ne change rien à ça.

A la seconde étape du jeu, le jouer est en pleine connaissance des règles (sauf s'il s'est barré avant la fin de la partie). Le manque de connaissance des règles ne concerne que la première étape.


Question subsidiaire (pour embrouiller les incertains): s'il jouait à pile ou face pour se décider de changer de porte ou pas, aurait-il aussi une chance sur 2 de gagner?...

[Deedee81]

il y a 3 portes et une seule gagnante

Ca fait partie des règles. Comment le sait-il s'il ne connait pas les règles ?

A ta dernière question : la réponse est oui (et également avec ma variante des milles portes, c'est marrant ça )

[polo974]

Ca fait partie des règles. Comment le sait-il s'il ne connait pas les règles ?

Il sait au moins qu'il y a 3 portes et qu'il doit en choisir une (sinon le jeu ne commence pas). Savoir combien sont gagnantes ne lui donne aucun avantage. Donc ici ne pas connaître ce bout de règle ne change pas les chances de gagner ou perdre.

A ta dernière question : la réponse est oui (et également avec ma variante des milles portes, c'est marrant ça )

Fallait pas tout de suite le dire...

[Deedee81]

SAlut,

Savoir combien sont gagnantes ne lui donne aucun avantage

Bien sûr que si. Réfléchit un peu (on est loin du réveillon maintenant, on peu se le permettre, même si les probas ça peut donner mal au crane ). Au moment de faire son choix, il lui reste deux portes.
Mais s'il ignore les règles il risque de penser "bah, y a une voiture derrière chaque porte, pourquoi changer ?" Ce qui lui serait désavantageux.

Ou, s'il est plus malin, il peut dire "bon, je ne sais pas combien de portes ont une voiture. Je peux changer ou pas, je vais faire un tirage au sort".
Ce qui n'est pas non plus le plus favorable.

Tandis que si il sait qu'il n'y a qu'une voiture, alors changer est le plus favorable.

Pire que ça, même là j'ai été abusif. Car s'il ne connait pas les règles, il ne sait pas qu'il y a voiture à gagner. Il pourrait se dire "bon, il y a des portes, certaines conduisent sur, euh, un trésor ? Une chaise électrique ? Sa belle mère"
S'il y a une porte avec une voiture, changer est la meilleure chance.
S'il y a une porte avec une chaise électrique (on aura compris qu'il doit la tester obligatoirement, j'exclus la belle mère, ça c'est vraiment trop horrible ), ne pas changer est la meilleure chance.
Donc, au mieux, sans connaitre les règles, le mieux est de faire un tirage au sort. Qui n'est pas le plus favorable. Mais c'est le mieux qu'il puisse faire.

Il existe un grand nombre de jeux où ne pas connaitre les règles est désavantageux (quelle surprise . Mais il y a encore plus de jeux où ça rend le jeu tout bonne impossible au moins en pratique).
Le jeu des trois portes en fait partie.

[Deedee81]

Pire que ça, même là j'ai été abusif.

Hum.... mais c'est vrai que là, j'en avais parlé plus haut, ça dépend aussi de ce qu'on entend par "ne pas connaitre les règles".
Pour moi, ne pas connaitre les règles c'est ne même pas savoir que le plateau d'échec a 64 cases (ce qu'il peut voir en commençant), qu'il a une orientation, qu'on doit jouer chacun son tour, etc....
(à noter que dans les règles de la fide, on précise même la couleur des cases, en particulier la dame blanche sur case blanche au départ : mais là je suis tout à fait prêt à admettre que ne pas connaitre cette règle ne change pas le résultat )

Tiens, petite digression. Au échec il y a la règle : "pièce touchée, pièce jouée". Mais que se passe-t-il si la pièce de peut pas être touchée ?
Une ancienne règle précisait que dans ce cas on devait jouer le roi (si possible évidemment). Mais une erreur de manipulation d'un joueur lors d'un match de haut niveau l'a ainsi conduit à une position d'ouverture connue le mettant en position de mat en un coup !!!!! Suite à ça, la fide a changé :a règle : "dans ce cas on joue n'importe quoi", donc la règle devient "pièce touchée, pièce jouable, pièce jouée".
Et si ma mémoire est bonne, on n'utilise plus l'expression "j'adoube" (peut-être suite à un joueur Russe connu que l'on surnommait adoubovitch il avait la manie parfois de toucher une pièce, de changer d'avis et de dire "j'avais dit j'adoube").

Autre digression : dans la composition échiquéenne, il y a des variantes "qui perd gagne", des "mats aidés",.... Ce n'est pas mes préféré.

[Schrodies-cat]

Dans ma remarque sur la connaissance de la règle du jeu, je faisait référence au fait que le candidat doit savoir dés le début du jeu que l'animateur va ouvrir une porte autre que celle que le candidat a choisi et derrière laquelle ne se trouve pas de voiture. C'est sur ce point précis que portait ma remarque.Dans le cas du jeu télévisé, en ayant vu les émissions précédentes, on pouvait raisonnablement en inférer.
Dans ce cas la stratégie consistant à changer son choix garantit une probabilité de gain de 2/3 au lieu d'1/3, et est sans doute la meilleure à moins d'avoir des moyens de deviner où se trouve probablement la voiture.

Je faisais remarquer que s'il n'est pas convenu au départ que l'animateur va procéder ainsi, il peut tromper le candidat en lui proposant un autre choix seulement si la voiture est derrière le premier choix du candidat
Dans ce cas, la stratégie susdite échoue systématiquement.

[polo974]

SAlut,

Bien sûr que si. Réfléchit un peu (on est loin du réveillon maintenant, on peu se le permettre, même si les probas ça peut donner mal au crane ). Au moment de faire son choix, il lui reste deux portes.
Mais s'il ignore les règles il risque de penser "bah, y a une voiture derrière chaque porte, pourquoi changer ?" Ce qui lui serait désavantageux.
...

Ok, mais, je parlais du premier choix seulement, ne pas connaître le reste des règles au moment du premier choix ne change rien...

C'est sûr qu'au second choix, il vaut mieux avoir les cartes en main...

[Deedee81]

SAlut,

Ok, mais, je parlais du premier choix seulement, ne pas connaître le reste des règles au moment du premier choix ne change rien...

Ah, là oui, on est d'accord.