Énigme Ulysse et la chance

[invite95355625]

 Cliquez pour afficher

Si il sait à quelle distance on peut voir une île à l'horizon, en fonction de la hauteur de son mât sur lequel il peut grimper, alors il peut prendre route au hasard (par rapport au cap) et effectue une distance égale à deux fois cette distance. Puis faire cap à 90 degrés (par exemple à gauche), et parcourt une nouvelle fois cette distance. Puis ainsi de suite, en doublant la distance à chaque fois qu'il a effectué deux changements de cap successifs. Il tournera ainsi, en spirale, en ouvrant son exploiration de la portée de la vue sur la mer.

-----

[invite95355625]

 Cliquez pour afficher

Enfin, ça ne s'appelle pas une spirale, car la largeur du couloir est constante, mais je ne connais pas le mot.

[Juzo]

Je suis aussi de cette avis qui me parait valable aussi pour ma solution.

Ok Liet Kynes je suis d'accord avec vous, cette solution est totalement valable, puisqu'il n'a pas la garantie d'arriver sur l'île de son vivant il s'en remet au hasard. Par contre,

 Cliquez pour afficher

A supposé qu'il soit immortel, la probabilité qu'il ne fasse que des Pile ou qu'il conserve éternellement une proportion de Pile ne lui permettant pas d'arriver sur l'île est nulle, sauf erreur

Je vous propose maintenant de trouver une solution qui n'a aucun risque de déraper en terme de temps et permet d'arriver directement à l'île, certes pas avec une probabilité de 100% mais aussi proche en théorie que souhaité.

Pinard-bio : Il me semble qu'il risque de s'éloigner de plus en plus sans passer près de l'île.

[Juzo]

Je n'ai plus beaucoup de temps pour répondre sur le forum aujourd'hui, si vous souhaitez je peux mettre la solution en spoiler.

Rappel de l'adaptation suite à la solution trouvée par Liet Kynes et jacknicklaus (bravo à eux !).
Aller sur l'île avec une probabilité aussi grande que souhaitée, tout en s'en remettant au hasard, et en maîtrisant le temps de trajet.

[invite95355625]

Pinard-bio : Il me semble qu'il risque de s'éloigner de plus en plus sans passer près de l'île.

 Cliquez pour afficher

Il s'éloigne de son point de départ, et étend l'aire d'exploration, la surface ainsi déjà vue correspond à la surface de la mer, sans trou non exploré autour du point de départ.

[Juzo]

Pinard-bio oui pourquoi pas, si la solution consiste à

 Cliquez pour afficher

Aller quelque part au hasard, puis tourner en spirale jusqu'à trouver l'île

Pour éviter ces solutions auxquelles je n'avais pas pensé et qui consistent à s'en remettre au hasard en étant sûr qu'on atteindra l'île au bout d'un temps suffisant, j'ajoute une dimension à l'énigme :

Ulysse veut être sûr d'atteindre l'île avec une probabilité aussi grande que souhaitée, et en sachant exactement combien de temps il va mettre. On considère que son bateau va à vitesse constante et ne perd pas de temps en changeant de cap

A vous de jouer si vous le souhaitez

[Liet Kynes]

Si Ulysse sait qu'il va réaliser un évènement précis et déterminé à l'avance, il ne s'agit plus de hasard et de probabilités, non?

[Juzo]

Il sait qu'il pourra atteindre l'île avec une probabilité très grande (mais inférieure à 100%) et il sait exactement combien de temps il mettra.

[invite95355625]

 Cliquez pour afficher

Est-ce que la marée entre en ligne de compte, et alors est l'élément hasardeux ?

[Juzo]

@ Pinard-bio : non ce n'est pas de ce côté-là qu'il faut chercher.

[Liet Kynes]

Il sait qu'il pourra atteindre l'île avec une probabilité très grande (mais inférieure à 100%) et il sait exactement combien de temps il mettra.

 Cliquez pour afficher

si il sait exactement à l'avance le temps de trajet et que ce temps de trajet est le fruit du hasard alors je ne comprends pas la relation d'Ulysse au hasard sauf à ce qu'il soit lui même un générateur aléatoire

[Juzo]

@ Liet Kynes : j'ai failli renvoyer une précision tout à l'heure.

 Cliquez pour afficher

Le fait qu'il atteigne l'île ou non et la trajectoire sont en relation avec le hasard, mais le temps lui, est fixé à l'avance. Le temps de trajet d'Ulysse jusqu'à ce qu'il atteigne l'île (avec une très grande probabilité) ou qu'il échoue ne sera pas le résultat d'expériences aléatoires. En effet Ulysse souhaite savoir à l'avance exactement combien de temps sa tentative va prendre. (De plus il est possible dans une variante, que ce temps soit le plus court possible pour atteindre l'île, mais il ne vaut mieux pas tenir compte pour le moment de de cette indication qui peut embrouiller plus qu'autre chose.)

[invite95355625]

 Cliquez pour afficher

Comme le trajet dure plusieurs jours, faut bien qu'il dorme.
Mais faut pas qu'il dorme à l'approche de l'île.
Il sait combien de temps dure le trajet, mais si la mer est mauvaise, il va être épuisé, et risque de s'assoupir juste avant de voir l'île.
Et comme il n'a ni montre ni réveil...
Alors, s'il y a des mouettes autour de l'île, elles vont crier et le réveiller. Mais si y en a pas...

[Juzo]

@ Pinard-bio C'est une question de mathématiques, on néglige le sommeil etc.

[Juzo]

Bonjour,

Dernière précision : s'il est possible à Ulysse de connaître exactement le temps qu'il va mettre, dans une version plus naturelle il en aura seulement une très bonne estimation.

Je mettrai la solution de l'énigme ce soir en spoiler, je lance une dernière bouteille à la mer au cas ou des gens comme Médiat, pm42, Resartus, etc. qui passent par là voudraient résoudre l'énigme dans sa version 2 qui utilise des connaissances simples.

Rappel de l'énoncé :

Afin d'assurer son retour à Ithaque, Ulysse cherche l'île de la Chance où l'on peut manger des fruits qui portent chance. Il consulte un vieux marin qui lui indique où se trouve cette île et ajoute : "assure-toi que ton arrivée aux abords de l'île de la Chance soit en grande partie le fruit du hasard".

Comment Ulysse peut-il faire, sachant qu'il souhaite savoir exactement combien de temps il va naviguer ou du moins en avoir une très bonne estimation, c'est-à-dire éviter toute solution qui comporte un risque d'errer pendant longtemps avant d'atteindre l'île ?

Il est entendu que même si l'arrivée d'Ulysse aux abords de l'île ne peut garantie à 100%, dans l'expression "en grande partie le fruit du hasard" hasard signifie ce qui est en jeu dans une expérience aléatoire.

Bonne journée

[invite95355625]

Bonsoir,

@ Jozu :

Ulysse connaît préalablement la durée de son voyage. Sait-il aussi la distance à l'île dès le début, afin qu'il puisse déterminer à quelle vitesse moyenne il va devoir naviguer ? si c'est le cas, celà interfère t-il dans la probabilté (donnée grande) qu'il arrive en vue de l'île dans le temps prédéterminé?

[Juzo]

Pinard-bio, il connaît sa distance à l'île, et c'est en fonction de sa vitesse supposée constante qu'il peut évaluer son temps de navigation.

[Juzo]

Bonsoir,
Solution de l'énigme en spoiler, merci à ceux qui ont participé, les autres vous pouvez encore essayer.

Encore bravo à Liet Kynes et jacknicklaus qui ont répondu à la version 1 sans la contrainte de temps.

 Cliquez pour afficher

Ulysse souhaite que son arrivée soit "en grande partie le fruit du hasard", il règle donc sa trajectoire avec des expériences de Pile ou Face.
Il repère sa position et la position de l'île par rapport à lui, puis lance par exemple 1000 fois une pièce. (on peut imaginer que ses 20 marins lancent chacun 50 fois une pièce...)

Admettons que l'île se trouve N km à l'Est et M km au Nord de sa position initiale, alors chaque résultat Pile correspondra à un déplacement de N/500 km à l'Est, chaque résultat Face à un déplacement de M/500 km au Nord.
La loi des grands nombres (on peut se référer aussi à la loi binomiale) garantit que les proportions de Piles et de Faces seront très proches de 1/2 pour un grand nombre de lancers, c'est-à-dire qu'Ulysse aura une probabilité très proche de 1 d'arriver dans une zone resserrée autour de l'île (-> aux abords de l'île).
Il n'a donc plus qu'à calculer la composée de tous les mouvements obtenus par Pile ou Face et se rendre au point correspondant.

Remarque 1 : le temps de trajet sera lui aussi estimé avec une très bonne précision, sur la base de 500 déplacements vers l'Est à vitesse constante et 500 déplacements vers le Nord à vitesse constante.

Remarque 2 : si Ulysse souhaite connaître exactement le temps qu'il mettra, il lui suffit de choisir deux déplacements u et v de même longueur et tels que le déplacement du point de départ à l'île soit égal à 500u + 500v.

Remarque 3 : Ulysse peut aussi effectuer ses lancers de pièce en cours de navigation, un à la fin de chaque mouvement. Dans ce cas il devient alors plus visible que cette navigation est "le fruit du hasard" simplement Ulysse parcourra plus de chemin.

Remarque 4 : Bien entendu Ulysse peut en théorie augmenter autant qu'il le souhaite ses chances d'atteindre l'île en augmentant le nombre de lancers.

Remarque 5 : Si par grande malchance il n'est pas satisfait du résultat obtenu avec 1000 lancers il peut recommencer, mais il prend alors peut-être le risque de diminuer la part de hasard ?

[invite95355625]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

La loi des grands nombres (on peut se référer aussi à la loi binomiale) garantit que les proportions de Piles et de Faces seront très proches de 1/2 pour un grand nombre de lancers

Si c'est une garantie, ce n'est plus du hasard...

[Liet Kynes]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

"l'île se trouve N km à l'Est et M km au Nord de sa position initiale, alors chaque résultat Pile correspondra à un déplacement de N/500 km à l'Est, chaque résultat Face à un déplacement de M/500 km au Nord."
Un truc marrant est de calculer ce qu'il se passe si l'île de départ est en fait l'île de la chance (: circonférence de la terre=40000 km)

[Juzo]

Pinard-bio : en effet je me suis trompé dans la formulation :

 Cliquez pour afficher

la loi des grands nombres garantit que la proportion de Pile et de Face ont une très grande probabilité d'être très proches de 1/2.

Liet Kynes

 Cliquez pour afficher

je ne comprends pas, la trajectoire vers l'île pourra toujours être décomposée en un mouvement vers l'Est/l'Ouest et un mouvement vers le Nord/le Sud. Et il peut toujours effectuer les lancers de pièce à priori pour aller ensuite directement vers la destination

[Liet Kynes]

 Cliquez pour afficher

Ps: mon dernier post part du principe que Ulysse est platiste

Sinon @Juzo: ta solution ne peut pas marcher la loi des grands nombres ne signifie pas que les derniers tirages seront alternatifs si tirages successifs et si tout les tirages sont simultanés cela signifie que Ulysse choisi de naviguer en louvoyant rien de plus.

[Juzo]

Liet Kynes, bis

 Cliquez pour afficher

Tu veux peut-être dire que si M et N sont trop grands, il faudra énormément de lancers de pièce pour obtenir une précision satisfaisante. Mais on peut répondre que si l'île est trop loin (de l'autre côté de la planète par exemple), Ulysse préférera se rendre directement sur Ithaque plutôt que de passer sa vie à se rendre sur l'île de la Chance. Ainsi, M et N ne peuvent pas être démesurément grands.

[Juzo]

Liet Kynes, ter : je pense qu'on peut arrêter de se parler en spoiler, celles et ceux qui cherchent encore la solution ne regarderont pas.

Non je pense que ça marche, les derniers déplacements alternés ou pas influenceront peu le résultat final donc la zone d'arrivée. Évidemment il faut que les tirages soient suffisamment nombreux pour que les déplacements élémentaires ne soient pas trop grands.
Il doit y avoir une erreur dans ta dernière formulation, s'il veut y aller directement après tous les tirages il ne louvoie pas.

[Liet Kynes]

En fait il y a plusieurs trucs, le caractère alternatif ou non de la fin du voyage est à laissé de côté (brumes du matin).

Par contre tu vas effectuer 1000 lancés si tu obtiens 500 piles et 500 faces ce serait bon mais il faut déterminer à partir de quand cela ne l'est plus c'est à dire la proportion de pile et de faces qui fait que l'on arrive à un point ou l'île n'est pas visible.

Ensuite:

""l'île se trouve N km à l'Est et M km au Nord de sa position initiale, alors chaque résultat Pile correspondra à un déplacement de N/500 km à l'Est, chaque résultat Face à un déplacement de M/500 km au Nord."

Si on a un triangle U-N-M ou U est la position initiale de Ulysse, N le point plein Est vers l'île et M plein nord, la distance entre Ulysse et l'île est de tu veux approcher (avec x<1 et > ou égal à 0)

[Liet Kynes]

[QUOTE=Liet Kynes;6692167]

Je précise comment je vois les choses quand même:

""l'île se trouve N km à l'Est et M km au Nord de sa position initiale, alors chaque résultat Pile correspondra à un déplacement de N/500 km à l'Est, chaque résultat Face à un déplacement de M/500 km au Nord."

Si on a un triangle U-N-M ou U est la position initiale de Ulysse, N le point plein Est vers l'île et M plein nord, la distance entre Ulysse et l'île est de

Il faut que le nombre de tirages y soit > ou égale à 2 pour atteindre l'île.

Avec 2 tirages on souhaite que:



2 tirages = Pile-pile ou pile -face ou face-face,
si p est le nombre de tirages ,avec x=(nombre de piles/p tirages) et (y nombre de faces/p tirages)
alors x+y=1
pour 2 tirages si x=0/2 alors y =2/2,si x=1/2 alors y =1/2 et si x=0/2 alors y =2/2
or du point de vue de la chance si au premier tirage j'ai 1/2 d'avoir x au second cela me semble la même chose (évènements indépendants),
mais au p ème "grand=beaucoup de tirages" ce ne serait plus le cas?

[Juzo]

Bonsoir,

Pour commencer cette vidéo qui date d'un moment peut être intéressante pour se convaincre. Je la trouve très sympa, la 1ère partie est vraiment très parlante. La première fois que j'ai entendu parler de la loi binomiale (avant de voir cette vidéo) je m'étais amusé à calculer où arriverait un mobile qui se déplacerait dans le plan avec cette méthode de Pile ou Face, et j'avais eu la surprise de constater qu'il avait une très grande probabilité d'arriver dans une zone très resserrée du plan après un très grand nombre de tirages. Je l'avais même simulé sur un logiciel pour le constater vraiment.

La vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=2Wq6H8GMVm0&t=130s

mais au p ème "grand=beaucoup de tirages" ce ne serait plus le cas?

Les tirages sont indépendants au bout d'un grand nombre de tirages mais comme ils sont très petits cela a peu d'impact. Pour que l'impact soit significatif il faudrait qu'un écart à la "moyenne" se produise sur un grand nombre de tirages successifs, mais là justement la loi des grands nombres indique que plus le nombre de tirage est grand (donc plus l'impact risque d'être significatif), moins il y a de chances que les proportions de Pile et de Face soient éloignées de 1/2.

Pour vérifier la solution de l'énigme je propose une méthode :
- Définir une distance crédible de l'île : par exemple 600 km à l'Est et 400 km au Nord ?
- Définir à quelle distance l'île peut être visible du bateau d'Ulysse (par exemple en considérant qu'elle fait 100 m de hauteur et en se basant sur le pouvoir de résolution de l'oeil ?) -> cela définit "les abords" de l'île.
- Exprimer en fonction de x (la proportion de Pile), la distance entre l'île et la position finale du bateau d'Ulysse.
- En déduire dans quel intervalle doit se trouver x pour qu'Ulysse soit considérer comme "aux abords" de l'île (qu'il ait l'île en vue)
- Vérifier avec la loi binomiale si cela correspond à une probabilité satisfaisante d'atteindre l'île avec 1 000 tirages, 10 000 tirages, etc.

[Liet Kynes]

Bonjour,

Il est donc obligatoire de définir la distance île-abords.. Prenons 30 km par exemple.
Et je suis curieux du calcul: on peut tester 1000 tirages.
Les mouvements seront donc fixés à pile =600/500 km soit 1.2 km vers l'Est et face = 400/500 soit 0.8 vers le Nord
L'île se trouve à 721,11 km à vol d'oiseau.
Il faut déterminer les couples (nombre de piles-nombre de face) obtenus pour lesquels l'île est visible..

[Liet Kynes]

Bonjour,
L'île se trouve à 721,11 km à vol d'oiseau.

/2

erratum
721.11/2 = 360.55 km

[Juzo]

Non non c'est bien 721.22.

On considère que les coordonnées d'Ulysse sont (0;0), les coordonnées de l'île sont (600;400).
Les coordonnées du point d'arrivée d'Ulysse sont (x*1000*600/500 ; (1-x)*1000*400/500) = (1200x ; 800 - 800x)
La distance entre l'île et le point d'arrivée d'Ulysse sont , il faut résoudre l'équation en x pour que cette distance soit inférieure ou égale à 30 km.