Ensemble ordonné et treillis

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaie de montrer que tout treillis fini (c'est à dire un ensemble ordonné fini E,R tel que toute paire d'élements admette une borne supérieur et une borne inférieur) admet un maxium (c'est à dire un élement x tel que aRx pour tout a de E) et un minimum (un élément y tel que yRa pour tout a de E)

Bon, j'essaie de montrer que :

(pas de maximum ou pas de minimum) => E n'est pas un treillis

a) Je suppose que E ne possède pas de minimum. J'affirme que cet ensemble admet au moins deux éléments minimaux distincts (c'est à dire des éléments x tels que tRx => x=t pour tout t de E) parce que :

-S'il n'en admettait qu'un seule alors ce dernier serait un minimum (par définition)
-S'il n'en admettait aucun alors l'ensemble serait infini car :
pour tout x de E il existerait t tels que tRx et t différent de x, en d'autres termes le nombre d'éléments serait infini)

Si je sélectionne deux éléments distincts a et b parmis les éléments minimaux j'aurais :

pour tout t de E :

tRa => t = a
tRb => t =b
(a différent de b)

Nous n'avons pas ni aRb ni bRa sinon a et b ne seraient pas minimaux.
Ce couple d'éléments n'admet pas de minimum, un élément y tel que yRa et yRb ne pourrait pas exister (sinon a et b ne seraient pas minimaux)

Donc l'ensemble n'est pas un treillis

b) Je suppose que E ne possède pas de maximum et le raisonnement est similaire

Ca va ça ?

merci

[invitec314d025]

Si le minimum existe, alors c'est l'unique élément minimal, mais on peut avoir un unique élément minimal sans avoir de minimum (avec une relation d'ordre partiel).

Par exemple, tu prends l'ensemble , muni de la relation d'ordre :



(0;0) est l'unique élément minimal, mais n'est pas un minimum.

[Bleyblue]

Mais ton ensemble est infini ...
C'est aussi possible pour les ensembles finis ?

merci

[invitec314d025]

Je n'ai jamais dit que mon ensemble satisfaisait tes hypothèses. Ce que je conteste, c'est cette phrase :

-S'il n'en admettait qu'un seule alors ce dernier serait un minimum (par définition)

Cela ne découle pas directement de la définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah ok, je vais essayer de justifier mais sinon pour ton exemple moi il me semble que (0,0) n'est pas minimal vu que (0,0) R (a,b) n'implique par (a,b) = (0,0)


on a (0,0) R (0,0) mais aussi (0,0) R (0,a) a réel positif

non ?

[Bleyblue]

Ouille non pardon je m'embrouille dans mes définitions

[invitec314d025]

Oui mais c'est (a;b) R (0;0) qui implique (a;b) = (0;0)

[Bleyblue]

Ok oui je me suis emmêlé les pinceaux.
Bon je vais essayer de justifier ça un coup ...

merci

[Bleyblue]

Mais en fait c'est aussi possible avec les ensemble finis parce que si je remplace ton ensemble par :

{-2,-1,0,1,2} x {0,1,2,3,4}

par exemple, le même problème se présente.

C'est peut-être bien faux ce que j'essaie de montrer alors

[Bleyblue]

Ah non parce que dans ce cas la on a plusieurs éléments minimaux

[Bleyblue]

Ah mais attend, dans ton exemple aussi il y a plusieurs minimaux non ?

Si a est un réel fixé alors (a,0) est minimal je pense

Merci

[invitec314d025]

Ah mais attend, dans ton exemple aussi il y a plusieurs minimaux non ?

Si a est un réel fixé alors (a,0) est minimal je pense

Non, puisqu'il n'appartient pas à l'ensemble. y est forcément non nul sauf si x est lui-même nul.