J'ajouterais une vision un peu différente qui rejoint surement ce qu'a expliqué homotopie

AA'=aBB'=bCC' (en vecteur) avec AA',BB',CC'>0
f=x+ax+bx (a,b>0)
Min quand x tend vers 0

Soit AA'=0
BB'=dCC' avec BB'>0
g=x+dx
Min quand xtend vers 0

Soit AA'=BB'=0

AA'+BB'+CC'=CC'

Comme A,B et C sont interchangeables, il faut choisir la droite D contenant le segment du triangle minimisant cette longueur. En l'occurrence, graphiquement, il s'agit du segment composé des 2 points extrêmes (selon x) du triangles.

Pour la question 2), il suffit de remarquer que c'est 1 cas particulier du 1 qd D est perpendiculaire à un axe Oy'.
Par un raisonnement analogue, on s'apercois que
AA'+BB'+CC'= une des hauteurs du triangle
Cette hauteur minimale est alors unique si abc non isocèle.