je crois que la seule différence consiste dans le mode du concours que tu passes (interne ou externe), le diplôme de mathématiques (enfin de la matière enseignée) restant le même : la maîtrise.
Seulement la maîtrise va prohainement disparaître sans remplacement! Il n'y a en effet pas de diplôme bac +4 dans le système LMD... alias 3 5 8! le 5 c'est le master qui se prépare en 2 ans après la licence.
Donc je ne sais pas ce que ça donnera pour le professorat du secondaire... j'espère que le recrutement des profs ne se fera pas au niveau Licence, ce serait une baisse de niveau, ni au niveau Master, ce serait du gachis de temps, mais c'est un autre débat.

Il faut aussi faire la différence entre privé "simple" et privé sous contrat avec l'Eat (à ce moment là tu es malgré tout fonctionnaire payé par l'Etat). Il faut voir. Le fait de passer le concours en externe t'empêche partiellement d'accéder au public par la suite, alors que l'inverse n'est pas vrai. Tu peux ainsi bloquer ta carrière sur le privé qui est somme toute minoritaire en France.

Cordialement