Statiques des fluides: Mouvement d'un aérostat

[chaverondier]

On étudie le mouvement vertical d'un aérostat de masse m, rempli de dihydrogène de masse molaire M', en équilibre thermique avec une atmosphère isotherme. On suppose que la pression moyenne p* dans le ballon est donnée en fonction de l'altitude z de son centre par: p=p0 exp(-Mgz/RT) où M=29g/mol est la masse de l'air
-Déterminer le mouvement du ballon et l'évolution de son volume tant que l'élasticité du ballon peut jouer, ce qui permet d'assurer l'équilibre des pressions interne et externe.
-Que se passe t-il qualitativement quand la limite d'élasticité est dépassée?

On doit exprimer:
1/ le principe fondamental de la dynamique
Poids de l'aérostat + poussée d'Archimède = m gamma

2/ poussée d'Archimède F_a = rho_air V g

3/ L'équation d'état de l'air assimilé à un gaz parfait
p = (m_air/M) RT/V_air = rhô_air RT/M soit rhô_air = p M/(RT)

4/ Selon les hypothèses proposées dans l'énoncé,
* l'aérostat monte (ou descend) suffisamment lentement pour que la détente (la compression) du dihydrogène soit isotherme (équilibre thermique avec l'atmosphère à température T)
* la pression p au sein du gaz contenu dans le ballon est égale à celle de l'atmosphère environnante (1).
En appliquant cette fois-ci l'équation d'état des gaz parfaits au volume V de gaz contenu dans le ballon: V= n R T/p avec n = nb de moles de dihydrogène contenues dans le ballon = (masse aérostat -masse de l'enveloppe du ballon -masse de la nacelle)/M', on obtient une poussée d'Archimède
F_a= n M g avec,
M = masse molaire de l'air
n = le nombre de moles de dihydrogène, d'où

(-m+ nM) g = m d^2 z/dt^2

Dans la question 2/, si on entend par "limite d'élasticité", la limite au dela de laquelle le volume du ballon ne peut plus augmenter (parce que le volume d'hélium remplit comlètement le ballon), alors le ballon va progressivement ralentir son ascension. Le volume V étant alors constant, on peut résoudre l'équation différentielle (obtenue en remplaçant la densité de l'air par son expression en fonction de l'altitude z) par une méthode de variation de constante.

En effet, la densité de l'air diminue et le volume du ballon n'augmente plus. La poussée d'Archimède F_a = rho_air V se met donc à diminuer avec l'altitude au lieu de rester constante. L'équilibre d'effort est atteint quand la poussée d'Archimède devient égale au poids de l'aérostat et, en introduisant dans l'équation différentielle les effets dissipatifs dus au frottement de l'air sur le ballon, l'aérostat se stabiliserait à ce niveau après quelques oscilations (puisque l'accélération devient négative au dessus et positive en dessous). BC

(1) En fait, si l'enveloppe du ballon est en traction, la pression à l'intérieur du ballon est plus grande que la pression à l'extérieur. On a p_int = p_ext + 2 sigma e/R où sigma désigne la contrainte de traction dans la paroi du ballon, e son épaisseur et R son rayon.

[A voir en vidéo sur Futura]