Dérivée partielle

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel

Est-ce évident?

Merci,

Simon

[invite9c9b9968]

Salut,

C'est une simple histoire de dérivation d'une fonction composée

[invite8ef93ceb]

Ok,

en fait, je bosse dans le formalisme de Tomonaga-Schwinger (fonctions d'ondes avec une coordonné de temps par particule) et j'ai souvent à dériver par rapport à T après avoir imposé t1=t2=...=T, exactement comme dans mon premier message.

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

[invite9c9b9968]

Mais la plupart du temps, j'ai des fonctions du type f(x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn), et dans ce cas, je ne sais pas si la formule que j'ai donné s'applique.

Je supppose que x_i sont des variables positions ou impulsions ?

Dans ce cas, tu dérives aussi partiellement par rapport à x_i, et comme toute dérivation composée qui se respecte, tu multiplie chaque dérivée partielle obtenue par

Vous n'auriez pas quelques mots clés pour m'aider à trouver d'autres identités de ce genre?

Merci!

Simon

Là désolé je ne vois pas (et tu as le droit de me tutoyer Simon, c'est bien la première fois que tu me vouvoies )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef93ceb]

Je supppose que x_i sont des variables positions ou impulsions ?

Tout à fait.

Dans ce cas, tu dérives aussi partiellement par rapport à x_i, et comme toute dérivation composée qui se respecte, tu multiplie chaque dérivée partielle obtenue par

J'en doute. La dérivée par rapport à T est partielle. Pour cette raison, j'ai l'impression que dériver f(x1,x2,...,xn,T,T,...,T) par rapport à T donnera le même résultat que celui de mon premier post, simplement en remplaçant f(T,T,...,T) par f(x1,...,xn,T,T,...,T). Aussi, je me suis toujours dit qu'avec des impressions on ne va pas loin en math, voilà pourquoi je demande. Je n'ai pas envie de faire le calcul...

tu as le droit de me tutoyer Simon, c'est bien la première fois que tu me vouvoies )

hehe, je ne m'étais même pas aperçu


Simon

[invite9c9b9968]

Je n'en doute pas de ma réponse

Si tu considère xi(t), il n'y a pas de souci

[invite8ef93ceb]

Bonjour Gwyddon,

je suis désolé, mais je ne comprends pas ce que tu veux dire. Voilà ce que j'ai compris de tes interventions:

Pour une fonction , on aurait



Si c'est bien ce que tu veux dire, je continue de douter très fort...(la dérivée est partielle!) Soit j'ai mal compris, soit j'ai besoin d'explications plus approfondies.

Personne ne peut m'indiquer rapidement comment établir cette relation?

Cordialement,

Simon

[invite9c9b9968]

Ok, alors j'y vais plus en détail.

Ce que tu veux dériver, c'est



Ok ?

Alors tu dérives composante par composante, et tu appliques la dérivation d'une fonction composée :



Ton trouble vient du fait qu'en physique on n'introduit pas g, et on traite f indiféremment selon qu'elle dépende de T, t, etc...

[b@z66]

Le calcul se résume à cette formule, simplement dans cette formule si tes variables xi sont indépendantes des ti (et donc de T), les dérivées partielles de xi par rapport à T sont nulles et comme toutes tes variables ti sont égales à T, alors les dérivées partielles de ti par rapport à T font 1. Le calcul est rapide. Sinon pour la formule des dérivées totales, je vais quand même pas te la démontrer.

[invite8ef93ceb]

C'est gentil d'essayer, mais ce que vous écrivez est faux.

Cordialement,

Simon

[b@z66]

C'est gentil d'essayer, mais ce que vous écrivez est faux.

Cordialement,

Simon

C'est bien de dire que c'est faux mais dans ce cas là on explique alors pourquoi. Où est l'erreur ?

[invite9c9b9968]

C'est gentil d'essayer, mais ce que vous écrivez est faux.

Cordialement,

Simon

Le truc, c'est que tu nous dis ça sans nous dire pourquoi. Je suis sûr de ce qu'affirme b@z66, j'ai eu un cours sur les diff il y a deux ans et ce n'est pas plus bête que ça.

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

je suis désolé, j'étais un peu pressé hier. Mais j'ai répété plusieurs fois pourquoi c'est faux. Vous utilisez à gauche de l'égalité le symbole pour la dérivée partielle, et vous écrivez à droite de l'égalité l'expression de la dérivée totale. Aussi, lorsqu'on écrit dx ou dz ou dx/dz, chaque quantité d? est un objet bien défini, qui est par définition infinitésimal. Mais le symbole del n'a pas le meme sens, la quantité del x n'existe pas, elle n'est pas définie. Seulement la quantité del/del T a un sens.

Maintenant, comme je l'ai répété dans presque tous mes messages, vous partez de la définition d'une différentielle exacte, vous divisez par dT, vous remplaçez les d par des del, vous éliminez des termes; et comme cela donne ce que je cherche à démontrer, vous affirmez que c'est simple... je veux bien, mais le fait que c'est simple ne change rien au fait que c'est faux.

Ce que je voulais éviter, c'est de faire la preuve par la définition de la dérivée partielle, en terme de la limite. J'aurais aimé trouver un document fiable où les développements sont faits. Mais je sais que c'est assez simple... jvais regarder ça quand j'aurai quelques minutes.

Merci pour votre aide,

Simon

[b@z66]

Petite erreur typographique de ma part, excuses. Quant à la formule, ce n'est pas celle des "dérivées totales" (j'ai fait une confusion avec les probas) mais de la différentielle totale. Bonsoir.

[b@z66]

formule de la différentielle totale:



formule que l'on propose avec Gwyddon:



Je réécris ces deux formules simplissimes (me semble t'il) pour que l'on indique où se trouverait l'erreur. Du fait que toute les dérivées sont partielles dans les deux membres de la deuxième équation, il n'y a pas de problème: simplement on divise les différentielles de la première formule par (c'est à dire en considérant toutes les autres variables qui ne s'appliquent pas dans le rapport comme constant), c'est comme ça qu'apparaissent les dérivées partielles. Si vous ne voyez pas cela, cela m'étonne car c'est quand même "basique".

[b@z66]

Petite erreur encore de ma part (j'utiliserai la prévisualisation la prochaine fois):

formule de la différentielle totale:



formule que l'on propose avec Gwyddon:



Je réécris ces deux formules simplissimes (me semble t'il) pour que l'on indique où se trouverait l'erreur. Du fait que toute les dérivées sont partielles dans les deux membres de la deuxième équation, il n'y a pas de problème: simplement on divise les différentielles de la première formule par (c'est à dire en considérant toutes les autres variables qui ne s'appliquent pas dans le rapport comme constant), c'est comme ça qu'apparaissent les dérivées partielles. Si vous ne voyez pas cela, cela m'étonne car c'est quand même "basique".

[invitefa5fd80c]

Petit indice. Pour une fonction à une seule variable, par exemple y=f(x), on a:

[invite8ef93ceb]

simplement on divise les différentielles de la première formule par

Tu n'as pas le droit de faire ça. La quantité que tu évoques n'existe pas.

La seconde formule fait du sens seulement si on sait qu'elle est exactement la première, mais écrite par quelqu'un qui ne connait pas le sens de certains symboles mathématiques universellement acceptés.

Cordialement,


Simon

[b@z66]

Lévesque, es-tu simplement d'accord avec cette formule ci-dessus (sans tenir compte de l'expression de y) ? En divisant chaque différentielle de tn par exemple de la formule de la différentielle totale par , on se contente de diviser la variation de xn par la variation de y en considérant toutes les variables indépendantes de y comme constantes: il me semble que cela est la définition même de la dérivée partielle. Le point sur lequel,il me semble que tu butes vient du fait que y peut être dépendant ou non des variables tn: lorsque tu impose t1=t2=...=y (comme dans ton problème où cela revient à rendre dépendantes des variables de ta fonction), tu en peux en conclure que y est une fonction de t1 (ou t2 sachant le lien qui les relie,ou...) ou que t1 (ou t2, ou t3,...) est une fonction de y. Tu peux donc en connaissant cette dernière fonction déterminer les dérivées partielles de tn par rapport à y. Pour ce qui est des variables tn qui ne dépendent pas de y, on ne peut pas imposer un tn comme une fonction de y d'où le résultat d'une dérivée partielle nulle. Je crois être quand même assez rigoureux et je ne vois pas où il y aurait une erreur "mathématiquement".

[b@z66]

Bonjour,

lors d'une lecture, je retrouve l'énoncé suivant:

Pour n'importe quel

Est-ce évident?

Merci,

Simon

Pour moi personnellement ça l'ai, tu imposes apparemment t=t1=t2....=T donc quand tu dérives partiellement n'importe laquelle de tes variables t par rapport à T, ça donne 1. Quand tu appliques ça à ta dérivée totale de f par rapport à T, tous les éléments de ta somme dans le second membre se trouve donc affublé d'un coefficient unité. Où est le problème?

[invite8ef93ceb]

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!
Vous pouvez ajouter autant de dx_i que vous voulez, ils sont tous nul d'après la définition de la dérivée partielle.

[b@z66]

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!

Que ce soit une dérivée partielle, je le considérai effectivement comme évident comme de toute façon une dérivée "classique" n'est de toute manière pas définie pour une fonction de plusieurs variables, ce n'est donc pas la peine de prendre les autres pour des neuneus.

Quant à tes xi, s'ils sont indépendants de T, tes dérivées partielles de xi par rapport à n'importe quel ti(égal à T) seront donc nulles. Franchement, il n'y a pas à se prendre la tête là-dessus, c'est à toi de voir si tes variables xi sont indépendantes de T, c'est tout.

[invite8ef93ceb]

Je ne comprends pas d'où vient la somme du côté droit si la dérivée est partielle.

D'ailleur, Gwyddon, ta dérivée par rapport à g me semble totale...

[b@z66]

Je ne comprends pas d'où vient la somme du côté droit si la dérivée est partielle.

D'ailleur, Gwyddon, ta dérivée par rapport à g me semble totale...

Franchement, j'ai un peu du mal à comprendre où tu butes. Pour rappel, la différentielle totale (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...%A9e_partielle)
peut s'utiliser pour calculer aussi les dérivées partielles par rapport à T(par exemple), seulement, tu remplaces simplement les différentielles d'une variable dans la formule du lien ci-dessus par les dérivées partielles de cette même variable par rapport à T. La formule de différentielle totale s'applique de toute façon généralement avec les dérivées partielles vu le nombre de variables mis en jeu.

[invite8ef93ceb]

Bah, je ne sais pas non plus pourquoi je bute. Essayez seulement de faire la preuve sur une feuille de papier. Écrivez la totale, et essayez d'obtenir une expression pour la dérivée partielle de f(x...,T,...T) par rapport à T. Si vous trouvez comment, je suis preneur.

[invite9c9b9968]

Le côté gauche de l'égalité est une dérivée PARTIELLE!

Mon titre l'indique aussi clairement il me semble. Si je dérive partiellement par rapport à T, tout ce qui n'est pas T est considéré comme constant, i.e. tous les x_i!!!
Vous pouvez ajouter autant de dx_i que vous voulez, ils sont tous nul d'après la définition de la dérivée partielle.

Ok d'accord, je ne l'avais effectivement pas compris comme cela... Désolé Simon, je pensais que tes variables dépendaient de la variable T

Alors ce que dis b@z66 est très juste

Tu reprend ma formule, mais à la place de tu mets 0