La base monaire

[invitee1c6d6b1]

C' est un fil en forme de canulard, juste pour voir si ça donne quelque chose.

En base binaire, avec les chiffres "1" et "0", on peut écrire tous les nombres. Chaitin est un mathématicien qui s' est attaqué à un problème très complexe. Pour mieux comprendre, il a commencé par tout simplifier. Il réduit tous les problèmes à des équations diophantiennes; ce sont des équations où il n' y a que des nombres entiers. Puis, pour simplifier encore, il n' écrit les nombres entiers qu' en base deux. Finalement il ne manipule que des "0" et des "1".

Pas mal.

Alors je me suis dit, simplifions encore plus, utilisons la base "monaire". C' est une base où il n' existe qu' un seul chifre pour écrire tous les nombres. Le chiffre est "§", je l' appelle "chponk". Je commence par écrire les premiers entiers naturels :
zéro :§
un :§§
deux:§§§
trois:§§§§
quatre:§§§§§
cinq:§§§§§§
six :§§§§§§§

En apparence, et peut être même en réalité, la base monaire n' a aucun intérêt. Sauf pour les shadoks. Pour écrire mille il faut écrire mille et un chponk d' affilé.
Débile.
Pour les opérations : l' addition; a+b, il faut ajouter tous les chponks de b à la suite des chponks de a moins un chponk. Pour la multiplication je vous laisse élaborer une méthode.

Mais remarquons, pour écrire le nombre "un" il faut "deux" chponks."deux" pour "un". Il y a comme un défaut.

Dans la même lignée : Imaginez une corde de longueur infinie. On fait des noeuds à cette corde, tous les 20 cm. Ensuite on dit que cette corde marérialise N, l' ensemble des entiers naturels. Alors le premier noeud représente le zéro. Premier pour zéro. Là aussi, il y a comme un défaut.
C' est comme pour les chponks, zéro s' écrit avec un chponk. Normalement un chponk seul, devrait être réservé au nombre "un". C' est comme ci le zéro avait usurpé l' identité du "un".
Je comprend pourquoi les hommes ont mis du temps à écrire le zéro.

Est ce que ça vous inspire quelque chose ?

[invite9c9b9968]

Ça m'inspire la réflexion de la tribu des Blobs, qui il y a fort longtemps ont découvert que 2+2=5 : en prenant une corde à 2 noeuds et une autre corde à 2 noeuds puis en les mettant ensemble, on obtient 5 noeuds

Bon plus sérieusement, où veux-tu en venir ? Effectivement l'idée du zéro n'est pas si évidente que cela, mais depuis le temps on se l'est appropriée.

[shokin]

Je pense que cette discussion pourrait passer en la section mathématique, ne pensez-vous pas ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/0_(nombre) peut être un petit début pour partir de rien et tout obtenir.

Shokin

[invitee1c6d6b1]

Oui cette discussion doit être en "mathématique".

En fait ce genre de réflexion, montre des contradictions qui je pense sont liées à la linguistique. Mais parfois, la linguistique donne des éléments de réflexion de base.

Exemple : Je reprend l' image de la corde à noeud, qui matérialise l" ensemble N. Donc :
-le premier noeud représente "0"
-le deuxième noeud => "1"

On dit deuxième pour indiquer "1". Alors que du point de vue linguistique, le mot "deuxième" est associé à "2".

N' y aurait-il pas matière à gratter quelque chose ?

Prenons l' exemples des étages :
Dans un immeuble à étages, il y a le RDC puis le premier, le deuxième et ainsi de suite. Le RDC n' est pas un étage. Dans une maison de plein-pied, si quelqu' un dit : "je voudrais dormir à l' étage". On lui répond :"il n 'y a pas d' étages".
On peut squizer le problème en disant qu' il s' agit de terminologie mal adaptée. Mais disons plutôt que le linguistique nous indique ici, quelque chose.
Ce serait : "zéro" n' est pas un nombre !
Bizarre comme assertion !
Quelques éléments de réflexion:
-Dans un système analogique, le zéro est représenté par une absence de signal. "Il y a zéro allumettes dans la boite" => quand on ouvre la boite, il n' y a pas d' allumettes, pas de signal. Ceux qui écoute les ondes radio en provenance du cosmos, espèrant entendre un signal venant d' extratterestres, n' entendent rien => pas de signal.
-Dans les systèmes numériques, le zéro est représenté par un signal. Sur les CDrom, les bits sont gravés sous forme de "batonnets". Un batonnet =>"1" et 1/2 batonnet=>"0"
-A la limite, dans un système numérique, quand il n' y a rien, on sait qu' il n' y a rien. Dans un système analogique, on ne le sait pas. C' est un genre de perplexité, une interrogation sans réponse. Une angoisse.
-Systèmes numériques : le zéro système est la plus petite valeur que le système numérique peut appréhender. En dessous de cette valeur, le système répond : zéro.Tout les nombres inférieurs aux zéro système, ne sont pas perçus par le système, ils n' existent pas pour lui. J' appelle ça," la cécité numérique". L' inverse du zéro système est le plus grand nombre que le système peut intégré.
-Rapport entre zéro et l' infini. Zéro est l' inverse de l' infini, pour la multiplication. En math, on dit, selon la terminologie exacte, que l' infini n' appartient à N. Alors, il est possible que l' inverse de l' infini n' appartienne pas non plus à N. Zéro n' appartiendrait pas à N. Zéro ne serait pas un nombre.
-On dit que zéro est le cardinal de l' ensemble vide. Mais le cardinal, c' est le nombre d' éléments d' un enssemble. Dans cette définition, il y a le mot "nombre". Je pense que pour définir ce qu' est un nombre, il ne faut pas utilisé le mot "nombre". Cela serait comme ci pour démontrer le postulat d' Eucide, on se servait d' un théorème déjà soutendu par ce postlat.

Pour terminer, il faut savoir que je ne suis pas un spécialiste, je ne suis ni mathématicien, ni physiciens. J' ai eu le Bac C en 1975.
Il se peut que le sujet ait déjà été traité. J' ai entendu dire que des mathématicien ont dit qu' il n' y avait pas assez d' entiers naturels pour remplir N.

Autres précisions de ma part:
-Les systémes numériques sont développés dans Q, l' ensemble des rationnels. Et plus exactement dans un sous-enssemble de Q.
-Les systèmes analogiques sont developpés dans R, l' ensemble des réels.

A partir de N, on peut construire Z, puis Q. Mais pas moyen de construire R.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonjour,

C'est la différence entre ordinaux finis et cardinaux finis.

Les premiers cardinaux sont 0, 1, 2, 3, 4, ...

Les premiers ordinaux sont premier, deuxième, troisième, quatrième, cinquième.

Si on veut une isomorphie gardant la notion de prédécesseur et successeur, alors la seule solution est d'associer 0 à premier, 1 à deuxième, etc...

Il suffit de réaliser que la correspondance entre un ordinal et un cardinal est le nombre de prédécesseurs de l'ordinal.

Vu comme ça, la confusion n'est pas dans la notation, mais dans la perte de conceptualisation de la différence entre ordinal et cardinal. Je dis perte, parce que tous les langages humains que je connais font la différence entre ordinal et cardinal, ce qui montre que le concept existe. Mais la relation entre les deux est mal perçue.

Une application pratique est qu'il est beaucoup plus logique d'indexer un tableau dans un langage informatique de 0 à n-1 (comme dans C) que de 1 à n (comme dans Pascal par exemple), parce qu'on indexe par des ordinaux...

Cordialement,

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Une lecture sympa sur le sujet:
"Histoire Universelle des Chiffres", de Georges Ifrah. Collection "Bouquins".

Non seulement le zéro n'est pas évident, mais l'humanité a inventé bien plus subtil que les "chponks" pour noter la numération... et tout ça bien avant le zéro!

-- françois

[invité576543]

"Il y a zéro allumettes dans la boite"

Ce point là est très intéressant. Surtout quand on rajoute après, en montrant la boîte d'allumettes, "Il y a zéro hippopotame dans la boîte".

On se rend compte que la phrase n'est pas seulement une assertion mathématique...

-Dans les systèmes numériques, le zéro est représenté par un signal. Sur les CDrom, les bits sont gravés sous forme de "batonnets". Un batonnet =>"1" et 1/2 batonnet=>"0"

Pas nécessairement. Il existe des codages numériques dans lesquels l'absence est aussi un symbole. Et on peut très bien coder un 1 comme une absence! Il n'y pas de "maths" ou de logique dans le codage, juste des conventions choisies par les humains.

-Systèmes numériques : le zéro système est la plus petite valeur que le système numérique peut appréhender. En dessous de cette valeur, le système répond : zéro.Tout les nombres inférieurs aux zéro système, ne sont pas perçus par le système, ils n' existent pas pour lui. J' appelle ça," la cécité numérique".

Là encore, c'est plutôt jouer sur les mots. L'absence de prédécesseur au 0 est une propriété axiomatique de N.

L' inverse du zéro système est le plus grand nombre que le système peut intégré.

Non. Dans aucun système que je connaisse cette phrase a un sens.

-Rapport entre zéro et l' infini. Zéro est l' inverse de l' infini, pour la multiplication.

Là encore non. Je ne connais aucun système comme cela. La notion d'inverse veut dire produit égal à 1, alors que dans tout langage symbolique le produit (de nombres) de 0 et "trop grand" est indéterminé, du moins si l'opération même est autorisée.

-On dit que zéro est le cardinal de l' ensemble vide. Mais le cardinal, c' est le nombre d' éléments d' un enssemble. Dans cette définition, il y a le mot "nombre". Je pense que pour définir ce qu' est un nombre, il ne faut pas utilisé le mot "nombre".

Mais de quelle définition du mot "nombre" parlez-vous?

-Les systémes numériques sont développés dans Q, l' ensemble des rationnels. Et plus exactement dans un sous-enssemble de Q.
-Les systèmes analogiques sont developpés dans R, l' ensemble des réels.

Pas vraiment. En fait il n'existe pas de système numérique en pratique. Il n'existe que des systèmes analogiques dans lesquels une convention de codage "projette" les valeurs réelles sur un ensemble discret. C'est très visible dans le langage humain: dans la version sonore le signal est analogique, mais dans la version écrite, il y a un encodage intermédiaire de formes analogiques (comme o p u ) dans des lettres, qui sont des symboles discrets.

Quand on parle de système numérique, on parle d'une abstraction, on parle du système "projeté", qui n'est pas égal au système réel. Même chose pour un signal "discret" comme une piste de CD: le signal est analogique, mais on parle du signal discrétisé (à plusieurs niveaux d'ailleurs, le premier étant la profondeur, projeté sur deux valeurs; cela donne un signal échantilloné mais analogique, la suite des longueurs des creux et des inter-creux; et on tire un signal purement numérique (discret dans le temps et en valeur) par démodulation (projection sur deux longueurs seulement) du signal précédent...).

A partir de N, on peut construire Z, puis Q. Mais pas moyen de construire R.

Ben si, R se construit par exemple à partir des sous-ensembles de N...

Cordialement,

[invite6de5f0ac]

Ben si, R se construit par exemple à partir des sous-ensembles de N...

Bonjour,

C'est une manière de faire...

Je crois que ce que voulait dire Petithassane c'est que Z se déduit de N par symétrisation de l'addition, et Q de Z par symétrisation de la multiplication.
Pour passer de Q à R il n'y a rien de tel, il faut introduire de la Topologie. Et ça peut se faire d'autant de manières qu'il y a de nombres premiers (corps p-adiques Q_p), plus une, celle qui donne R tel qu'on le connaît.

-- françois

[JPL]

Prenons l' exemples des étages :
Dans un immeuble à étages, il y a le RDC puis le premier, le deuxième et ainsi de suite. Le RDC n' est pas un étage. Dans une maison de plein-pied, si quelqu' un dit : "je voudrais dormir à l' étage". On lui répond :"il n 'y a pas d' étages"..

Ça ne gêne pas les américains (ni peut-être les anglais) car rez-de-chaussée se dit first floor.
Bon, ce n'est pas très mathématique, mais c'est mes deux centimes de contribution

[invitee1c6d6b1]

Vous m' avez bien embrouillé avec toutes vos remarques précises et bien réflèchies.
Mais moi qui suis un profane, je vous dis à vous qui parlez en connaissance de cause, que je persiste. Il se peut que sur ce coup j' ai raison et que vous n' aillez pas complètement juste.
Autrement dit, moi qui n' y connait rien, je vous cite Coluche à vous qui en connaissez beaucoup :
" Je parle très mieux que toi la France et je vous merde."
Bien amicalement.
Déjà, j' avais dit qu' il ne fallait pas squizer la linguistique et mmy s' est empressé de le faire avec ses concepts de cardinaux et d' ordinaux. Après il a introduit des hippopotames là où il n' y avait que des alumettes. Ensuite il a sorti des notions sur les systèmes numériques et analogiques, que je ne connaissais pas et donc je n' ai rien compris. Et moi, je suis comme le douanier de Fernand Raynaud, si je ne comprend pas c' est qu' il n' y à rien à comprendre et donc tout ce que je ne comprend pas est bête. Je ne m' embarasse pas de considérations élaborées, moi, je fait dans le simpliste.

Alors je recommence :
La notion de limites nous a montré que 1/infini=0 et que 1/0=infini . Donc zéro et infini sont l' inverse l' un de l' autre par rapport à la multiplication. (zéro x infini) ça peut très bien faire "1" si on veut, puisque ça peut faire n' importe quoi. Or, "1" fait partie de n' importe quoi. Au passage, je crois que les mathématiciens ne savent même pas si zéro est paire ou non.

Maintenant, les systèmes numériques. Moi, j' ai été formé à bonne école. Pas à la fac, non, non. Avec le ZX81. Petit ordinateur avec 16 ko de rom, 1 ko de ram, 16 ko d' extension de ram. Langages: basic rudimentaire et code machine.
La cécité numérique, concerne tous les rationnels SUPERIEUR à zéro et inférieur au zéro système. Je n' ai jamais parlé de prédécésseurs au zéro.

Système analogique :
Le disque vinyl. Le signal "son" y est gravé sous forme d' un relief dans le sillon.
relief => son
pas de relief => pas de son
Pas de relief = pas de signal
Toi y en a comprendre ?
Dans un système analogique, il n' y a pas de code, il n' y a pas besoin de calculateur, microprocesseur. Le relief du sillon fait vibrer le saphir qui par le biais d' un micro-bobinage génère un signal électronique. Pour passer du signal relief au signal électronique, on laisse les lois physiques agir; le réel agir.

Systèmes numériques:
Il y a un code, une convention. A une grandeur donnée, on associe une valeur numérique, un nombre, selon la convention. Le système numérique discrétise le réel, le signal. C' est à dire qu' il le découpe en tout petit morceaux. Et chaque morceau est considéré comme homogène. Exemple: prenons une image numérique et agrandissons la. Au bout d' un moment on voit les pixels et vous voyez bien que le pixel est homogène, il n' y a pas de détails à l' intérieur du pixel. Maintenant une image analogique, par exemple une préparation sur lame pour microscope. Prenons un microscope qui peut agrandir indéfiniment, on continu a voir des détails là où on ne voyait que des pixels homogènes dans le système numérique. Cécité numérique, le système numérique ne voit rien de plus petit que le pixel. Le microscope si, si on continu d' agrandir et on voit des détails que le système numérique ne peut pas voir.
L' image numérique n' est qu' un fichier, on peut très bien la visualer comme un fichier de codes ACII. Et le programme et le microprocesseur doivent recalculer les codes pour visualiser l' image. Le microscope, lui, ne calcule rien. Il a été assemblé de telle façon qu' en laissant les lois physiques agir on puisse voir l' image microscopique invisible à l' oeuil.

Les nombres : pour définir ce qu' est un nombre, il ne faut pas employer le mot "nombre" dans la définition. Ni un mot dans la définition duquel il y a le mot "nombre", comme cardinal ou ordinal.
Je ne sais pas quelle est la définition d' un nombre et je crois que personne ne le sait.

A présent, N, Q et R :
il existe une bijection entre N et Q.
Pas entre Q et R.

Il y a deux propriétés de Q que je n' arrive pas à intégrer :
- Q est un ensemble discret et pourtant on peut toujours trouvé un rationnel entre 2 autres, et ce de manière infinie
- Q est dense dans R. Je ne sais plus ce que ça veut dire.

Il est 1h00 du mat. Alors faites de beaux rèves.

[invité576543]

Bonjour,

Vous m' avez bien embrouillé avec toutes vos remarques précises et bien réflèchies.

Continuons

La notion de limites nous a montré que 1/infini=0 et que 1/0=infini . Donc zéro et infini sont l' inverse l' un de l' autre par rapport à la multiplication. (zéro x infini) ça peut très bien faire "1" si on veut, puisque ça peut faire n' importe quoi.

Soit. Mais alors, on peut montrer que, si on veut zéro x infini = 1, alors 1=2. On se retrouve avec un système si-on-veut où tout est vrai et tout est faux. Si on veut, on peut travailler avec un tel système, mais les résultats n'en sont, comment dire, pas très utiles...

Au passage, je crois que les mathématiciens ne savent même pas si zéro est paire ou non.

Dans le système si-on-veut, comme 1=2, on ne sait même pas si 2 est pair! Dans le système usuel des mathématiciens, 0 est pair sans ambiguïté.

Système analogique :
Le disque vinyl. Le signal "son" y est gravé sous forme d' un relief dans le sillon.
relief => son
pas de relief => pas de son
Pas de relief = pas de signal
Toi y en a comprendre ?

Dans un système analogique, il n' y a pas de code

Faut se limiter au 78T, et encore... En microsillon stéréo il est clair qu'il y a une convention, ne serait-ce que pour définir la droite et la gauche. Ensuite, le signal enregistré n'est pas exactement le signal reproduit: il y a une pré-accentuation, selon une courbe qui est conventionnelle (et donc objet d'un standard, RIAA de son petit nom). Conventions, toujours des conventions, ...

Et chaque morceau est considéré comme homogène.

C'est une vision simpliste de la notion d'échantillonnage, l'une des deux discrétisations (l'autre est la quantification, le codage d'un nombre réel par un rationnel).

Exemple: prenons une image numérique et agrandissons la. Au bout d' un moment on voit les pixels et vous voyez bien que le pixel est homogène

Ca c'est un choix. Un choix de manière de restituer l'image, un choix dans la conversion représentation numérique -> représentation analogique de l'image. La théorie montre que ce n'est pas le choix "normal", c'est simplement une manière simple de faire les choses!

Quitte à embrouiller, la théorie dans le domaine montre que la restitution correcte est un pixel non homogène, en "cosinus surélevé". C'est ce qui est fait (approximativement) par exemple dans la restitution du son d'un CD.

Maintenant une image analogique, par exemple une préparation sur lame pour microscope. Prenons un microscope qui peut agrandir indéfiniment, on continu a voir des détails là où on ne voyait que des pixels homogènes dans le système numérique.

Incorrect. Il y a dans tout microscope une limitation "analogique": a partir d'un certain agrandissement, il n'y a plus de nouveaux détails. Dans le cas d'un microscope optique, c'est la longueur d'onde de la lumière qui donne l'ordre de grandeur des détails les plus fins. Si on échantillonne avec un pas plus fin que la longueur d'onde, alors la théorie montre que l'information analogique et l'information échantillonnée est identique. Autrement dit, si une image échantillonnée est restituée avec un "cosinus surélevé" on verra les mêmes détails en "agrandissant indéfiniment" qu'en procédant sur l'image analogique.

Cécité numérique, le système numérique ne voit rien de plus petit que le pixel. Le microscope si, si on continu d' agrandir et on voit des détails que le système numérique ne peut pas voir.

Incorrect.

L' image numérique n' est qu' un fichier, on peut très bien la visualer comme un fichier de codes ACII. Et le programme et le microprocesseur doivent recalculer les codes pour visualiser l' image. Le microscope, lui, ne calcule rien. Il a été assemblé de telle façon qu' en laissant les lois physiques agir on puisse voir l' image microscopique invisible à l' oeuil.

Dès que l'on veut transmettre ou stocker l'information, on perd cette "perception directe". Le problème n'est pas tant analogique vs. numérique que ce transport (dans le temps et dans l'espace) de l'information. C'est ce transport qui oblige de procéder à une représentation, une re-présentation, une présentation de nouveau de l'information.

Je ne sais pas quelle est la définition d' un nombre et je crois que personne ne le sait.

Cela dépend beaucoup de ce que l'on appelle "définition". La construction mathématique des ordinaux et des cardinaux peut être une définition admissible des nombres (et ce sont deux définitions distinctes, d'ailleurs). En fait, il faudrait peut-être d'abord définir le mot "définition".

- Q est dense dans R. Je ne sais plus ce que ça veut dire.

Que l'on peut trouver un rationnel aussi près que l'on veut de n'importe quel réel, par exemple.

Cordialement,

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Et nous avons une très bonne réponse argumentée de mmy !

Cela dit, Petithassane n'a pas complètement tort: à force de jongler avec des concepts hyper-abstraits on en oublie (trop) facilement les notions "intuitives" de base, celles justement dont l'analyse a fini par conduire à l'abstraction...

La "cécité numérique" c'est pas faux: tant que le taux d'échantillonnage est insuffisant il y a plus d'information dans le signal analogique que dans le signal numérique... Après si on échantillonne un signal audio à 192kHz on n'entend plus la différence.

Et 1/0 = infini ou 0 x infini = 1 ce n'est pas du "si-on-veut": en Analyse Non Standard on manipule couramment des entiers "illimités" (pas "infinis"). Et alors 1/0 est un tel entier, comme 2/0, et ils sont d'ailleurs distincts, d'où il ne résulte pas que 1=2... d'ailleurs on n'utilise pas des notations telles que 1/0 parce qu'elles ne veulent rien dire et ne font qu'enduire le lecteur d'erreur!

Bonne continuation,

-- françois

[invité576543]

La "cécité numérique" c'est pas faux: tant que le taux d'échantillonnage est insuffisant il y a plus d'information dans le signal analogique que dans le signal numérique... Après si on échantillonne un signal audio à 192kHz on n'entend plus la différence.

Faut pas confondre numérique et perte volontaire d'information.

Détail amusant, la fondamentale d'une voix mâle est de l'ordre de 100 Hz. Les téléphones analogiques passaient (et passent encore souvent) seulement la bande de 300-3400 Hz! Trouver l'erreur... Doit-on parler alors de "surdité analogique"...

Cordialement,

[invite6de5f0ac]

Faut pas confondre numérique et perte volontaire d'information.

Tant que c'est volontaire... Mais je connais beaucoup d'ingénieurs qui sont persuadés qu'un signal numérisé est une représentation fidèle de l'original. Et qui se contentent d'augmenter la fréquence d'échantillonnage quand ça ne marche pas bien ! (ou devrais-je plutôt ? )

Cordialement,

-- françois

[invité576543]

Tant que c'est volontaire... Mais je connais beaucoup d'ingénieurs qui sont persuadés qu'un signal numérisé est une représentation fidèle de l'original. Et qui se contentent d'augmenter la fréquence d'échantillonnage quand ça ne marche pas bien ! (ou devrais-je plutôt ? )

Une application (en remplaçant fréquence d'échantillonage par dynamique, l'autre axe de discrétisation) que je viens juste de lire. Les enregistrements de disques au temps de l'analogique étaient meilleurs parce que les ingénieurs du son avaient conscience de la faible dynamique du médium, et "corrigeaient" savamment l'enregistrement pour que le rendu soit optimal malgré la perte.

Avec les CD la dynamique est plus grande, alors ils se fichent de corriger...

Malheureusement la dynamique de restitution dans un appartement usuel (tout le monde n'a pas une salle super isolée phoniquement) est plutôt celle des disques vinyles que des CD.

Moralité, la perte volontaire et maîtrisée d'information analogique donne un meilleur résultat que le numérique avec sa grande dynamique...

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Je comprend pourquoi les hommes ont mis du temps à écrire le zéro.

Est ce que ça vous inspire quelque chose ?

Je lance ça un peu au hasard : c'est peut-être la raison pour laquelle on a introduit le concept d'ensemble vide ?

Le 0 serait représenté par l'ensemble vide

Le 1 serait représenté par , c'est-à-dire l'ensemble contenant pour seul élément l'ensemble vide

Le 2 serait représenté par l'ensemble , c'est-à-dire l'ensemble contenant deux éléments : l'ensemble vide et l'ensemble contenant comme seul élément l'ensemble vide

Etc...

Le zéro est alors associé au seul ensemble ne contenant aucun élément.

Ceci m'est inspiré par une lecture (lointaine dans le passé) de Bourbaki.


Amicalement

[invité576543]

Le 0 serait représenté par l'ensemble vide

Le 1 serait représenté par , c'est-à-dire l'ensemble contenant pour seul élément l'ensemble vide

Le 2 serait représenté par l'ensemble , c'est-à-dire l'ensemble contenant deux éléments : l'ensemble vide et l'ensemble contenant comme seul élément l'ensemble vide

C'est la construction, maintenant classique, des ordinaux à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Des développements sont faciles à trouver sur le net en cherchant ordinal.

Cordialement,