Constante de Planck

[invite7399a8aa]

Bonjours,
Voici la traduction de la partie à laquelle je me réfère dans mes messages. J'ai essayé d'être le moins mauvais possible. En tout cas les équations sont copiées justes je crois.

4èmme publication Schrödinger.


§ 1. Elimination du paramètre d’énergie de l’équation d’oscillation. L’équation des ondes proprement dite. Systèmes non conservatifs

Je vais traduire ici la partie importante de l’article auquel je me réfère, c.a.d: Elimination du paramètre d’énergie de l’équation d’oscillation.

L’équation des ondes (18) ou (18’), page 510 deuxième publication


(1)

Ou

1')


Qui est l’élément fondamental sur lequel repose notre essai d’asseoir la mécanique sur de nouvelles bases, souffre de l’inconvénient de ne pas donner la loi de variation du << scalaire mécanique de champ psi>> sous une forme unitaire et générale.
L’équation (1) contient l’énergie ou un paramètre de fréquence E, elle est seulement valable pour une certaine valeur E donnée de ce paramètre, pour des phénomènes qui dépendent du temps au travers d’un facteur périodique de forme bien déterminé.


(2) comme indiqué ailleurs.

L’équation (1) est de ce fait pas plus générale que l’équation (1’), qui tient compte de cette dépendance et ne contient plus le temps.
Si nous avons nommée l’équation (1) ou (1’) équation des ondes, ceci est un tord, ce serai plus juste de les appeler équation d’oscillation ou équation aux amplitudes.
Tout de même, elle nous a suffi pour résoudre le problème posé, parce que c’est cette équation qui intervient dans le problème des valeurs propres de l’équation de Sturm Liouville tout comme dans les problèmes mathématiques analogues des vibrations des cordes ou des membranes.
Jusqu’à présent nous avons toujours présupposé que l’énergie potentielle V était une seule fonction des coordonnées et ne dépendait pas du temps de façon explicite. Il apparaît un besoin urgent d’étendre la théorie vers les systèmes non conservatifs, car c’est seulement de cette façon que l’on pourra étudier le comportement des systèmes, sous l’influence de forces extérieures comme par exemple une onde lumineuse ou un atome extérieur passant dans le voisinage.
Dès lors que V contient le temps de façon explicite, il devient impossible de satisfaire l’équation (1) ou (1’) en prenant une fonction psi de la forme (2) qui ne dépend que du temps. On ne trouve plus avec l’équation des amplitudes les conditions suffisantes, il faut alors faire appel à l’équation des ondes proprement dite.
Pour des systèmes conservatifs, cette équation se forme facilement. (2) est alors équivalent à


(3)



De (1’) et (3), on élimine E par dérivation et l’on obtient l’écriture symbolique suivante, facilement compréhensible.



(4)




Cette équation doit vérifier tout psi, lequel selon (2) avec des valeurs arbitraire de E, dépend du temps. Elle devra également satisfaire tout psi développable en série de Fourier dont les coefficients sont des fonctions des coordonnées. L’équation (4) est sans aucun doute l’équation unique et générale qui satisfait au scalaire de champ psi.
Elle n’est plus comme on le constate du même type que celles qui apparaissent lors de l’étude des membranes vibrantes. Elle est d’ordre quatre par rapport aux coordonnées, sa forme est analogue aux types d’équations que l’on rencontre dans beaucoup de problèmes d’élasticité. Il n’y a pas à redouter une complication excessive de la théorie ni à réviser les méthodes d’étude de l’équation (1’)
Si V ne contient pas le temps, on peut, partant de (4), poser (2) puis séparer l’opérateur de (4) de la façon suivante :



(4’)



On peut décomposer cette équation en deux autres puis imposer à psi de satisfaire à l’une ou à l’autre. L’une serait identique à (1’), l’autre serait peu différente. Le paramètre d’énergie serait –E dans l’une, +E dans l’autre. Ce qui selon (2) ne conduit pas à des solutions nouvelles.
La séparation de (4’) ne s’impose d’aucune façon, car le théorème selon lequel un produit ne peut être égal à zéro que si l’un au moins des facteurs est nul, ne s’applique pas pour des opérateurs.

« Suit une série de considérations sur l’intégration d’équations différentielles aux dérivées partielles. Cela n’apporte rien à l’affaire qui nous occupe ».

Puis,

Il n’est pas nécessaire de pousser à l’ordre 4 l’équation des ondes pour éliminer le paramètre E de l’énergie. Pour la validité de (1’), psi devrait dépendre du temps selon (3) qui peut aussi s’écrire comme suit :


(3’)


Ceci conduit alors vers l’une des deux équations suivantes :



(4’’)


Nous demanderons que la fonction d’onde complexe satisfasse à l’une de ces deux équations. Lorsque psi est une solution, la fonction psi étoile, complexe conjuguée sera solution de l'autre équation.

Fin de citation.

[ClairEsprit]

Merci beaucoup.
Pour alimenter la discussion, j'ai trouvé ceci. Je n'ai pas la connaissance suffisante pour en estimer la portée mais cela me semble tout à fait pertinent dans le cadre du débat.

[invite7399a8aa]

Tout à fait tu pourras remarquer que quelques équations de bébut de ce papier sont aussi celles que j'ai mentionné.

[chaverondier]

(j'ai enlevé le terme en facteur qui était incorrect) est l'équation caractéristique d'un oscillateur harmonique, avec pulsation mécanique, et pulsation du champ électromagnétique. Toujours sous toutes réserves et dans l'hypothèse où ce point de vue est défendable, la MQ pourrait bénéficier d'un éclairage nouveau.

En fait, dans une lecture un peu plus attentive, en considérant des signaux spatialement périodiques de nombre d'onde k, on s'aperçoit que l’espace des solutions de cette équation contient toutes les combinaisons linéaires de fonctions périodiques de la forme



Avec Où et donc quelque chose qui, de prime abord, me semble très classique. Où voulez vous en venir ?

Bernard Chaverondier

[A voir en vidéo sur Futura]

[ClairEsprit]

En attendant la réponse de Ludwig aux demandes d'éclaircissement de Mr Chaverondier, j'ai trouvé cet autre lien très intéressant avec plus de contenu physique, qui cherche lui aussi à apporter un éclairage nouveau sur ces vieux problèmes, en démontrant les équations de Schrödinger dépendant du temps et de Klein Gordon par l'utilisation d'une formulation lagrangienne sans valeur complexe. J'aime beaucoup la démarche : partir de postulats ou principes de base, utiliser des techniques de calcul ayant un fondement physique sous-jacent, et démontrer des formules fondamentales dans la foulée. L'auteur semble également retrouver les inégalités d'Heisenberg. Par opposition, essayez de trouver un sens physique à ce genre de démonstration

[invite7399a8aa]

Avant de répondre à Bernard Chaverondier, je souhaiterai revenir sur mes fautes de calculs que j'ai bien du mal à trouver je dois l’avouer.


Voici les détails des calculs, il semblerait si j’ai bien compris, que l’erreur serait dans le passage de (0.2) à (0.3).
J’ai testé ce passage avec Mathématica, le résultat est en accord avec mes calculs. Mais je dois dire que j’éprouve toujours une certaine méfiance envers les logiciels.

Je reprend donc ces calculs.

Selon Schrödinger équation (4) pour une particule de masse m




(0.1)


Prenant la TL de cette équation on obtient

(0.2)

Divisant tous les termes par on obtient:



Puis

(0.3)

Sauf erreur de ma part, il me semble que le terme peut également s’écrire comme suit :


(0.4) avec


Dans ces conditions, l’équation (0.3) devient :


(0.5)

Et pour finir:



Finalement je me rends compte que j'avais oublié le terme alpha carré

[chaverondier]

Selon Schrödinger équation (4) pour une particule de masse m :



Prenant la Transformée de Laplace de cette équation on obtient

Non. On obtient



Divisant tous les termes par on obtient bien

avec et

En considérant psi(k, s), la transformée de Fourier spatialement et de Laplace temporellement ( plutôt que psi(r,s) uniquement transformée de Laplace en temps) la transformée de Laplace en temps ci-dessus s'inverse immédiatement en



Où





Ce qui, en passant en transformée de Fourier spatiale inverse, donne bien pour une combinaison linéaire (une intégrale en fait) de termes en

Bernard Chaverondier

[invite7399a8aa]

J'ai regadé en diagonale les documents cités. Pour ma part, je préfère une approche fréquentielle du problème. Cette approche se pratiquant souvent pour pas dire systèmatiquement lors de l'étude du comportement dynamique des systèmes physiques. Cette approche s'est dévelopée de façon intensive à partir des années 50 il me semble. C'est donc assez récent. En fait, il me semble qu'il ne serait pas forcément stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger par ce biais. Bernard Chaverondier dans son dernier post met bien en avant tout comme moi un terme
se trouvant au dénominateur.
Ce terme, vu du point de vue de l'approche fréquentielle, représente l'équation caractéristique du système étudié. La ou les solutions de cette équation caractéristique égallées à zéro, seront les pôles du système étudié. Ces solutions imposent la réponse libre ainsi que la réponse forcée du système.
Maintenant que l'hypothèque de ma grossière faute de calcul est levée, je sollicite un peu de temps pour écrire ma réponse détaillée.

[ClairEsprit]

En fait, il me semble qu'il ne serait pas forcément stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger par ce biais.

Il n'est pas stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger... quel que soit le biais, me semble-t-il ! En fait, je ne saisis pas bien le sens de ta démarche. Où veux-tu en venir ? Cherches-tu à redémontrer l'équation de Schrödinger par un autre biais, pour bénéficier d'un autre éclairage ? Cherches-tu plutôt une autre équation ?

A la lumière des documents que j'ai cités, si on peut leur faire confiance, il semble que :
- Selon Fushchych , l'équation (4) que tu as écrite un peu plus haut ne peut pas être une équation du mouvement car elle n'est pas invariante sous l'action du groupe de Galilée (principe de relativité). Seule l'équation de Schrödinger que tout le monde connaît et manipule respecterait l'invariance sous action du groupe de Galilée. Cela ne semble donc pas avoir de sens de partir de l'équation (4) comme base pour tirer une équation du mouvement.
- Selon Kleinert il existe un chemin pour redémontrer l'équation de Schrödinger (même si je n'ai rien compris), elle a donc bien une légitimité (outre celle que les milliers d'observations ont apporté)
- Selon Grössing , il existe encore un autre chemin pour redémontrer l'équation de Schrödinger.

Que pensez-vous d'ailleurs de la démarche de Grössing ? Cela a-t-il un sens de postuler des fluctuations de la quantité de mouvement d'une particule d'énergie E autour d'une quantité de mouvement classique et de l'attribuer à une sorte d'énergie du vide (si j'ai bien compris) contribuant pour HbarW/2 par dimension spatiale ? Cela seul plus les correspondances classiques de quantification p=HbarK et E=HbarW suffit à démontrer l'équation de Schrödinger par un principe variationnel. N'est-ce pas élégant ?

[invite7399a8aa]

Il n'est pas stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger... quel que soit le biais, me semble-t-il ! En fait, je ne saisis pas bien le sens de ta démarche. Où veux-tu en venir ? Cherches-tu à redémontrer l'équation de Schrödinger par un autre biais, pour bénéficier d'un autre éclairage ? Cherches-tu plutôt une autre équation ?

Le temps me manque pour répondre à toutes tes questions de façon plus détaillée (dans la mesure ou j'ai une réponse à proposer évidement). Je reviendrai sur ce post car les points soulevés sont extrèmement intéressant.
D'abord pour tes questions à propos de l'équation de Schrödinger.
Dans la traduction que j'ai posté, tu dois trouver tout à la fin me semble t'il l'équation (4") telle qu'elle est écrite, elle est, me semble t'il non homogème en dimensions. Schrödinger y fait allusion, ceci est voulu, car de cette façon on procure une sorte de gabarit dans lequel on peut insèrer le système à étudier.
Pour former l'équation de Schrödinger pour une particule de masse m, il faut introduire cette particule dans l'équation (4"). Mais si tu regardes bien l'équation (0.1) tu pourrras remarquer qu'en éliminent le carré de certains termes tu retrouves bien (4") pour une particule de masse m. Si en plus tu fais passer à la trape une des solutions complexes conjuguées, il doit te resteras me semble t'il l'équation de Schrödinger tel que tout le monde la pratique. ( Tout cela sauf erreur de ma part évidement)
Dans la mesure ou mes propos se vérifient, il faudra bien se poser les questions suivantes:

1) Est-il licite de faire passer à la trape la moitié de la solution d'une équation? ( ici je fait remarquer que Schrödinger ne l'a pas fait )

2) Du point de vu de la physique, ayant supprimé une des deux solutions complexes conjuguées, y a t'il ou non perte d'information sur le système étudié?

Ou je veux en venir?

Comme déja dit, essayer de montrer que l'approche fréquentielle pourrai peut-être apporter quelques informations suplémentaires, lesquelles informations pourrais alors contribuer à mieux cerner l'affaire. Si tant est qu'on puisse bien la cerner.

[chaverondier]

Il n'est pas stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger... quel que soit le biais, me semble-t-il ! En fait, je ne saisis pas bien le sens de ta démarche [celle de Ludwig]. Où veux-tu en venir ? - Selon Fushchych, l'équation (4) que tu as écrite un peu plus haut ne peut pas être une équation du mouvement car elle n'est pas invariante sous l'action du groupe de Galilée (principe de relativité). Seule l'équation de Schrödinger que tout le monde connaît et manipule respecterait l'invariance sous action du groupe de Galilée. Cela ne semble donc pas avoir de sens de partir de l'équation (4) comme base pour tirer une équation du mouvement.

Votre remarque me semble justifiée et me semble pouvoir être complétée de la façon suivante

L'équation (4) n'est pas invariante Galiléenne car
* on n'a pas encore abandonné l'une des deux solutions de cette équation du second ordre en temps (abandon consistant à incorporer dans le modèle dynamique le choix d'un sens d'écoulement du temps correspondant à notre flèche du temps macroscopique)
* on y a pas remplacé l'énergie cinétique de la particule de masse m par son approximation Galiléenne E = p^2/(2m).

Si l'on veut passer de l'équation exacte (4) à l'équation de Schrödinger (qui est une version Galiléenne donc approchée de (4)) on est bien obligé de passer par ces hypothèses Galiléennes simplificatrices. Il n'est donc pas possible de faire à l'équation de Schrödinger le reproche de découler d'hypothèses cohérentes avec le cadre géométrique de modélisation dans lequel elle se place intentionnellement. Il faut donc savoir de quoi on veut discuter exactement.

S'il s'agit d'une discussion centrée

* sur la dualité onde corpuscule contenue dans la formulation purement ondulatoire reliée à la constante de Planck h via les relations de De Broglie et pour une "particule" libre possédant une raie spectrale fine
- où elle donne alors lieu à des échanges d'énergie et d'impulsion quantifiés lors de processus d'interaction,
- où cette onde parvient à se faire passer pour un corpuscule ponctuel quand, lors d'une interaction (émission, absorption ou effet Compton) elle se manifeste de façon localisée dans sa représentation en espace,
- où l'énergie vaut seulement si l'on adopte l'approximation Galiléenne (approximation de l'invariance relativiste de la pseudo-norme du quadri-vecteur énergie-impulsion )
- où la vitesse de la "particule" est en réalité la vitesse de groupe d'une onde.

* sur le caractère intrinsèquement time symmetric de l'équation (4) à cause d'une dérivation temporelle d'ordre deux)

* sur le fait que l'abandon des solutions à énergie négative remontant le temps est une projection de notre vision d'observateur macroscopique à un niveau où cette vision n'est peut-être pas applicable,

* sur le cadre théorique dans lequel doit émerger une flèche quantique du temps modélisant le caractère irréversible de la réduction du paquet d'onde (ou encore des phénomènes de fusion ou désintégration) puisqu'on ne trouve ni irréversibilité, ni flèche du temps, dans l'équation de départ (4),

alors, il ne faut pas se placer dans le cadre géométrique de l'invariance Galiléenne. Le passage de l'étude de l'équation de Schrödinger (invariante Galiléenne) à l'étude de l'équation de Klein Gordon, puis à celle de Dirac (toutes deux invariantes relativiste) me semble inéluctable.

C'est en effet nécessaire pour se situer dans un cadre géométrique approprié à l'étude de l'équation (4) c'est à dire s'appuyant sur les symétries du groupe de Poincaré (où en particulier la masse est un cas particulier du concept d'énergie et n'apparaît naturellement que comme invariant relativiste sous la forme de son produit par c^2) [1].

Selon Grössing, il existe un autre chemin pour redémontrer l'équation de Schrödinger.
Que pensez-vous d'ailleurs de sa démarche ? Cela a-t-il un sens de postuler des fluctuations de la quantité de mouvement d'une particule d'énergie E autour d'une quantité de mouvement classique et de l'attribuer à une sorte d'énergie du vide (si j'ai bien compris) contribuant pour HbarW/2 par dimension spatiale ? Cela seul plus les correspondances classiques de quantification p=HbarK et E=HbarW suffit à démontrer l'équation de Schrödinger par un principe variationnel. N'est-ce pas élégant ?

Pour l'instant je n'ai pas d'opinion. Je continue à lire cette étude. En tout cas, bien qu'il ne s'agisse pas d'une idée nouvelle (peu importe. Les idées originales sont rarement les meilleures) l'hypothèse d'interaction avec un milieu soumis à des fluctuations incontrolables me semble intéressante en elle-même indépendemment de toute autre considération spécifique à cette étude.

Bernard Chaverondier

[1] Au contraire, l'invariance Galiléenne de l'équation de Schrödinger situe cette équation dans le cadre des symétries du groupe de Bargmann. En particulier, la masse y possède une interprétation géométrique Galiléenne (incompatible avec l'objectif de la présente discussion). Dans l'approche Galiléenne, la masse apparaît séparément de la notion d'énergie et possède la nature géométrique d'une cohomologie simplectique, cf Structure of Dynamical Systems, Jean Marie Souriau, éditions Birkhäuser,
* § 11 Dynamical groups, the cohomology of a dynamical group, the cohomology of a Lie group, the cohomology of a Lie algebra,
* § 12 The geometrical structure of classical mechanics, Galilean moments (12.131) "the dimension of the symplectic cohomology space of the Galilei group is 1. In other words, every symplectic cocycle is obtained from the cocycle (12.137) by the formula

Where is a torsor and m is a number representing the cohomology class of . Its derivative f at a=1 is "

[ClairEsprit]

Votre remarque me semble justifiée et me semble pouvoir être complétée de la façon suivante

Effectivement, aveuglé par l'étude de Grössing j'en avais oublié que l'invariance Galiléenne plaçait l'étude quantique dans un cadre classique (non relativiste). Mais cela n'implique évidemment pas que l'étude de l'équation (4) ne puisse aboutir à une équation du mouvement, seulement que cette étude doit se faire dans un cadre relativiste, pour peu que les hypothèses simplificatrices n'aient pas eu lieu antérieurement. Vous avez eu suffisamment de tact pour ne pas me faire remarquer cette erreur d'interprétation.
Doit-on comprendre que l'équation (4) doit alors naturellement aboutir aux équations de Klein-Gordon (spin 0) et de Dirac (spin 1/2), et que son abandon délibéré de la part de Schrödinger au profit de l'équation qui porte son nom tient au fait qu'il n'a pas pu en poursuivre l'étude relativiste ? Ce que je n'ai pas bien vu dans la traduction de Ludwig, c'est si les hypothèses simplificatrices sont antérieures ou postérieures à l'établissement de l'équation (4). En d'autres termes, je me demande si il est possible de partir de l'équation (4) pour aboutir à l'équation de Klein Gordon puis de Dirac, mais peut-être n'est-ce pas là où veut nous emmener Ludwig.

[invite7399a8aa]

En attendant la réponse de Ludwig aux demandes d'éclaircissement de Mr Chaverondier, j'ai trouvé cet autre lien très intéressant avec plus de contenu physique, qui cherche lui aussi à apporter un éclairage nouveau sur ces vieux problèmes, en démontrant les équations de Schrödinger dépendant du temps et de Klein Gordon par l'utilisation d'une formulation lagrangienne sans valeur complexe. J'aime beaucoup la démarche : partir de postulats ou principes de base, utiliser des techniques de calcul ayant un fondement physique sous-jacent, et démontrer des formules fondamentales dans la foulée. L'auteur semble également retrouver les inégalités d'Heisenberg. Par opposition, essayez de trouver un sens physique à ce genre de démonstration

Mon post n° 40 est une réponse à ce Message
Sorry je crois que fe ne suis pas bien réveillé ce matin

[invite7a0e10e1]

Afin d'éclairer ma lanterne, quelqu'un pourait'il m'expliquer ce que signifie la constante de Planck

Planck - initiations à la physique : chapitre IV, la genése et l'évolution de la théorie des quanta.

La constante de planck à une valeur 6,54X10puissance -27 ergs par seconde, cette absolu (grandeur absolu) est une unité de mesure effectivement invariable au moyen de laquelle on peut exprimer par un nombre, sans faire appel a aucune convention, la grandeur de l'action contenue dans un élément spatio-temporel donné.

"La constante de planck permet donc de terminer une action dans le temps"