Je vais faire une traduction de l'article de Schrödinger. Il faut juste me laisser un peu de temps. Il est tout à fait exact que pour suivre le fil de la discussion il serait bon d'avoir sous les yeux ce papier.Envoyé par ClairEsprit
Je te remerci pour ta remarque.
En fait c'est par là que j'aurai du commencer.
Toutes mes excuses.
Bonjours,
Voici la traduction de la partie à laquelle je me réfère dans mes messages. J'ai essayé d'être le moins mauvais possible. En tout cas les équations sont copiées justes je crois.
4èmme publication Schrödinger.
§ 1. Elimination du paramètre d’énergie de l’équation d’oscillation. L’équation des ondes proprement dite. Systèmes non conservatifs
Je vais traduire ici la partie importante de l’article auquel je me réfère, c.a.d: Elimination du paramètre d’énergie de l’équation d’oscillation.
L’équation des ondes (18) ou (18’), page 510 deuxième publication
(1)
Ou
1')
Qui est l’élément fondamental sur lequel repose notre essai d’asseoir la mécanique sur de nouvelles bases, souffre de l’inconvénient de ne pas donner la loi de variation du << scalaire mécanique de champ psi>> sous une forme unitaire et générale.
L’équation (1) contient l’énergie ou un paramètre de fréquence E, elle est seulement valable pour une certaine valeur E donnée de ce paramètre, pour des phénomènes qui dépendent du temps au travers d’un facteur périodique de forme bien déterminé.
(2)comme indiqué ailleurs.
L’équation (1) est de ce fait pas plus générale que l’équation (1’), qui tient compte de cette dépendance et ne contient plus le temps.
Si nous avons nommée l’équation (1) ou (1’) équation des ondes, ceci est un tord, ce serai plus juste de les appeler équation d’oscillation ou équation aux amplitudes.
Tout de même, elle nous a suffi pour résoudre le problème posé, parce que c’est cette équation qui intervient dans le problème des valeurs propres de l’équation de Sturm Liouville tout comme dans les problèmes mathématiques analogues des vibrations des cordes ou des membranes.
Jusqu’à présent nous avons toujours présupposé que l’énergie potentielle V était une seule fonction des coordonnées et ne dépendait pas du temps de façon explicite. Il apparaît un besoin urgent d’étendre la théorie vers les systèmes non conservatifs, car c’est seulement de cette façon que l’on pourra étudier le comportement des systèmes, sous l’influence de forces extérieures comme par exemple une onde lumineuse ou un atome extérieur passant dans le voisinage.
Dès lors que V contient le temps de façon explicite, il devient impossible de satisfaire l’équation (1) ou (1’) en prenant une fonction psi de la forme (2) qui ne dépend que du temps. On ne trouve plus avec l’équation des amplitudes les conditions suffisantes, il faut alors faire appel à l’équation des ondes proprement dite.
Pour des systèmes conservatifs, cette équation se forme facilement. (2) est alors équivalent à
(3)
De (1’) et (3), on élimine E par dérivation et l’on obtient l’écriture symbolique suivante, facilement compréhensible.
(4)
Cette équation doit vérifier tout psi, lequel selon (2) avec des valeurs arbitraire de E, dépend du temps. Elle devra également satisfaire tout psi développable en série de Fourier dont les coefficients sont des fonctions des coordonnées. L’équation (4) est sans aucun doute l’équation unique et générale qui satisfait au scalaire de champ psi.
Elle n’est plus comme on le constate du même type que celles qui apparaissent lors de l’étude des membranes vibrantes. Elle est d’ordre quatre par rapport aux coordonnées, sa forme est analogue aux types d’équations que l’on rencontre dans beaucoup de problèmes d’élasticité. Il n’y a pas à redouter une complication excessive de la théorie ni à réviser les méthodes d’étude de l’équation (1’)
Si V ne contient pas le temps, on peut, partant de (4), poser (2) puis séparer l’opérateur de (4) de la façon suivante :
(4’)
On peut décomposer cette équation en deux autres puis imposer à psi de satisfaire à l’une ou à l’autre. L’une serait identique à (1’), l’autre serait peu différente. Le paramètre d’énergie serait –E dans l’une, +E dans l’autre. Ce qui selon (2) ne conduit pas à des solutions nouvelles.
La séparation de (4’) ne s’impose d’aucune façon, car le théorème selon lequel un produit ne peut être égal à zéro que si l’un au moins des facteurs est nul, ne s’applique pas pour des opérateurs.
« Suit une série de considérations sur l’intégration d’équations différentielles aux dérivées partielles. Cela n’apporte rien à l’affaire qui nous occupe ».
Puis,
Il n’est pas nécessaire de pousser à l’ordre 4 l’équation des ondes pour éliminer le paramètre E de l’énergie. Pour la validité de (1’), psi devrait dépendre du temps selon (3) qui peut aussi s’écrire comme suit :
(3’)
Ceci conduit alors vers l’une des deux équations suivantes :
(4’’)
Nous demanderons que la fonction d’onde complexe satisfasse à l’une de ces deux équations. Lorsque psi est une solution, la fonction psi étoile, complexe conjuguée sera solution de l'autre équation.
Fin de citation.
Merci beaucoup.
Pour alimenter la discussion, j'ai trouvé ceci. Je n'ai pas la connaissance suffisante pour en estimer la portée mais cela me semble tout à fait pertinent dans le cadre du débat.
Tout à fait tu pourras remarquer que quelques équations de bébut de ce papier sont aussi celles que j'ai mentionné.
En fait, dans une lecture un peu plus attentive, en considérant des signaux spatialement périodiques de nombre d'onde k, on s'aperçoit que l’espace des solutions de cette équation contient toutes les combinaisons linéaires de fonctions périodiques de la forme
(j'ai enlevé le terme
Avec
Bernard Chaverondier
En attendant la réponse de Ludwig aux demandes d'éclaircissement de Mr Chaverondier, j'ai trouvé cet autre lien très intéressant avec plus de contenu physique, qui cherche lui aussi à apporter un éclairage nouveau sur ces vieux problèmes, en démontrant les équations de Schrödinger dépendant du temps et de Klein Gordon par l'utilisation d'une formulation lagrangienne sans valeur complexe. J'aime beaucoup la démarche : partir de postulats ou principes de base, utiliser des techniques de calcul ayant un fondement physique sous-jacent, et démontrer des formules fondamentales dans la foulée. L'auteur semble également retrouver les inégalités d'Heisenberg. Par opposition, essayez de trouver un sens physique à ce genre de démonstration
Dernière modification par ClairEsprit ; 24/02/2005 à 11h00. Motif: Fautes...
Planck - initiations à la physique : chapitre IV, la genése et l'évolution de la théorie des quanta.
La constante de planck à une valeur 6,54X10puissance -27 ergs par seconde, cette absolu (grandeur absolu) est une unité de mesure effectivement invariable au moyen de laquelle on peut exprimer par un nombre, sans faire appel a aucune convention, la grandeur de l'action contenue dans un élément spatio-temporel donné.
"La constante de planck permet donc de terminer une action dans le temps"
Avant de répondre à Bernard Chaverondier, je souhaiterai revenir sur mes fautes de calculs que j'ai bien du mal à trouver je dois l’avouer.
Voici les détails des calculs, il semblerait si j’ai bien compris, que l’erreur serait dans le passage de (0.2) à (0.3).
J’ai testé ce passage avec Mathématica, le résultat est en accord avec mes calculs. Mais je dois dire que j’éprouve toujours une certaine méfiance envers les logiciels.
Je reprend donc ces calculs.
Selon Schrödinger équation (4) pour une particule de masse m
(0.1)
Prenant la TL de cette équation on obtient
(0.2)
Divisant tous les termes par
Puis
(0.3)
Sauf erreur de ma part, il me semble que le terme
(0.4)
Dans ces conditions, l’équation (0.3) devient :
(0.5)
Et pour finir:
Finalement je me rends compte que j'avais oublié le terme alpha carré
Non. On obtientSelon Schrödinger équation (4) pour une particule de masse m :
Prenant la Transformée de Laplace de cette équation on obtient
Divisant tous les termes par
En considérant psi(k, s), la transformée de Fourier spatialement et de Laplace temporellement ( plutôt que psi(r,s) uniquement transformée de Laplace en temps) la transformée de Laplace en temps ci-dessus s'inverse immédiatement en
Où
Ce qui, en passant en transformée de Fourier spatiale inverse, donne bien pour
Bernard Chaverondier
J'ai regadé en diagonale les documents cités. Pour ma part, je préfère une approche fréquentielle du problème. Cette approche se pratiquant souvent pour pas dire systèmatiquement lors de l'étude du comportement dynamique des systèmes physiques. Cette approche s'est dévelopée de façon intensive à partir des années 50 il me semble. C'est donc assez récent. En fait, il me semble qu'il ne serait pas forcément stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger par ce biais. Bernard Chaverondier dans son dernier post met bien en avant tout comme moi un terme
Ce terme, vu du point de vue de l'approche fréquentielle, représente l'équation caractéristique du système étudié. La ou les solutions de cette équation caractéristique égallées à zéro, seront les pôles du système étudié. Ces solutions imposent la réponse libre ainsi que la réponse forcée du système.
Maintenant que l'hypothèque de ma grossière faute de calcul est levée, je sollicite un peu de temps pour écrire ma réponse détaillée.
En attendant la réponse de Ludwig aux demandes d'éclaircissement de Mr Chaverondier, j'ai trouvé cet autre lien très intéressant avec plus de contenu physique, qui cherche lui aussi à apporter un éclairage nouveau sur ces vieux problèmes, en démontrant les équations de Schrödinger dépendant du temps et de Klein Gordon par l'utilisation d'une formulation lagrangienne sans valeur complexe. J'aime beaucoup la démarche : partir de postulats ou principes de base, utiliser des techniques de calcul ayant un fondement physique sous-jacent, et démontrer des formules fondamentales dans la foulée. L'auteur semble également retrouver les inégalités d'Heisenberg. Par opposition, essayez de trouver un sens physique à ce genre de démonstration
Mon post n° 40 est une réponse à ce Message
Sorry je crois que fe ne suis pas bien réveillé ce matin
Il n'est pas stupide de tenter d'approcher l'équation de Schrödinger... quel que soit le biais, me semble-t-il ! En fait, je ne saisis pas bien le sens de ta démarche. Où veux-tu en venir ? Cherches-tu à redémontrer l'équation de Schrödinger par un autre biais, pour bénéficier d'un autre éclairage ? Cherches-tu plutôt une autre équation ?
A la lumière des documents que j'ai cités, si on peut leur faire confiance, il semble que :
- Selon Fushchych , l'équation (4) que tu as écrite un peu plus haut ne peut pas être une équation du mouvement car elle n'est pas invariante sous l'action du groupe de Galilée (principe de relativité). Seule l'équation de Schrödinger que tout le monde connaît et manipule respecterait l'invariance sous action du groupe de Galilée. Cela ne semble donc pas avoir de sens de partir de l'équation (4) comme base pour tirer une équation du mouvement.
- Selon Kleinert il existe un chemin pour redémontrer l'équation de Schrödinger (même si je n'ai rien compris), elle a donc bien une légitimité (outre celle que les milliers d'observations ont apporté)
- Selon Grössing , il existe encore un autre chemin pour redémontrer l'équation de Schrödinger.
Que pensez-vous d'ailleurs de la démarche de Grössing ? Cela a-t-il un sens de postuler des fluctuations de la quantité de mouvement d'une particule d'énergie E autour d'une quantité de mouvement classique et de l'attribuer à une sorte d'énergie du vide (si j'ai bien compris) contribuant pour HbarW/2 par dimension spatiale ? Cela seul plus les correspondances classiques de quantification p=HbarK et E=HbarW suffit à démontrer l'équation de Schrödinger par un principe variationnel. N'est-ce pas élégant ?
Le temps me manque pour répondre à toutes tes questions de façon plus détaillée (dans la mesure ou j'ai une réponse à proposer évidement). Je reviendrai sur ce post car les points soulevés sont extrèmement intéressant.
D'abord pour tes questions à propos de l'équation de Schrödinger.
Dans la traduction que j'ai posté, tu dois trouver tout à la fin me semble t'il l'équation (4") telle qu'elle est écrite, elle est, me semble t'il non homogème en dimensions. Schrödinger y fait allusion, ceci est voulu, car de cette façon on procure une sorte de gabarit dans lequel on peut insèrer le système à étudier.
Pour former l'équation de Schrödinger pour une particule de masse m, il faut introduire cette particule dans l'équation (4"). Mais si tu regardes bien l'équation (0.1) tu pourrras remarquer qu'en éliminent le carré de certains termes tu retrouves bien (4") pour une particule de masse m. Si en plus tu fais passer à la trape une des solutions complexes conjuguées, il doit te resteras me semble t'il l'équation de Schrödinger tel que tout le monde la pratique. ( Tout cela sauf erreur de ma part évidement)
Dans la mesure ou mes propos se vérifient, il faudra bien se poser les questions suivantes:
1) Est-il licite de faire passer à la trape la moitié de la solution d'une équation? ( ici je fait remarquer que Schrödinger ne l'a pas fait )
2) Du point de vu de la physique, ayant supprimé une des deux solutions complexes conjuguées, y a t'il ou non perte d'information sur le système étudié?
Ou je veux en venir?
Comme déja dit, essayer de montrer que l'approche fréquentielle pourrai peut-être apporter quelques informations suplémentaires, lesquelles informations pourrais alors contribuer à mieux cerner l'affaire. Si tant est qu'on puisse bien la cerner.
Votre remarque me semble justifiée et me semble pouvoir être complétée de la façon suivante
L'équation (4) n'est pas invariante Galiléenne car
* on n'a pas encore abandonné l'une des deux solutions de cette équation du second ordre en temps (abandon consistant à incorporer dans le modèle dynamique le choix d'un sens d'écoulement du temps correspondant à notre flèche du temps macroscopique)
* on y a pas remplacé l'énergie cinétique de la particule de masse m par son approximation Galiléenne E = p^2/(2m).
Si l'on veut passer de l'équation exacte (4) à l'équation de Schrödinger (qui est une version Galiléenne donc approchée de (4)) on est bien obligé de passer par ces hypothèses Galiléennes simplificatrices. Il n'est donc pas possible de faire à l'équation de Schrödinger le reproche de découler d'hypothèses cohérentes avec le cadre géométrique de modélisation dans lequel elle se place intentionnellement. Il faut donc savoir de quoi on veut discuter exactement.
S'il s'agit d'une discussion centrée
* sur la dualité onde corpuscule contenue dans la formulation purement ondulatoire reliée à la constante de Planck h via les relations de De Broglie
- où elle donne alors lieu à des échanges d'énergie et d'impulsion quantifiés lors de processus d'interaction,
- où cette onde parvient à se faire passer pour un corpuscule ponctuel quand, lors d'une interaction (émission, absorption ou effet Compton) elle se manifeste de façon localisée dans sa représentation en espace,
- où l'énergie vaut
- où la vitesse de la "particule"
* sur le caractère intrinsèquement time symmetric de l'équation (4) à cause d'une dérivation temporelle d'ordre deux)
* sur le fait que l'abandon des solutions à énergie négative remontant le temps est une projection de notre vision d'observateur macroscopique à un niveau où cette vision n'est peut-être pas applicable,
* sur le cadre théorique dans lequel doit émerger une flèche quantique du temps modélisant le caractère irréversible de la réduction du paquet d'onde (ou encore des phénomènes de fusion ou désintégration) puisqu'on ne trouve ni irréversibilité, ni flèche du temps, dans l'équation de départ (4),
alors, il ne faut pas se placer dans le cadre géométrique de l'invariance Galiléenne. Le passage de l'étude de l'équation de Schrödinger (invariante Galiléenne) à l'étude de l'équation de Klein Gordon, puis à celle de Dirac (toutes deux invariantes relativiste) me semble inéluctable.
C'est en effet nécessaire pour se situer dans un cadre géométrique approprié à l'étude de l'équation (4) c'est à dire s'appuyant sur les symétries du groupe de Poincaré (où en particulier la masse est un cas particulier du concept d'énergie et n'apparaît naturellement que comme invariant relativiste sous la forme de son produit par c^2) [1].
Pour l'instant je n'ai pas d'opinion. Je continue à lire cette étude. En tout cas, bien qu'il ne s'agisse pas d'une idée nouvelle (peu importe. Les idées originales sont rarement les meilleures) l'hypothèse d'interaction avec un milieu soumis à des fluctuations incontrolables me semble intéressante en elle-même indépendemment de toute autre considération spécifique à cette étude.
Bernard Chaverondier
[1] Au contraire, l'invariance Galiléenne de l'équation de Schrödinger situe cette équation dans le cadre des symétries du groupe de Bargmann. En particulier, la masse y possède une interprétation géométrique Galiléenne (incompatible avec l'objectif de la présente discussion). Dans l'approche Galiléenne, la masse apparaît séparément de la notion d'énergie et possède la nature géométrique d'une cohomologie simplectique, cf Structure of Dynamical Systems, Jean Marie Souriau, éditions Birkhäuser,
* § 11 Dynamical groups, the cohomology of a dynamical group, the cohomology of a Lie group, the cohomology of a Lie algebra,
* § 12 The geometrical structure of classical mechanics, Galilean moments (12.131) "the dimension of the symplectic cohomology space of the Galilei group is 1. In other words, every symplectic cocycle
Where
Effectivement, aveuglé par l'étude de Grössing j'en avais oublié que l'invariance Galiléenne plaçait l'étude quantique dans un cadre classique (non relativiste). Mais cela n'implique évidemment pas que l'étude de l'équation (4) ne puisse aboutir à une équation du mouvement, seulement que cette étude doit se faire dans un cadre relativiste, pour peu que les hypothèses simplificatrices n'aient pas eu lieu antérieurement. Vous avez eu suffisamment de tact pour ne pas me faire remarquer cette erreur d'interprétation.Votre remarque me semble justifiée et me semble pouvoir être complétée de la façon suivante
Doit-on comprendre que l'équation (4) doit alors naturellement aboutir aux équations de Klein-Gordon (spin 0) et de Dirac (spin 1/2), et que son abandon délibéré de la part de Schrödinger au profit de l'équation qui porte son nom tient au fait qu'il n'a pas pu en poursuivre l'étude relativiste ? Ce que je n'ai pas bien vu dans la traduction de Ludwig, c'est si les hypothèses simplificatrices sont antérieures ou postérieures à l'établissement de l'équation (4). En d'autres termes, je me demande si il est possible de partir de l'équation (4) pour aboutir à l'équation de Klein Gordon puis de Dirac, mais peut-être n'est-ce pas là où veut nous emmener Ludwig.
Dernière modification par ClairEsprit ; 25/02/2005 à 15h04. Motif: Orthographe
Il me semble (vague souvenir) que l'equation de Klein-Gordon appliquée sur une fonction scalaire, n'ai pas adaptée comme équation quantique, car les équations d'ondes solutions, ne sont pas normalisables ou interprétables comme une densité de probabiblité.
Elles sont postérieures. A en croire la litérature et évidement avec les réserves qui s'imposent dans ce cas là, Schrödinger n'aurai pas été réellement d'accord avec ce point.
Personellement je suis toujours un peu sceptique quand on élimine des solutions possibles dans les équations. Surtout dans un tel cas ou il faut bien le dire les choses ne pas évidentes du tout.
Ce qui me dérange c'est le passage de (0.2) à (0.3) De (0.1) à (0.2) j'arrive encore à avaler.
(0.1)
(0.2)
(0.3)
Bon WK
Dernière modification par Ludwig ; 25/02/2005 à 18h11.
En fait, l’équation (0.1) (du second ordre en temps et du quatrième ordre en espace) a été obtenue par l’élimination de l’énergie E à partir de l’utilisation des équations ci-dessous.Ce qui me dérange c'est le passage de (0.2) à (0.3). De (0.1) à (0.2) j'arrive encore à avaler.
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(1)
(2)
Pour cela, dans le cas où le système est dans un état d’énergie E stationnaire, on tire de (1) et (2) que
Et on tire de (2) que
et donc en appliquant deux fois l’opérateur
Qui est bien l’équation (0.1). Cette équation est plus générale que les équations (1) et (2) car elle s’applique aussi aux cas où le système n’est plus dans un état d’énergie E stationnaire, mais dans une superposition d’états d’énergie stationnaire (états vibrant à des fréquences E/h différentes).
Toutefois, comme cela est signalé dans
Fushchych, l’équation (0.1) n’est (semble-t-il) pas invariante Galiléenne. Elle serait seulement invariante vis à vis de l’algèbre de Lie du groupe d’Aristote (dénommée algèbre Euclidienne AE(1,3) dans cette référence donc (0.1) ne serait pas invariante vis à vis des boost Galiléens) alors que l’équation aux dérivées partielle du premier ordre en temps (0.3) serait invariante Galiléenne (je suis prudent car la référence comporte quelques coquilles qui me rendent un peu méfiant).
L’équation (0.1) doit donc être considérée comme une étape intermédiaire de réflexion (par laquelle Schrödinger est passée au cours de sa recherche) mais elle ne doit plus être considérée comme un point de départ pertinent pour obtenir l’équation qui porte son nom.
Maintenant, si le but de vos remarques est de réfléchir sur la signification ondulatoire des particules quantiques, alors le mieux est de regarder (par exemple) une solution stationnaire de masse m à énergie positive de l’équation de Klein Gordon dans un référentiel R0 telle que, par exemple, l’onde stationnaire ci-dessous
où
Si on considère alors un référentiel inertiel R se déplaçant à vitesse v vers la gauche par rapport à R0, alors, par application de la transformation de Lorentz à la pulsation \omega_0 et au nombre d’onde k_0, on voit apparaître (sauf erreur de calcul de ma part) la particule de masse m comme un phénomène de battement entre
* une onde porteuse blue-shiftée se déplaçant vers la droite à vitesse c dans R
* une onde porteuse red-shiftée se déplaçant vers la gauche à vitesse c
* avec une pulsation d’onde porteuse valant (dans R)
* donc une modulation temporelle omega t de la phase de l’onde porteuse valant
* avec une modulation spatiale k x de la phase de l’onde porteuse de vecteur d’onde k valant
où
* une vitesse de groupe
* une modulation d’amplitude en
et un nombre d’onde
Pour ce qui est de la réflexion sur la signification physique à attribuer aux solutions à énergie négative se propageant à rebrousse-temps (et l’espèce de rotation dans l’espace-temps 4D à laquelle correspond la modélisation de l’électron par les 4 composantes complexes du bispineur figurant dans l’équation de Dirac par exemple) c’est encore un autre point.
Toutefois à mon avis, pour considérer des solutions à énergie négative se propageant à rebrousse-temps, impliquant la prise en compte de la dérivation temporelle d’ordre 2, la cohérence mathématique exige (sauf erreur de ma part sur ces considérations d'incompatibilité de l’opérateur de l’équation d’évolution de (0.1) avec l’algèbre de Lie du groupe de Galilée, considérations dont je ne suis pas très sûr malgré la référence citée qui se montre affirmative) de se placer que dans un cadre relativiste (où la dérivation d’ordre 2 par rapport au temps donne un modèle dynamique d’évolution compatible avec le groupe de symétries du cadre dans lequel on se place).
Bernard Chaverondier
Dernière modification par deep_turtle ; 27/02/2005 à 19h52. Motif: correction TeX
Oups ! Avec le choix réalisé, à savoirMaintenant, si le but de vos remarques est de réfléchir sur la signification ondulatoire des particules quantiques, alors le mieux est de regarder (par exemple) une solution stationnaire de masse m à énergie positive de l’équation de Klein Gordon dans un référentiel R0 telle que, par exemple, l’onde stationnaire ci-dessous
où
Si on considère alors un référentiel inertiel R se déplaçant à vitesse v vers la gauche par rapport à R0, alors, par application de la transformation de Lorentz à la pulsation \omega_0 et au nombre d’onde k_0, on voit apparaître (sauf erreur de calcul de ma part) la particule de masse m comme un phénomène de battement entre
* une onde porteuse blue-shiftée se déplaçant vers la droite à vitesse c dans R
* une onde porteuse red-shiftée se déplaçant vers la gauche à vitesse c
* avec une pulsation d’onde porteuse valant (dans R)
* donc une modulation temporelle omega t de la phase de l’onde porteuse valant
* avec une modulation spatiale k x de la phase de l’onde porteuse de vecteur d’onde k valant
où
* une vitesse de groupe
* une modulation d’amplitude en
et un nombre d’onde
Bernard Chaverondier
