Algèbre et théorie de groupes en Physique théorique

[invitee8334059]

Bonjour tout le monde.
Je m'intéresse un peu à la théorie des groupes et au concept de symétrie en Physique que je pense être quelque chose de Fondamental.
En outre, en étudiant un peu la structure des algèbres à la base de la construction de la mécanique quantique je me suis aperçu qu'il est possible de construire les différentes composantes de la théorie uniquement en associant entre eux les différentes algèbres.
Ainsi on peut ditinguer l'algèbre de Banach qui est une algèbre de Lie pour les opérateurs bornés continus sur l'espace de Hilbert,l'Algèbre de Von Neumann qui est une algèbre topologique munie d'une structure de topologie dite "faible" pour des opérateurs ne commutant pas,l'algèbre des opérateurs autoadjoints essentiels,les Algèbres de Clifford qui généralise le calcul tensoriel aux espaces multivectoriels.
Pour ce qui concerne la supersymétrie, j'ai entendu parler de l'algèbre de Grassman qui définit une loi bilinéaire antisymétrique à partir de nombres appelé "nombres de Grassman" et c'est précisément cette loi que l'on appelle "supersymétrie".
Pour ce qui concerne la relativité générale je ne connais pas les algèbres en détails mais vu que la théorie est fondé sur la géométrie différentielle, le calcul tensoriel et le calcul spinoriel je pense que le concept de "variétés topologique différentiable" et celui "fibré vectoriel topologique" peuvent permettre d'adjoindre une structure mathématique algébrique de type algèbre de Lie à la théorie.
Pour ce qui concerne les autres théories j'attend les réflexions des spécialistes en espérant qu'il compléteront et affineront mes modestes connaissance du domaine.
Si l'on pouvait également m'expliquer un peu les structures de groupes et notamment ce que c'est qu'un "groupe conforme", je serais vraiment heureux.
J'aimerais aussi discuter de la théorie des cordes bosoniques (bien que je sorte un peu du thème) car j'en ai besoin pour comprendre l'étendue de la théorie des groupes et des symétries algébriques en Physique.
De tout coeur merci de votre aide, j'attend les réponses des plus motivés.


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[mtheory]

Ainsi on peut ditinguer l'algèbre de Banach qui est une algèbre de Lie pour les opérateurs bornés continus sur l'espace de Hilbert

Bonsoir Ghosht!

Je crains fort que non!Une algèbre de Banach n'est pas une algèbre de Lie que je sache (pas de constante de structure par ex)

,l'Algèbre de Von Neumann qui est une algèbre topologique munie d'une structure de topologie dite "faible" pour des opérateurs ne commutant pas,l'algèbre des opérateurs autoadjoints essentiels,les Algèbres de Clifford qui généralise le calcul tensoriel aux espaces multivectoriels.
Pour ce qui concerne la supersymétrie, j'ai entendu parler de l'algèbre de Grassman qui définit une loi bilinéaire antisymétrique à partir de nombres appelé "nombres de Grassman" et c'est précisément cette loi que l'on appelle "supersymétrie".

Clifford et Grassman c'est étroitement liè.

Pour ce qui concerne la relativité générale je ne connais pas les algèbres en détails mais vu que la théorie est fondé sur la géométrie différentielle, le calcul tensoriel et le calcul spinoriel je pense que le concept de "variétés topologique différentiable" et celui "fibré vectoriel topologique" peuvent permettre d'adjoindre une structure mathématique algébrique de type algèbre de Lie à la théorie.

Effectivement,les algèbres de Lie jouent un rôle important en RG mathématique ,surtout dans la théorie des espaces homogènes représentant différents modèles cosmologiques(Classification 3d de Bianchi).

Pour ce qui concerne les autres théories j'attend les réflexions des spécialistes en espérant qu'il compléteront et affineront mes modestes connaissance du domaine.

Cordes,membranes et simplement théories de Yang Mills reposent fondamentalement sur les groupes et les algèbres de Lie et leurs généralisations quantiques (quantum groups) et supersymétriques(super groupes de Lie ,algèbres graduées)

Si l'on pouvait également m'expliquer un peu les structures de groupes et notamment ce que c'est qu'un "groupe conforme", je serais vraiment heureux.

C'est le groupe des transformations conformes simplement.

J'aimerais aussi discuter de la théorie des cordes bosoniques (bien que je sorte un peu du thème) car j'en ai besoin pour comprendre l'étendue de la théorie des groupes et des symétries algébriques en Physique.
De tout coeur merci de votre aide, j'attend les réponses des plus motivés.

Pas de problème!

[invitee8334059]

[QUOTE=mtheory]Bonsoir Ghosht!

Je crains fort que non!Une algèbre de Banach n'est pas une algèbre de Lie que je sache (pas de constante de structure par ex)


Salut mtheory, il me semble que je n'ai pas commis d'erreur dans la caractérisation de l'algèbre de Banach. En fait,cette algèbre est une algèbre de Lie dérivable.
Ma définition de l'algèbre de Lie est donné par le livre "introduction aux variétés différentielles" de Jacques LAFONTAINE.
selon cette auteur, une algèbre de Lie sur un corps K est un espace vectoriel L sur K, munie d'une application bilinéaire de L*L dans L appelé "crochet vectoriel".
Dans le cas de l'algèbre de Banach, ma définition repose sur le livre "Mathématiques pour Physiciens" de E.WEISLINGER.
En outre, l'algèbre de Banach y est caractérisé par la présence de l'opérateur appellé en méca quantique "commutateur".
La présence de cet opérateur justifie la dénomination d'Algèbre de Lie appliqué à L'Algèbre de Banach.

Par ailleurs en ce qui concerne les groupes conformes, j'avais très bien compris que ces groupes étaient ceux des transformations conformes, ce que je voulais savoir c'était précisement qu'est ce que c'est qu'une transformation conforme.

Merci de ton aide,en tout cas.

[erik]

Salut Ghost,
Si tu t'interresse à l"Algèbre et à la théorie des groupes en Physique théorique il est bien possible que ce document te plaise : www.emma.inpl-nancy.fr/doc/symetrie04.pdf

Erik

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

[QUOTE=Ghost]

Bonsoir Ghosht!

Je crains fort que non!Une algèbre de Banach n'est pas une algèbre de Lie que je sache (pas de constante de structure par ex)


Salut mtheory, il me semble que je n'ai pas commis d'erreur dans la caractérisation de l'algèbre de Banach. En fait,cette algèbre est une algèbre de Lie dérivable.
Ma définition de l'algèbre de Lie est donné par le livre "introduction aux variétés différentielles" de Jacques LAFONTAINE.
selon cette auteur, une algèbre de Lie sur un corps K est un espace vectoriel L sur K, munie d'une application bilinéaire de L*L dans L appelé "crochet vectoriel".
Dans le cas de l'algèbre de Banach, ma définition repose sur le livre "Mathématiques pour Physiciens" de E.WEISLINGER.
En outre, l'algèbre de Banach y est caractérisé par la présence de l'opérateur appellé en méca quantique "commutateur".

Je ne suis toujours pas convaincu!Qu'une algèbre de Lie soit susceptible d'être dans certain cas aussi un algèbre de Banach où l'inverse c'est sans doute possible mais je maintiens qu'en aucun cas un ensemble d'élément simplement munie d'une structure d'algèbre de Lie est automatiquement une algèbre de Banach ou inversement.

Une algèbre de Banach est une algèbre normée complete,si tu regarde la définition d'algèbre de Lie que tu donnes il n'y est mentionné aucune propriété topologique ni d'axiome de norme.

Je n'ai jamais vu qu'une algèbre de Banach était caractérisé par un commutateur.
J'ai le Kolmogorov/Fomine sous les yeux et la définition d'une algèbre de Banach ne nécessite aucun commutateur.

La présence de cet opérateur justifie la dénomination d'Algèbre de Lie appliqué à L'Algèbre de Banach.

Par ailleurs en ce qui concerne les groupes conformes, j'avais très bien compris que ces groupes étaient ceux des transformations conformes, ce que je voulais savoir c'était précisement qu'est ce que c'est qu'une transformation conforme.
o

Eh bien,pour faire simple, c'est une transformation qui conserve les angles mais pas les distances.L'exemple type c'est les transformations conformes du plan et de la sphère complexe

[invitee8334059]

Je ne suis toujours pas convaincu!Qu'une algèbre de Lie soit susceptible d'être dans certain cas aussi un algèbre de Banach où l'inverse c'est sans doute possible mais je maintiens qu'en aucun cas un ensemble d'élément simplement munie d'une structure d'algèbre de Lie est automatiquement une algèbre de Banach ou inversement.

Une algèbre de Banach est une algèbre normée complete,si tu regarde la définition d'algèbre de Lie que tu donnes il n'y est mentionné aucune propriété topologique ni d'axiome de norme.

Je n'ai jamais vu qu'une algèbre de Banach était caractérisé par un commutateur.
J'ai le Kolmogorov/Fomine sous les yeux et la définition d'une algèbre de Banach ne nécessite aucun commutateur.

Merci pour tes infos mtheory.
Je m'incline donc à propos des Algèbres de Banach tu as sans doute raison.
Je pense que dans le cadre de la mécanique quantique L'Algèbre de Banach a une structure particulière d'Algèbre de Lie dans laquelle, on adjoint le commutateur comme loi bilinéaire associé à la structure d'ensemble.
Cependant est ce que tu pourrais me donner la définition que tu as de l'Algèbre de Banach dans le Kolmogorov et aussi celle que tu as de l'Algèbre de Lie. Cela me permettra de me remettre à jour.

Merci par avance, amicalement,Ghost.

[mtheory]

Merci pour tes infos mtheory.
Je m'incline donc à propos des Algèbres de Banach tu as sans doute raison.
Je pense que dans le cadre de la mécanique quantique L'Algèbre de Banach a une structure particulière d'Algèbre de Lie dans laquelle, on adjoint le commutateur comme loi bilinéaire associé à la structure d'ensemble.

Je crois que tu fais de légères confusions.Une algèbre de Banach est une structure abstraite,on ne peut donc pas parler de l'algèbre de banach ayant une structure d'algèbre de Lie.
Tu as un ensemble d'opérateur en MQ qui posséde une structure d'algèbre de Banach+une structure d'algébre de Lie,ce qui est ce que tu veux de dire de façon confuse je crois

Cependant est ce que tu pourrais me donner la définition que tu as de l'Algèbre de Banach dans le Kolmogorov et aussi celle que tu as de l'Algèbre de Lie. Cela me permettra de me remettre à jour.

Merci par avance, amicalement,Ghost.

La définition d'algèbre de Lie que tu as cité me semble pas mauvaise bien qu'insuffisament développé .Mentionner l'identité de Jacobi vérifier par les commutateurs me semble important et les relations avec les constantes de structure aussi mais je crois que c'est implicite donc valable dans ce que tu donnes.
Une algébre de Banach c'est bien sûr un ensemble avec des opérations satisfaisant les axiomes définisant une algébre,qui est un espace de Banach c'est à dire un espace vectoriel normé complet.
Tu dois avoir cette définition dans le Weislinger si ma mémoire est bonne.
Tu as juste fait qq confusions compréhensibles pour un étudiant débutant une maitrise en physique.

[invitee8334059]

Je suis réellement content de te connaître, merci pour ton aide si précieuse..
A bientôt, ami.