Démonstration sur les suites.

[Bleyblue]

Bonjour,

Si j'ai une suite réelle x_n je dois montrer que :



Bon j'ai quelque chose la mais ça me semble trop simple alors je suppose que je me suis planté quelque part :

Soit > 0

Par hypothèse

donc

Comme on a des nombres positifs dans les deux membres on peut élever au carré et donc :



Qu'en pensez-vous ?

merci

[invitec314d025]

Pas de problème. Tu peux aussi dire que si Un tend vers a et Vn tend vers b alors UnVn tend vers ab, enfin si vous l'avez démontré rigoureusement, sinon on tourne en rond.

[invite2ec8adb6]

Bonjour,

Si j'ai une suite réelle x_n je dois montrer que :



Bon j'ai quelque chose la mais ça me semble trop simple alors je suppose que je me suis planté quelque part :

Soit > 0

Par hypothèse

donc

Comme on a des nombres positifs dans les deux membres on peut élever au carré et donc :



Qu'en pensez-vous ?

merci

je ne suis pas sur que tu aie montré la convergence de (xn^2)
il serait plus precis de le demontrer comme ca:
soit epsilon>0
comme sqrt(epsilon)>0, il existe n0, qqs n>=n0, abs(xn)<sqrt(epsilon)
donc qqs n>=n0 , abs(xn)^2<epsilon
abs(xn^2)<epsilon
donc qqs epsilon>0, il existe n0,qqs n>=n0, abs(xn^2)<epsilon
donc(xn^2) ->0

en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2

[invitec314d025]

en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2

Oui mais avec un peu d'expérience, et tu viens d'ailleurs de le démontrer, on sait que si on obtient une majoration par espilon², ou 2.epsilon, .., on a montré la convergence.
Mais bon, tu n'as pas tort, autant faire attention.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

comme sqrt(epsilon)>0, il existe n0, qqs n>=n0, abs(xn)<sqrt(epsilon)
donc qqs n>=n0 , abs(xn)^2<epsilon
abs(xn^2)<epsilon
donc qqs epsilon>0, il existe n0,qqs n>=n0, abs(xn^2)<epsilon
donc(xn^2) ->0

en fait il faut montrer que abs(xn^2)<epsilon et non pas plus petit que epsilon^2

J'y ai pensé en fait, mais je me suis dit que étant donné qu'epsilon est une constante, ça revient au même ...

Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...

merci

[invitec314d025]

J'y ai pensé en fait, mais je me suis dit que étant donné qu'epsilon est une constante, ça revient au même ...

Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...

merci

Ah, mais fais attention quand-même. Je sais que c'est évident, mais si tu obtenais une majoration par 1 + epsilon par exemple, ça ne marcherait pas. La justification ne tient pas au fait que epsilon soit une constante.
Finalement ce n'est pas une mauvaise idée de se forcer à arriver à une majoration par exactement epsilon au début.

[invité576543]

Bah par la suite je ferai attention, mais je ne vois pas vraiment en quoi c'est important ...

En fait c'est important parce que la formule "qqs epsilon, il existe ... <epsilon" est LA formulation normale de la condition de convergence. Avec un epsilon au carré, on peut arguer que ce n'est pas équivalent, et donc exiger de démontrer l'équivalence, ce qui presque l'exercice demandé!

Cordialement,

[invitec314d025]

D'ailleurs ça soulève une question intéressante. Imaginons qu'on ait une fonction f définie sur ]0;+infini[.
Quelle condition sur f doit on imposer pour pour avoir l'équivalence entre:
i) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < f(epsilon)
ii) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < epsilon
?

[invité576543]

D'ailleurs ça soulève une question intéressante. Imaginons qu'on ait une fonction f définie sur ]0;+infini[.
Quelle condition sur f doit on imposer pour pour avoir l'équivalence entre:
i) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < f(epsilon)
ii) Pour tout epsilon, il existe N, etc, bidule < epsilon
?

Je pense que tu poses la question à titre d'exercice? Me trompe-je?

Cordialement,

[invitec314d025]

Je pense que tu poses la question à titre d'exercice? Me trompe-je?

Cordialement,

Plus ou moins, vu que je ne m'étais jamais posé la question en termes aussi généraux. Ceci dit je pense quand-même avoir une solution (au moins pour (i) implique (ii)).

[inviteab2b41c6]

Je dirais que f doit tendre vers 0 en 0, et ne jamais s'annuler au voisinage de 0.
Bien entendu f est positive.

[invitec314d025]

Je dirais que f doit tendre vers 0 en 0, et ne jamais s'annuler au voisinage de 0.
Bien entendu f est positive.

Je dirais que pour f(epsilon) = 1/epsilon ça marche encore. Ou si f tend vers 0 ailleurs qu'en 0.
Ou même si 0 est adhérent à {f(epsilon) / epsilon > 0}.
Non ? Qu'en dites-vous ?

[inviteab2b41c6]

Je dirais que pour f(epsilon) = 1/epsilon ça marche encore. Ou si f tend vers 0 ailleurs qu'en 0.
Ou même si 0 est adhérent à {f(epsilon) / epsilon > 0}.

Ca me parrait plein de bon sens.
Le fait que 0 soit adhérent {f(epsilon),epsilon>0} me semble être la condition la moins forte possible pour conserver le résultat.

Non ? Qu'en dites-vous ?

On se vouvoie maintenant matthias?

[invitec314d025]

On se vouvoie maintenant matthias?

Vous étiez au moins deux à donner l'impression de vous intéresser à la question ...
Ceci explique cela.

[invité576543]

J'ai pas réfléchi, mais 1/epsilon m'étonne...

EDIT : vu, cela demandait un poil plus de secondes que je n'y avais alloué!

[Bleyblue]

En fait c'est important parce que la formule "qqs epsilon, il existe ... <epsilon" est LA formulation normale de la condition de convergence. Avec un epsilon au carré, on peut arguer que ce n'est pas équivalent, et donc exiger de démontrer l'équivalence, ce qui presque l'exercice demandé!

Cordialement,

Ah bon. Ok alors ...

Sinon pour l'exercice de matthias je ne comprend pas bien l'énoncé