Bonjour à tous.

Je cherche, histoire de m'occuper un peu dans le train, à démontrer qu'il y a autant de nombres naturels que de nombres rationnels, à savoir l'infini de premier ordre, noté par Kantor il me semble.

Je pense y être arrivé, mais j'aimerais une petite confirmation.

Soient les suites , et .








On définie alors la suite à partir de ces trois suites :




Pour finir, on crée la fonction

est une bijection de dans . Cela implique .



Quant à la démonstration que est bien une bijection de dans , il suffit de s'intéresser aux constructions de p et de q : on s'aperçoit que le couple donne pour les premieres valeures de n
(0,0) (0,1) (1,0) (0,2) (1,1) (2,0) (0,3) (1,2) ... et une fois tout parcouru, on a tous les points de .
est l'ensemble des nombres avec tels que PGCD(p, q) = 1 (auxquels il faut ajouter 0). Nous avons déjà tous les points de , la suite est là pour satisfaire la seconde condition. Son incrémentation permet de "sauter" les couples non irreductibles.



Je vous remercie de m'avoir lu jusqu'ici ; et j'attends avec impatiente vos remarques et critiques.