automatique, un problème de représentation d'état

[fouga]

Bonsoir,

Je prépare un TP sur la correction par retour d'état et je rencontre quelques problèmes.

On a un système de la forme:
G(s)=1/[s(s+1)(s+2)] donc du 3 ème ordre.

On me demande d'abord de calculer la représentation d'état en décomposant le système tel que:

U(s)->1/(s+2)->X3(s)=Y3(s)->1/(s+1)->X2(s)=Y2(s)-> 1/s->X1(s)=Y1(s)

où U(s) est l'entrée que l'on injecte
Jusque là ça va...

Maintenant on me dit que les variables X3 et X2 ne sont plus accessibles, je dois donc donner la représentation uniquement en fonction de X1 et et de U(s), donc en ne disposant que de l'entrée du système et sa sortie finale.
Problème, je n'y arrive pas du tout et après avoir essayé de triturer ma fonction de transfert G(s) dans tous les sens... je n'ai plus aucune idée de comment faire...

Est-ce que quelqu'un pourrait me dépanner?

Enfin, pour le cas du début, on peut dire que le système est pseudo stable car il a un pôle en 0 et les valeurs propres de la matrice A ( dans la représentation xPoint= Ax+Bu que je n'ai pas donné mais calculé chez moi) correspondent aux pôles du système.

Dans le second cas que je cherche à résoudre ici, les valeurs propres de A ont elles le même sens que précédemment et comment peut on conclure quant à la stabilité ou non du système (en boucle ouverte toujours) dans ces conditions?

En vous remerciant
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[ABN84]

Maintenant on me dit que les variables X3 et X2 ne sont plus accessibles, je dois donc donner la représentation uniquement en fonction de X1 et et de U(s), donc en ne disposant que de l'entrée du système et sa sortie finale.
Problème, je n'y arrive pas du tout et après avoir essayé de triturer ma fonction de transfert G(s) dans tous les sens... je n'ai plus aucune idée de comment faire...

c'est normal que tu n'y arrives pas car c'est impossible. une représentation d'etat de fait avec des equa diff de 1er ordre. t'as un 3eme ordre donc 3 equa diff donc 3 etat. tu peux pas les reduire à 1. Je penses que tu as mal compris la question. retranscris ici l'enoncé exact de la question.

Enfin, pour le cas du début, on peut dire que le système est pseudo stable car il a un pôle en 0 et les valeurs propres de la matrice A ( dans la représentation xPoint= Ax+Bu que je n'ai pas donné mais calculé chez moi) correspondent aux pôles du système.

Jamais entendu parler d'un système pseudostable. c'est definition perso ou celle du prof?
tu as un integrateur, une entrée finie donne une sortie infinie, le susteme est donc instable.

Dans le second cas que je cherche à résoudre ici, les valeurs propres de A ont elles le même sens que précédemment et comment peut on conclure quant à la stabilité ou non du système (en boucle ouverte toujours) dans ces conditions?

tu as un pole nul, tu es donc à la limite d'instabilité

[fouga]

Bonjour,

tout d'abord merci pour ta réponse je commençais sérieusement à m'arracher les cheveux (j'ai écumé google en français et en anglais) le sujet étant assez nouveau pour moi.

J'ai mis en pièce jointe le schéma de l'énoncé.

Donc les 2 questions qui sont posées sont:

Pour la figure 1 (du haut):
Ecrire la représentation d'état associé au système schématisé, conclure sur la stabilité à partir de la représentation d'état, et quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice dynamique A et la fonction de transfert G(s). ( G(s) est la même que dans mon premier message).

Ma réponse:
J'ai calculé les matrices A,B,C,D (je peux les mettre sur un autre schéma si tu veux les voir) en fonctions de X1,X2,X3,X4.
Je vois que les valeurs propres de A sont les pôles de g(s).

Comme il y a un pôle sur l'axe des imaginaire (s=0) le système n'est ni stable ni instable, on nous a dit que c'était pseudo-stable, donc du type oscillateur.
On a aussi vu en cours que le 1/s qui est un intégrateur faisait qu'à un échelon la fonction diverge puisqu'il ne fait qu'intégrer la valeur de l'échelon continuellement.

Pour la figure 2:
Mêmes question que précédemment mais avec juste U(s) et X1(s) accessible... écrire la représentation d'état, conclure sur la stabilité du système à partir de cette dernière et donner le lien entre les valeurs propres de la matrice A et les pôles de G(s)...
Et là ben je sèche complètement.

Pour info, pour la suite on va effectuer une correction par retour d'état, donc d'abord avec toutes les variables accessibles, puis en utilisant un observateur de Luenberger. Je sais pas si ça peut donner plus d'infos sur le système, parce que je suis loin d'en être à ce point...

Merci beaucoup pour ton aide

[ABN84]

ta réponse 1 est juste.
Pour la seconde:
ton système n'a pas changé, tu n'as juste pas acces à toutes les variables d'etat. il n'y a que ta matrice C qui change

[A voir en vidéo sur Futura]

[fouga]

Bonjour,

merci pour ta réponse, j'ai encore quelques zones d'ombres donc si tu peux me donner encore un petit coup de main ce sera gentil.

J'ai mis en pièce jointe l'équation d'état trouvé pour la partie 1.

Tu dis que pour la partie 2, je n'ai pas accès à toute les variables, donc concernant la matrice A, je la conserve tel quel ou sinon je dois en faire quoi?
ensuite pour C, comment va t'elle s'écrire (ou plutôt la démarche quand on a des variables masquées) vu que je ne peux l'exprimer que selon U et X1?
Enfin, concernant les valeurs propres est-ce que leur signification reste valide ou non parce que j'ai beau cherché et dans mes cours et sur le net... nada!

Merci beaucoup!

[ABN84]

Tu dis que pour la partie 2, je n'ai pas accès à toute les variables, donc concernant la matrice A, je la conserve tel quel ou sinon je dois en faire quoi?

oui

ensuite pour C, comment va t'elle s'écrire (ou plutôt la démarche quand on a des variables masquées) vu que je ne peux l'exprimer que selon U et X1?

non!
l'equation d'etat s'ecrit:
X'=A.X+B.U
Y=C.X+D.U
tout à l'heure tu avais un C qui te ressort tout le vecteur d'etat. à present, C ressort une seule variable d'etat. c'est trop evident, je peux pas etre plus explicite que ça

[fouga]

C'est bon j'ai compris!

Encore une fois, merci pour ton aide la représentation d'état est assez nouvelle pour moi j'ai encore un peu de mal...