[Maths] [TS] Pi et les intégrales

[kNz]

Quelques petits problèmes intéressants sur le nombre Pi avec les intégrales.

Problème n°1

On pose pour , .
On se propose d'établir que converge vers .

A) Expression de à l'aide d'une intégrale

1) Montrer que, pour tout réel t :

.

2) En déduire que :

.

3) Montrer que, pour tout réel t de [0;1], on a :

.

En déduire que :

.

B) Calcul de

On pose pour tout x, .

1) Justifier la dérivabilité de F et calculer F'(x).

2) On pose pour , u(x) = F(tan x).

a. Montrer que u est dérivable sur et calculer u'(x).
b. Calculer u(0) ; en déduire que pour x, u(x) = x.
c. Déduire des questions précédentes que .

3) Déduire des questions précédentes que .

4) Conclure.
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[invitefc60305c]

1) On veut montrer que





= 0
<=>

[kNz]

Bon ok dès la première question j'mets un énoncé erroné, désolé.

Montrer que :

.

[jinmu]

Bonjour,desole de la remontee de topic.Je suis en train de plancher sur cet exercice,et je bloque sur la premiere question.Serait-il possible d'avoir une piste.Voila ce que j'ai commence à faire.

(somme d'une suite geometrique de premier terme 1 et de raison
J'arrive en developpant a :ce qui n'est pas la relation demandee ,donc quelle est mon erreur?
Pour la 2) Je ne vois pas du tout comment la prendre.En calculant,je n'aboutis pas.Serait-ce possible d'avoir une piste?

J'ai commence la partie B:
1)F est definie continue et derivable sur car est definie continue et derivable et ne s'annule pas sur
On a donc
2)Avec on trouve etcar donc la fonction a integrer devient dont la primitive est Par contre je n'arrive pas à deduire .
Par ailleurs les questions 2)c) et 3) ne sont-elles pas identiques?

Merci d'avance pour votre aide.Et bravo pour cet excellent forum que j'ai decouvert il y a pas longtemps,et sur lequel je souhaite passer de bons moments.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Dans le numérateur de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, tu as fait trop vite disparaitre le "moins" de la raison, en effet, le "moins" aussi est mis à la puissance qu'il faut !


Pour la 2), il suffit de prendre l'intégrale de la relation précédente. Pour le terme dans le sigma, il est très simple de calculer son intégrale : la primitive est simple (il suffit de changer les puissances et diviser par le bon coefficient correcteur), puis évaluer en 1 et en 0, et soustraire...


Pour la Partie B, question2 :
il ne faut pas calculer F'(tan(x)), mais F(tan(x))', ce qui donne, par formule de dérivation des composées : tan' * F'(tan(x)) = ... = 1, car tan'(x)=1+tan²(x)
Ca va devenir beaucoup plus facile.

[jinmu]

Bonjour,

Merci de ton aide.

En suivant tes indications,j'ai trouve pour la question 1 du A une somme de
Apres developpement,je trouve ce qui est egal à la relation demandee car
Je vais essayer de continuer la suite de cette partie, en integrant la relation trouvee en 1)

Pour la partie B,c'est plus clair pour moi.Comme alors sa primitive est et donc en integrant entre 0 et x,on trouve bien
Pour calculer Je fais un changement de variable avec .J'integre donc entre et
Et
et donc
ce qui donne bien

[jinmu]

Desole du double post.Je crois avoir fini l'exercice si je n'ai pas fait d'erreurs.
Pour la A) 2) J'integre la relation obtenue en 1) ,et je trouve comme primitive de
ce qui donne la relation demandee,en integrant entre 0 et 1
Pour la question 3) on a
donc et
et on a
et donc en multipliant par terme positif on a la relation de mandee.

En integrant entre 0 et 1 on trouve et donc comme on a la relation demandee.
On majore ensuite par et on trouve que la limite de est 0 et donc que converge vers (selon le B))

Merci Thorin pour ton aide et kNz pour ce bel exercice.
Cordialement.