[MECA] Analyse harmonique

[invitec053041c]

Bonjour à tous.

Alors voilà, dans un but de modélisation très simplifiée d'oscillation d'un pont soumis à une force harmonique, j'ai pensé à utiliser 2 ressorts de très forte raideur disposés comme sur mon dessin (Déjà commencer par 2, puis 3,4 ... ou plus si j'y parviens). Mais il y a déjà matière à discuter à 2 .

En effet, j'obtiens en fait une équation différentielle assez folkhlorique...avec du sqrt(y²+l0²) etc...
J'ai donc pensé à approximer à l'ordre 2 (l'ordre 1 étant malheureusement nul et l'ordre 0 inutile) pour une variation verticale petite [y/l0<<1] , et je me retrouve donc avec du y² (bon ça s'arrange un peu, m'enfin...).

J'ai donc pensé à une résolution numérique par maple, donc déjà comment fait-on pour résoudre numériquement une équa diff par maple?

Ensuite, pour une analyse harmonique, il est très intéressant dans le cadre d'un travail à rendre d'exposer les résultats sous forme de diagramme de Bode. Mais est-il possible d'étudier des systèmes non linéaires en régime sinusoïdal ?

Que me conseillez-vous pour cette étude ? Merci pour votre précieuse contribution.


ps: On m'a également conseillé de modéliser mon pont par une corde, ce qui est une très bonne idée, mais cela , je pense, réduirait mon travail de recherche un peu à néant.
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[invite58a61433]

Salut,

J'ai donc pensé à approximer à l'ordre 2 (l'ordre 1 étant malheureusement nul et l'ordre 0 inutile) pour une variation verticale petite [y/l0<<1] , et je me retrouve donc avec du y² (bon ça s'arrange un peu, m'enfin...).

Et encore t'as de la chance parce que en essayant je me retrouve avec du y³. J'aimerai bien voir quelle eq diff tu as, si tu peux la mettre.

J'ai donc pensé à une résolution numérique par maple, donc déjà comment fait-on pour résoudre numériquement une équa diff par maple?

ça m'intéresse aussi (pas spécialement pour ce problème). Donc si quelqu'un à le courage de l'expliquer il fera au moins deux heureux.

ps: On m'a également conseillé de modéliser mon pont par une corde, ce qui est une très bonne idée, mais cela , je pense, réduirait mon travail de recherche un peu à néant.

Je t'aurai suggéré la même chose mais bon.

[invitec053041c]

Bonjour Magnétar.

ça m'intéresse aussi (pas spécialement pour ce problème). Donc si quelqu'un à le courage de l'expliquer il fera au moins deux heureux.

Bon alors j'ai creusé et j'ai trouvé sur un site comment tracer une solution d'équa diff (j'ai pas cherché à tout comprendre ):

with(plots):
s1:=dsolve({eq,CI},y(t),numeri c):
odeplot(s1,[t,y(t)],t=t0..t1);

Je t'aurai suggéré la même chose mais bon.

Oui mais les cordes oscillantes ne sont pas à priori au programme de prépa...mais ça pourrait être intéressant de faire des études comparatives.
En tout cas je vérifie mon equa diff, et je cherche les erreurs. Je crois qu'en effet j'étais déjà bien optimiste.

Cordialement.

[invite58a61433]

Bon alors j'ai creusé et j'ai trouvé sur un site comment tracer une solution d'équa diff (j'ai pas cherché à tout comprendre ):

with(plots):
s1:=dsolve({eq,CI},y(t),numeri c):
odeplot(s1,[t,y(t)],t=t0..t1);

Merci tu viens de faire un heureux

Oui mais les cordes oscillantes ne sont pas à priori au programme de prépa...mais ça pourrait être intéressant de faire des études comparatives.

Je pense en fait que ce serait plus simple (j'y réfléchis) de traiter le problème d'une corde plutôt qu'une série de ressort.
En fait je m'étais déjà poser la question pour un mémoire que j'avais à faire cette année et le début de mes recherches (qui se sont révélées inutiles par la suite) m'avait laissé penser que c'était plus simple de considérer le cas d'un milieu continu (comme une corde) plutôt qu'un ensemble de ressort (mon sujet n'était pas le même je te rassure mais il y a des analogies et puis je n'ai pas pu approfondir cette partie).

Mais en fait je ne sais pas trop ce que demande le programme de prépa.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Mais en fait je ne sais pas trop ce que demande le programme de prépa.

Moi non plus .


Bon sinon, pour être sûr que j'avais quand même bien posé mon système, si on considère ce montage posé sur une table (donc poids compensé), la position où tout est aligné est bien une position d'équilibre stable...
J'ai dû chercher pour trouver quelque chose de non nul !
C'est déjà rassurant .


Bon, je commence à perdre espoir d'avoir les moyens de creuser dans le domaine de la stabilité des ponts .

[invitec053041c]

Bon,je dois vraiment avoir un problème là...

Pour me familiariser un peu avec les equa diff et maple, j'ai d'abord simplifié le problème: je considère ce montage sur une table horizontale, donc seules les tensions agissent sur mon solide.
En posant x=y/l0 et w0²=(2k/m)
J'obtiens cette équa diff:



Et je prend pour une étude numérique w0=1 par exemple. Et bien maple me donne une fonction qui diverge... Alors que je viens de montrer que la position où y=0 (pas d'élongation en fait) est une position d'équilibre stable.
Je ne vois pas ce que j'ai pu faire de faux ?
Si quelqu'un pouvait m'aiguiller .


Merci

[invitec053041c]

En fait j'ai l'honneur de vous apprendre quelque chose d'étrange !

Maple vient de se dérider et me donne maintenant de jolies (fausses) sinusoïdes !
J'ai juste mis une vitesse initiale non nule, puis fait tendre celle-ci vers 0,puis mis 0...et miracle.

La suite s'annonce folkhlo

[invite58a61433]

En fait j'ai l'honneur de vous apprendre quelque chose d'étrange !

Bon ça va je ne suis pas seul, pfffffff....
J'ai essayé de me pencher sur ton problème avec maple et j'ai des trucs assez comment dire "violent", je pense que c'est une sorte de problème de pas, donc je cherche comment contrôler la précision du calcul numérique mais pour l'instant je ne trouve pas vraiment.

[invitec053041c]

Oui ça doit être quelque chose comme le pas, je n'ai pas trouvé comment le modifier...

Sinon, après une lutte acharnée sur maple, et ayant rajouté une force sinusoïdale cos(wt) supplémentaire, j'arrive à des résultats qui me semblent assez cohérents...
Lorsque w s'approche de ce que j'ai appelé w0 tout à l'heure, l'amplitude du mouvement est amplifiée et celle-ci se stabilise lorsqu'on s'éloigne de cette valeur particulière.

Mais quelqu'un est-il capable de faire une étude non numérique de ce problème ?
Parceque présenter à l'oral une étude purement numérique, et avancer des résultats qui relèvent plus de la conjecture qu'autre chose, ça me tracasse... Vous ne pensez pas ?
Sinon je conjecture sur cette partie, et j'embraye sur une modélisation moins grossière: celle de la corde (mais faut que je me mette aux ondes sinon je m'y pend ).

[inviteaeeb6d8b]

Salut !

bon, j'ai quelques trucs qui pourraient t'intéresser :

pour maple, déjà, il y a la résolution "numeric" qui est pas mal en général (je crois que tu l'as déjà trouvée) et aussi la résolution en séries (series). L'avantage étant que tu as un polynôme explicite dont tu choisis le degré (plus il est grand, mieux c'est). Le problème est qu'à l'infini, ça fait n'importe quoi.

Tu peux aussi programmer les méthodes d'Euler ou Runge Kutta. Je l'ai fait pour un copain pour son TIPE de Relativité, les résultats étaient pas terribles (l'équa diff était bien pire que la tienne quand même j'ai l'impression), mais ça a l'avantage d'être plus personnel.


J'ai deux copains qui ont fait leur TIPE sur les modélisations électromécaniques. Leur prof de physique les a lancés sur la modélisation de plein de ressorts liés entre eux (ils ont bossé à partir d'un gros bouquin qui ne parle que de ça, je pourrai te donner la référence si tu veux). L'idée, c'était : on a plein de ressorts liés entre-eux, on perturbe l'équilibre. Comme on sait pas ce que ça va devenir, on modélise tout ça avec des condensateurs, bobines... ils ont fait des mesures "électriques", finalement, ils ont réussi à avoir une bonne idée des trajectoires des points reliant les ressorts.

Je sais qu'en spé, il y a un exo de khôlle ultra classique, où on relie trois ressorts, et il faut déterminer les trajectoires... Ce ne sera pas suffisant sûrement.


Voilà voilà ! Bon courage !


Romain

[invitec053041c]

Merci beaucoup romain pour ces précisions!
La référene de ce bouquin me serait en effet vraiment très utile. Si tu arrivais à la retrouver ça serait avec grand plaisir.
Je vais essayer de programmer la méthode d'Euler sur maple, mais je crains que cela ne donne des résultats trop peu convainquants.
J'utilise en effet la fonction numeric, mais je ne sais pas comment augmenter la précision, le degré de mon polynôme, si tu te souviens...

Merci encore.

[invitec053041c]

Oulaaaa , je n'ai jamais fait d'Euler avec une dérivée seconde!


Je penserais faire quelque chose comme ça:



Mai c'est louche .

[invite4b9cdbca]

J'insiste toujours sur la modélisation "semi-continue" avec plein de ressorts !
Essaie déjà avec des ressorts dans la même direction, trouve l'équadiff si tes ressorts étaient super petits, et après tu pourras essayer (j'ai bien dit essayer) de le faire avec des ressorts dans les deux sens (ça risque d'être assez folklo, et tu devras surement te réduire à l'étude des petites oscillations... ce qui est somme toute pas vraiment terrible, sinon tu devras pousser ton DL assez loin)

PS : et il me semble que ton expression précédente n'est pas si fausse

[invitec053041c]

Bon ben oublie mon message sur le topic des soldats puisque tu es venu de toi-même .
Oui ,le problème quand on se limite aux petites oscillations, c'est que justement je ne veux pas de petites oscillations puisque je cherche à détecter le phénomène de résonance . Là est mon problème.
L'équa diff que je présente se résoud bien numériquement, et j'observe un phénomène de résonance lorsqu'on s'approche de w0, mais bon ça reste dans le domaine de la conjecture.

[invite58a61433]

Et il n'y aurait pas moyen de construire une équa diff sur une autre grandeur que y (l'angle entre les ressorts et l'horizontale par exemple) qui serait plus simple c'est peut-être bête mais ça m'est venu comme ça, pas le temps de regarder pour l'instant, peut-être dans la soirée.

[invitec053041c]

Et il n'y aurait pas moyen de construire une équa diff sur une autre grandeur que y (l'angle entre les ressorts et l'horizontale par exemple) qui serait plus simple c'est peut-être bête mais ça m'est venu comme ça, pas le temps de regarder pour l'instant, peut-être dans la soirée.

Bien j'y ai pensé aussi, mais à vue de nez comme la trajectoire sera rectiligne, on va se retrouver avec du cos ou sin(theta) pour exprimer ne serait-ce que le poids ou la force à intensité harmonique.
Je vais m'y pencher également, mais c'est vrai que c'est fou comme ça peut se compliquer en deux coups de cuiller à pot !

[invite4b9cdbca]

Forcément, tout le problème réside dans les équadiff non linéaires.

Mais je te soumets une idée, mais je ne sais pas trop ce qu'elle vaut.

Tu fais un DL des termes de l'équadiff, et tu vois la réponse à une excitation, mettons, sinusoïdale. Et après, tu développes davantage ton DL, et tu vois l'influence de l'ordre du DL sur la tête de ta sinusoïde (je promets rien).

A un moment, je pense que développer davantage n'ajoutera plus grand chose au terme de régime permanent. (espérons-le)



Sinon pour mon idée de ressorts, (toujours ^^) pour l'équadiff ce sera pas trop utile car tu va tomber sur l'équation de d'Alembert (équation de propagation d'une onde). Donc bof bof.


En parlant d'onde, tu peux encore observer la modélisation suivante : supposons que ton pont soit très court, et qu'un seul soldat le piétine à intervalle régulier.

A chaque pas, une onde de déformation est créée dans le matériau, et se propage disons vers le bas. Une fois arrivée au bout du pont, l'onde en question se réfléchit et revient vers le haut, et "s'ajoute" aux autres ondes que le soldat engendre en tapant du pied.

Si tu y ajoutes un phénomène d'amortissement, tu devrais avoir une première approche de ce que fais le bout du pont.

Ensuite, en supposant le pont incompressible (même si ça colle pas avec ce qui précède, mais tant pis), tu regardes comment réagiraient les morceaux adjacents, en supposant qu'il y a une force de rappel élastique et verticale entre chaque bloc.

Bon voila mon idée. Je sais pas si j'ai été très clair, mais je me tiens à ta disposition pour des explications.

Cordialement.


PS : je précise que j'ai pondu ça un peu au feeling, donc même si les calculs aboutissent, c'est pas dit que ce soit scientifiquement juste. Faut encore que je voie ça.

[invitec053041c]

Oui ce sont de bonnes idées que tu as là kron !
Il faut vraiment que je me mette aux ondes et à leur progression, car mes connaissances y frôlent la nullité .
Ce qui est intéressant c'est en effet de proposer plusieurs petits modèles avec chacun ses points faibles et ses points forts !

[invite4b9cdbca]

Et t'inquiète pas, tu auras une bonne dose d'ondes en spé, théoriquement.
Cependant, comme tu risques de les faire assez tard (il faut les connaissances d'EM, de méca, de méca flu), ça fait pas de mal de s'avancer un peu pour les tipe!

[invitec053041c]

Oui tu as raison, je suis bête ! J'ai le souvenir de 3/2 qui avaient une khôlle sur les ondes et les interférences .
J'achèterai un bouquin de physique à la rentrée, donc je travaillerai grâce à ça et à ce forum .

[invite58a61433]

Oui et il y a d'autres questions qui se posent en particulier comment veut tu que ta force s'applique dans le cas, je précise ma pensée, tu veux une force qui s'appliquerait en un point précis du pont (petit nombre de soldat réparti sur une petite surface), sur plusieurs point précis, ou sur une surface continu, parce que dans le cas de point j'ai peut-être une idée mais il y a deux trois petits problèmes qui me viennent à l'esprit au moment ou je tape ce post donc en fin de compte c'est peut-être pas si bon que ça.

Et puis aussi quel forme de pont veux tu considéré, pour savoir quel approximation il est possible de faire, les questions sont donc le pont est-il large ou pas tellement, est-il "épais", y a t-il des structures pour le maintenir (comme un viaduc par exemple) ou enjambe t-il tout d'un coup? Bon c'est vrai que tout ça commence à être en dehors du cadre de la modélisation par des ressorts (quoique) mais je pense qu'il y a de quoi creusé.

[invitec053041c]

Oui tu as raison qu'il y a de quoi approfondir (ie compliquer la réflexion ).
Voici la "photo" du pont qui se serait effondré sous la cadence des soldats:l
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pont_de...se-Cha%C3%AEne

C'était en effet un pont suspendu ! Ca risque de devenir plus ardu que je ne le pensais .

Sinon, ma première modélisation (au début de ce post), concerne un petit groupe de soldat qui agit au milieu du pont, on pourrait envisager aussi l'avancée des soldats sur le pont, mais là aussi cela risque d'être folklo niveau équa diff !
Car déjà que ma première analyse sur la résonance était plutôt approximative (pourquoi est-ce que c'est ce w0 qui fonctionne ? ), alors là pour envisager à quelle fréquence ils devront ne pas marcher...!

Bref, ça peut devenir aussi intéressant que compliqué.

Merci pour l'intéret que vousme portez en tout cas.

[inviteaeeb6d8b]

Re

À Ledescat :

Je te filerai les e-mail de mes deux potes, ce sera plus simple Tu leur diras simplement que tu viens de ma part.

Pour la méthode d'Euler, programme là sur Excel (ou sur n'importe quel tableur). Ca va très vite (mais les résultats sont pas convaincants – je me répète !)
Si tu veux une solution approximative sous forme de polynôme, tu tapes series ou serie à la place de numeric dans ton programme maple. Il me semble qu'il suffit de taper par exemple : ... , series, 8) pour que le polynôme soit de degré inférieur ou égal à 8. Par contre le temps de calcul monte vite !

Fais une recherche sur le forum maths du sup, j'avais posé des questions à ce propos (méthode d'Euler et résolution maple).

As-tu fait une recherche sur d'anciens sujets de concours (type Mines ou Centrale) ? Ca peut te donner pas mal de pistes... Je suis sûr qu'il y a des sujets de physique qui traitent de ce domaine.


Pour kron et Ledescat :
en MP, il n'y a pas de méca flu... Je pense qu'un TIPE doit quand même se baser sur un maximum de travail personnel, donc pas grave si tu bosses des domaines qui ne sont pas au programme de prépa


Pour kron : félicitations !!! (suite au MP)



Romain

[invite58a61433]

Car déjà que ma première analyse sur la résonance était plutôt approximative (pourquoi est-ce que c'est ce w0 qui fonctionne ? ), alors là pour envisager à quelle fréquence ils devront ne pas marcher...!

En fait je pense (intuitivement)qu'il ne doivent pas marcher à la fréquence des ondes stationnaires (ouais bon je me base peut-être un peu trop sur l'idée d'une corde), en effet si il marche à ces fréquences il se pourrait qu'il y ait une sorte d'interférence constructive et que les oscillations du pont deviennent assez fortes pour le mettre en danger

Pour déterminer "les fréquences stationnaires" il faut déterminer l'équation de propagation d'onde, pour une corde c'est pas trop compliquer juste un peu long, mais alors un pont ça doit être plus lourd si on prend en compte la dimension hauteur et largeur du pont. Bon après on trouve une solution sous la forme f(x+ct)+g(x-ct), pour un pont ça doit donner un truc du genre f(x+y+z+ct)+g(x+y+z-ct) mais en fait ça doit aussi dépendre de la fabrication du pont (est-il entièrement en bois ou par exemple acier et bois). Le problème c'est que l'équation de propagation est déterminée (dans le cas d'une corde donc je suppose que ça doit être pareil dans le cas d'un pont) pour de petites oscillations donc si on suppose que les "fréquences stationnaires" sont les fréquences de résonances alors l'équation de propagation doit permettre dans un cas simple de retrouver les fréquences de résonance mais il me parait difficile d'étudier le comportement du pont au voisinage de ces fréquences (dans le sens trouver l'équation du mouvement du pont).

Ah oui je précise qu'il est possible que ce que je dit ne soit que des conn*ries mais bon je dit juste ce qui me vient à l'esprit. Et puis désolé pour la "non-structuration" du message je m'y perds à la relecture.

Merci pour l'intéret que vousme portez en tout cas.

Il faut avouer que c'est vraiment intéressant comme sujet, et puis dans mon cas c'est une peu ma vengeance sur ce que je n'ai pas pu traiter dans mon mémoire cette année qui faisait aussi intervenir des phénomènes de résonance.

[invitec053041c]

Je te filerai les e-mail de mes deux potes, ce sera plus simple Tu leur diras simplement que tu viens de ma part.

Merci c'est gentil à toi !

Pour la méthode d'Euler, programme là sur Excel (ou sur n'importe quel tableur). Ca va très vite (mais les résultats sont pas convaincants – je me répète !)
Si tu veux une solution approximative sous forme de polynôme, tu tapes series ou serie à la place de numeric dans ton programme maple. Il me semble qu'il suffit de taper par exemple : ... , series, 8) pour que le polynôme soit de degré inférieur ou égal à 8. Par contre le temps de calcul monte vite !

Oui, je pense que je vais me contenter de "numeric" car c'est pas une si mauvaise approximation (ça a un comportement cohérent loin dans le temps).
Je regarderai du côté des concours, il doit très certainement y avoir des choses intéressantes de ce côté! (des fois un changement de variable ça change la vie...)

en MP, il n'y a pas de méca flu... Je pense qu'un TIPE doit quand même se baser sur un maximum de travail personnel, donc pas grave si tu bosses des domaines qui ne sont pas au programme de prépa

Oui étant donné que c'est un travail personnel...
En plus, je rêverais d'aller aux ponts, donc ils seraient peut-être contents (ou pas du tout ).

Pour déterminer "les fréquences stationnaires" il faut déterminer l'équation de propagation d'onde, pour une corde c'est pas trop compliquer juste un peu long, mais alors un pont ça doit être plus lourd si on prend en compte la dimension hauteur et largeur du pont. Bon après on trouve une solution sous la forme f(x+ct)+g(x-ct), pour un pont ça doit donner un truc du genre f(x+y+z+ct)+g(x+y+z-ct) mais en fait ça doit aussi dépendre de la fabrication du pont (est-il entièrement en bois ou par exemple acier et bois). Le problème c'est que l'équation de propagation est déterminée (dans le cas d'une corde donc je suppose que ça doit être pareil dans le cas d'un pont) pour de petites oscillations donc si on suppose que les "fréquences stationnaires" sont les fréquences de résonances alors l'équation de propagation doit permettre dans un cas simple de retrouver les fréquences de résonance mais il me parait difficile d'étudier le comportement du pont au voisinage de ces fréquences (dans le sens trouver l'équation du mouvement du pont).

Tu as de très bonnes idées, je ne sais pas ce que je ferais sans FSG . Les profs nous conseillent fortement d'avoir des contacts pour entreprendre son TIPE, ben mon contact c'est ce forum, et c'est pas des moindre .
Bref, pour revenir au sujet, il est clair qu'après avoir présenté un modèle assez grossier (avec quelques ressorts), on peut chercher du côté des ondes stationnaires.
En tapant "résonance" dans wikipedia, il y a une petite animation de corde vibrante qui prend exactement le même aspect que celui d'un pont oscillant (voir la vidéo du pont de Tacoma sur Youtube,là c'était à cause du vent).
Il est vrai qu'à partir du moment où la structure entre en résonance, ça devient très difficile à modéliser, mais ça peut être un point à approfondir quant à la "stabilité,limite".
Ah oui au fait ! ce pont faisait 102m de long et était suspendu ...

Il faut avouer que c'est vraiment intéressant comme sujet, et puis dans mon cas c'est une peu ma vengeance sur ce que je n'ai pas pu traiter dans mon mémoire cette année qui faisait aussi intervenir des phénomènes de résonance.

D'accord .

Merci à vous.

[inviteaeeb6d8b]

un pdf de l'ENS Cachan qui pourrait t'intéresser

EDIT : On dirait que le lien ne marche pas ...

[inviteaeeb6d8b]

Le sujet de physique MP 2002 des ENS devrait parfaitement te convenir

ici, et tu cliques sur sujet (en face de physique pour les épreuves écrites).



Have fun !


Romain

EDIT : les sujets de maths sont pas mal non plus...

[invitec053041c]

Non mais toi ! Tu es un DIEU .
Même en cherchant 2 semaines j'aurais jamais réussi à trouver ceci ! Ca correspond tout pile à ce qu'on cherche... Bon, maintenant il faut que je fasse en sorte que les examinateurs ne se souviennent plus de ce sujet .
Non mais de toutes les manières j'ai en tête de personnaliser pas mal le truc quand même.

En tout cas mille merci romain.

[inviteaeeb6d8b]

Non mais toi ! Tu es un DIEU .

Même en cherchant 2 semaines j'aurais jamais réussi à trouver ceci ! Ca correspond tout pile à ce qu'on cherche... Bon, maintenant il faut que je fasse en sorte que les examinateurs ne se souviennent plus de ce sujet .
Non mais de toutes les manières j'ai en tête de personnaliser pas mal le truc quand même.

Tu passeras les concours en 2008, 6 ans après ce sujet... Et puis, si ce sont les Ponts qui t'intéressent, tu feras ton oral de TIPE pour le tétraconcours, pas pour les ENS (à moins que tu changes d'avis )

En tout cas mille merci romain.

Que mille ?!

Y a plus qu'à te souhaiter bon courage, parce qu'un problème des ENS quand on vient de finir sa sup (déjà que quand on a fini sa spé, c'est )



Romain

[invitec053041c]

Tu passeras les concours en 2008, 6 ans après ce sujet... Et puis, si ce sont les Ponts qui t'intéressent, tu feras ton oral de TIPE pour le tétraconcours, pas pour les ENS (à moins que tu changes d'avis )

Oui mais on ne crache pas sur une ENS non plus (on m'a dit que Cachan était la "plus accessible" des ens) . Enfin d'ici là...

Y a plus qu'à te souhaiter bon courage, parce qu'un problème des ENS quand on vient de finir sa sup (déjà que quand on a fini sa spé, c'est )

Oui certainement, mais on a au moins le support, et je pourrais me faire aider par mon prof de physique l'année prochaine, puis il y a des gens très très calés ici, donc je ne me fais pas trop de soucis...


Merci encore. (ça fait 1001 )