PGCD spe maths

[invitedf60503e]

J'ai un petit problème avec un exo sur lequel je bloque, donc ben je vais commencer par metre l'énnoncé, puis exposer mes pistes.

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1) Montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux.
2) On pose T = n+3 et Q = 2n+1 et on note P le PGCD de T et Q.
a) Calculer 2T - Q et en déduire les valeurs possibles de P.
b) Démontrer que T et Q sont multiples de 5 si, et seulement si, (n-2) est multiple de 5.


Donc je pense avoir réussi pour la question 1, mais je bloque sur la 2. Je vais déja mettre ma résolution de la question 1 :

1) Il faut montrer que PGCD (n ; 2n+1) = 1

soit d divise n et 2n+1
donc d divise 2(n) -1(2n+1)
d divise donc -1

donc d peut - être uniquement égal à 1.

Donc PGCD (n ; 2n+1) = 1 , donc n et 2n+1 sont premier entre eux

Voila dites moi si cela est corect

2) Et la je bloque, besoin de pistes et d'aide !

Merci d'avance !
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[invitebfd92313]

Pour la première c'est bon, pour la deuxième, tu remarques que 2T-Q est une combinaison linéaire de T et Q, qu'est-ce que tu sais du pgcd de T et Q ?

[invitea3eb043e]

C'est en spé, ça ?
Que trouves-tu pour 2 T - Q ?
Si P est le PGCD, alors T = P T' et Q = P Q'
Que vaut alors 2 T - Q ? Que conclus-tu ?

[invitedf60503e]

Je vous suis pas !

2T - Q me donne 5

donc les valeurs possible de P, c'est uniquement 5 ? non ?

Mais après ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf60503e]

Help !!!!!!

[invitebfd92313]

quelle propriété pourrait relier une combinaison linéaire de deux nombre et leur pgcd ?

[danyvio]

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1) Montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux.
1) Il faut montrer que PGCD (n ; 2n+1) = 1

soit d divise n et 2n+1
donc d divise 2(n) -1(2n+1)
d divise donc -1

donc d peut - être uniquement égal à 1.

Donc PGCD (n ; 2n+1) = 1 , donc n et 2n+1 sont premier entre eux

Voila dites moi si cela est corect
!

Pourquoi compliquer ? Supposons que d > 1 divise n ; il divise donc 2n. Le reste de la division de 2n+1 = 1
d ne divise donc pas 2n +1.

[invitedf60503e]

Pour la question 1, y a pas de soucis, mais pour la question 2, je vois vraiment pas comment procédé !

[invite1237a629]

Pour la 2.a), fais comme ils te disent, calcule 2T-Q.
Or, P étant le pgcd de T et Q, il divise T et Q. Donc il divise leur différence, de même qu'il divise 2T-Q.

[invitedf60503e]

2T - Q c'est 5 !

donc P divise 5, c'est ça que vous dites ?

donc P peut être égal à -1,1,-5 ou 5 ?

[invite1237a629]

2T - Q c'est 5 !

donc P divise 5, c'est ça que vous dites ?

donc P peut être égal à -1,1,-5 ou 5 ?

Exact

Sauf que généralement, on se cantonne à pour les pgcd, mais c'est à toi de voir.

[invitedf60503e]

Pour la question b, je suis en trin de chercher d'ou ils trouvent le (n-2) . Forcement c'est une relation entre Q et T, donc entre n+3 et 2n + 1

[invitedf60503e]

Dire que Q et T sont multiple de 5, comment on peut l'écrire, sous qu'elle forme ??

[invite1237a629]

Pour la question b, je suis en trin de chercher d'ou ils trouvent le (n-2) . Forcement c'est une relation entre Q et T, donc entre n+3 et 2n + 1

2n+1 = n + n + 1.

Si tu essaies de faire apparaître n+3, qu'obtiendras-tu ?

[invitedf60503e]

2n + 1 = n + n + 1
n + 3 = n + 3 (lol)
donc 2n +1 -(n+3) = n + n + 1 -(n + 3) = n - 2

donc dire que n+3 et 2n +1 sont multiple de 5, c'est dire que 2n+1 - (n+3) est multiple de 5, donc que n-2 doit etre multiple de 5, c'est ça ?

[invitee4135479]

salam,
pour montrer que n et 2n+1 sont premiers entre eux, il suffit d'appliquer le théorème de Bézout.
a et b sont premiers entre eux, si il existe u et v dans Z tq au+bv=1. ( ie pgcd(a;b)=1).
alors on applique ce théorème on a -2).n+(1).(2n+1)=-2n+2n+1=1. d'ou il existe (-2;1)£Z tq -2n+2n+1=1. ===> pgcd(n;2n+1)=1.

tanmirt

[invitee4135479]

salam:
pour 2) a) on a d'après le théorème de Bézout.
on a 2T-Q=5 et pgcd(T;Q)=p donc p/T il existe k£Z tq T=pk de meme P/Q il existe l£z tq Q=pl.
donc 2T-Q=2pk-pl=5 ==>p(2k-l)=5 ==> pk'=5 ou k'=(2k-l)£Z. finalement pk'=5 ==> p/5 ( p divise 5 ).
pour b):
on 5/ Q ET 5/T COMME AVANT IL EXISTE k et l dans Z tel que Q=5k et T=5l;
on a Q-T=n-2=5k-5l=5(k-l)=5m ou m=(k-l)£Z. finalement on a n-2=5m ==> 5/n-2 ( 5 divise n-2).

désolé pour ce retard.
tanmirt