Primitive et intégration par partie.

Tomtom · 31/10/2004, 16h29

Salut à tous,

Je suis devant un exercice où je cherche une primitive sur IR*+ de g(x) = (x*ln(x))/((1+x²)²).
Je dois procéder par intégration par partie, j'ai bien reconnu que x/((1+x²)²) est intégrable sur IR*+ et donnne (-1/2)*(1/(1+x²)) et la dérivée de Ln x est 1/x.
Ensuite je suis bloqué, je dois calculer la primitive de (1/x)*(-1/2)*(1/(1+x²)) je ne vois pas comment faire.
Sans forcément me résoudre l'exo pourriez vous me donner une piste pour repartir.
Merci de m'aider et bonne soirée.

Ganash · 31/10/2004, 16h36

Je ne suis pas certain que tu aies bien compris le sens de l'intégrale.
Calculer l'intégrale d'une fonction, c'est calculer sa primitive.
Pour l'IPP, il faut écrire :

$\int u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)] - \int u'(x)v(x) dx$
Le tout est de bien choisir ce que valent u(x) et v'(x)

**Coincoin** · 31/10/2004, 16h41

Salut,

Citation:

(1/x)*(-1/2)*(1/(1+x²))

Le plus simple reste la réduction en éléments simples pour transformer ton produit en somme de trucs d'intégrale connue : tu écris que $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1+x^2-x^2}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$ Ensuite, tu sais (normalement) intégrer...

**Coincoin** · 31/10/2004, 16h42

Ganash a peut-être raison, je n'ai pas vérifié ta 1ère IPP...

Ganash · 31/10/2004, 16h51

Si c'est bon ce que tu as dit Coincoin, je n'avais pas compris ce que TomTom voulait dire.

Tomtom · 31/10/2004, 17h01

Merci pour vos conseils,

Ganash j'avais choisi u(x)=Ln x
v'(x)=(-1/2)*(1/(1+x²))
pour ma 1ère IPP.

amidesanimo · 07/05/2006, 14h07

bonjour

j dois procéder à une intégration par partie pour calculer : l'intégrale de ((1/82)x*(e(-x/82)))
c super compliqué et si vs pouviez m'aider stp ...
esk vous savez lintégrale de (e(-1/82)) aussi ?
tenez moi o courant svp le + vite possible à l'adresse :
#####
merci d'avance

Ganash · 07/05/2006, 14h44

Bonjour.
Lorsque tu dois intégrer une expression de la forme :
P(x)*f(x)
Où P(x) est un polynôme de degré pas trop grand de préférence (au delà de 4 ça fait beaucoup) et f une fonction dont tu connais une primitive.
Alors tu dois toujours faire une Intégration Par Partie de manière à baisser le degré de ton polynôme.
Ici, tu dois donc choisir
u=P(x) u'=P'(x)
v'=f(x) v=une primitive de f(x)

L'avantage est qu'après ton intégration par partie, ton polynôme va devenir une constante qui ne te dérangera plus !

Amethyste · 07/05/2006, 15h08

on peut aussi ajouter que parfois plusieurs intégrations par parties sont nécessaires!

Max42 · 11/03/2008, 20h10

Citation:

Posté par Ganash

Je ne suis pas certain que tu aies bien compris le sens de l'intégrale.
Calculer l'intégrale d'une fonction, c'est calculer sa primitive.
Pour l'IPP, il faut écrire :

$\int u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)] - \int u'(x)v(x) dx$
Le tout est de bien choisir ce que valent u(x) et v'(x)

Voila pr ma part mon integrale

$\int ln (x) / racine(x)$ de 1 a exp 2

Je pose u(x) = ln (x) sa derivée etant 1/x et v'(x) etant racine de x cependant je ne trouve pas sa primitive ... je dois etre un peu bete parce que ca doit etre simple, par ailleurs comment faire ensuite ? Utiliser la formule citée par Ganash meme si ma fonction est 1 quotient ?

Ganash · 11/03/2008, 20h49

Il ne faut pas faire d'IPP ici.
Je te conseille de faire le changement de variable u=racine(x) (reste à calculer du et à modifier les bornes), de te rappeller de la formule ln(u²)=2ln(u) et du fait que xln(x)-x est une primitive de ln(x).
Avec ça, tu as tout

God's Breath · 11/03/2008, 21h03

Citation:

Posté par Max42

v'(x) etant racine de x cependant je ne trouve pas sa primitive ...

Étant donné que $\sqrt x = x^{1/2}$ une (pas sa) primitive en est $\frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{2}{3}x\sqrt x$ ...

Max42 · 11/03/2008, 21h11

Ouais j'ai fait une IPP en partant du fait que c'etait ln (x) x 1/racine x

ce qui me permet de trouver, cependant je bloque dans l'integrale de l'IPP $\int u'(x) v(x)$ je ne trouve pas la primitive de ce bloc pr resoudre apres ... peut etre pas necessaire de faire une IPP c'est vrai mais bon !

God's Breath · 11/03/2008, 21h29

Citation:

Posté par Max42

Ouais j'ai fait une IPP en partant du fait que c'etait ln (x) x 1/racine x

ce qui me permet de trouver, cependant je bloque dans l'integrale de l'IPP $\int u'(x) v(x)$ je ne trouve pas la primitive de ce bloc pr resoudre apres ... peut etre pas necessaire de faire une IPP c'est vrai mais bon !

$\int \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx$ est de la forme $\int u(x)v'(x)\,dx$ avec
– $u(x) = \ln x$ , donc $u'(x) = \frac{1}{x}$ ;
– $v'(x) = \frac{1}{\sqrt x}$ , donc $v(x) = 2\sqrt x$ .

L'intégration par parties fournit :
$\int \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 2\sqrt x \ln x - \int \frac{2}{\sqrt x}\,dx = 2\sqrt x \ln x - 4 \sqrt x + C^{te}$

Ganash · 11/03/2008, 21h34

Au passage, si tu tiens vraiment à faire ton IPP, $u(x)v'(x)=ln(x) \sqrt{x}$ d'après tes notations, ce qui n'est pas l'intégrale à calculer...

Sinon tu veux calculer :

$\int_1^{e^2} \frac{ln(x)}{\sqrt{x}} dx$
On pose $u=\sqrt{x}$ , donc $du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$
Donc $x=u^2$ et $dx=2udu$
On remplace :

$\int_1^{e^2} \frac{ln(x)}{\sqrt{x}} dx=\int_1^e\frac{ln(u^2)}{u}2u du=\int_1^e 4ln(u)du=4[ulnu-u]_1^e=4$ à erreurs de calcul près !

God's Breath · 11/03/2008, 21h43

Il est certain que le changement de variable est ici bien plus simple que l'intégration par parties.
Il y a un doigté à avoir dans le calcul des intégrales pour choisir les méthodes les plus efficaces.

Max42 · 11/03/2008, 22h46

Citation:

Posté par God's Breath

$\int \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx$ est de la forme $\int u(x)v'(x)\,dx$ avec
– $u(x) = \ln x$ , donc $u'(x) = \frac{1}{x}$ ;
– $v'(x) = \frac{1}{\sqrt x}$ , donc $v(x) = 2\sqrt x$ .

L'intégration par parties fournit :
$\int \frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 2\sqrt x \ln x - \int \frac{2\sqrt x}\x,dx = 2\sqrt x \ln x - 4 \sqrt x + C^{te}$

ca serait pas plutot ca pr l'IPP (integrale de droite) car je comprend pas comment on passe de integrale de (1/x) x (2 racine de x) a sa primitive, je suis certainement un peu juste au niveau des integrales et primitives pour le moment ca fait meme pas 1 semaine qu'on a commencé ...

God's Breath · 11/03/2008, 23h04

Citation:

Posté par Max42

ca serait pas plutot ca pr l'IPP (integrale de droite) car je comprend pas comment on passe de integrale de (1/x) x (2 racine de x) a sa primitive, je suis certainement un peu juste au niveau des integrales et primitives pour le moment ca fait meme pas 1 semaine qu'on a commencé ...

$u'(x)v(x) = \frac{1}{x}.2\sqrt x = 2.\frac{1}{\sqrt x}$ , et l'on est censé savoir qu'une primitive de $\frac{1}{\sqrt x}$ est $2\sqrt x$

Rappel : la dérivée de $\sqrt x$ est $\frac{1}{2\sqrt x}$