[Maths-Physique] [TS-L] quaternions,opérateurs, équations de Maxwell

**mtheory** · 06/06/2005, 23h49

A l'époque où Maxwell fut conduit à développer sa théorie des équations de l'électromagnétisme la notation vectoriel que l'on emploie aujourd'hui était inconnue et le concept même de vecteur n'était pas aussi répandu qu'aujourd'hui .En fait Maxwell et ses contemporains anglos saxons avaient plutôt tendance à utiliser les opérateurs divergence et rotationel des équations de Maxwell en utilisant le concept de quaternion,
Il en reste des traces même aujourd'hui comme on le verra

Je vais proposer quelques petits exercices avec des posst successifs et faire quelques commentaires autour pour introduire ces idées.Ce sera l'occasion de réviser quelques notions sur les nombres complexes et l'emploi/calcul d'opérateurs différentiels.

Le début sera accessible à des TS et la fin devrait normalement être profitable à des étudiants de niveau L2/L3.

Les quaternions n'ont l'air de rien mais ils contiennent en germe les spineurs de la MQ et même la supersymétrie (algèbre de Clifford).En outre ils sont utilisés en infographie et en robotique à cause du traitement aisé qu'ils permettent des rotations 3D.

Le découvreur des quaternions c'est l'irlandais Hamilton.

http://encyclopedie.snyke.com/articl..._hamilton.html

On sait que les nombres complexes peuvent s'interpréter dans le plan comme un point de celui-ci et qu'ils sont reliés aux opérations de translations ,de rotations et même au dilatations dans les homothéties,en un mot ce sont des outils puissants pour traiter des similitudes dans le plan.
Beaucoup de concepts géométriques centraux sont donc contenus dans les nombres complexes ,en outre on y voit une connexion de plus entre géométrie et arithmétique.

Il semble donc naturel de se poser la question de l'existence d'un calcul analogue DANS L 'ESPACE 3D , par exemple peut t'on introduire des nombres permettant de calculer sur les rotations dans l'espace comme on peut le faire dans le plan avec les complexes?.

Hamilton ,après des recherches infructeuses, trouva qu'il pouvait aboutir à son but s'il définissait d'abord un calcul dans l'espace 4D R⁴ et s'il abandonnait la commutativité de la multiplication.

Voyons ça de plus prés.

Posons $\text{[math]}$ =a1+bi où 1 représente l'analogue de i , on à bien 1²=1, i²=-1.

Maintenant posons: $\text{[math]}$ =a1+bi+cj+dk avec i²=j²=k²=-1 ij=k

Par analogie avec les nombres complexe posont $\text{[math]}$ =a1-bi-cj-dk.

Si l'on veut avoir la généralisation de $\text{[math]}$ =a²+b² que doit on avoir pour $\text{[math]}$ et quelles doivent être les propriétés des différents produits possible comme ik ,ij etc...pour cela.

Donnez le tableau de ces différents produits.

Soit $\text{[math]}$ =At1+Axj+Ayj+Azk et $\text{[math]}$ =Bt1+Bxj+Byj+Bzk

Calculer $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

**BioBen** · 07/06/2005, 00h24

Pour la première question on doit donc avoir $\text{[math]}$ = a² + b² + c² + d² ? J'ai compris ca comme ca et j'ai trouvé (jespere ne aps avoir fait ca un peu trop vite) :

quelles doivent être les propriétés des différents produits possible comme ik ,ij etc...pour cela.

1*i = i*1
1*j = j*1
1*k = k*1

i*j = - j*i donc i*j = k (donné) mais j*i = -k
i*k = - k*i alors j*i*k = -k² = -j² donc i*k = -j et donc k*i = j
j*k = - k*j de même i*j*k = k² = i² donc j*k = i et donc k*j = -i

Oulah ces derniers trucs là je me suis enmelé sur mon bout de papier au début ca avait aucun sens, mais là ca m'a l'air cohérent...

PS : ca fait du bien d'enfin utiliser des quaternions

J'en avais déja entendu parler mais jamais vu

PS2 = J'ai pas mis tout le développement mais pour ceux que ca interesse bah vous faites le dévellopement, y'a un peu tout qui se regroupe et les 4 carré sortent, y'a plus qu'à étudier quand est ce que tout le paquet restant vaut zéro.

**BioBen** · 07/06/2005, 00h34

Bon pour le reste :
Le Qa + Qb bah d'après ce que tu dis dans ton fil de présentation Hamilton a juste bidouiller les multiplications et pas les additions...donc c'est une addition toute bete (vlan je vais me planter là à tous les coups, mais bon j'ai l'excuse de l'heure)
$\text{[math]}$ =At1+Axj+Ayj+Azk et $\text{[math]}$ =Bt1+Bxj+Byj+Bzk
Donc
$\text{[math]}$ =1(At+Bt) + j(Ax+Bx) + j(Ay + By)+k(Az + Bz)

Et puis les multiplactions je laisse pour demain sauf si y'en a qui ont le courage entre temps

(faites gaffe aux signes quand même !)

PS : mtheory les balises [b] avec du TeX

c'est GALERRRRRRRRRREEE surtout à 1h36 du mat. Bon j'arrete jvais me coucher.

**mtheory** · 07/06/2005, 11h16

Envoyé par BioBen

Pour la première question on doit donc avoir $\text{[math]}$ = a² + b² + c² + d² ? J'ai compris ca comme ca et j'ai trouvé (jespere ne aps avoir fait ca un peu trop vite) :

Non ,c'est bien ça!

1*i = i*1
1*j = j*1
1*k = k*1

i*j = - j*i donc i*j = k (donné) mais j*i = -k
i*k = - k*i alors j*i*k = -k² = -j² donc i*k = -j et donc k*i = j
j*k = - k*j de même i*j*k = k² = i² donc j*k = i et donc k*j = -i

Félicitations,ça me semble correct:
Quelqu'un pourraît-il faire un tableau de tout ça?
Du genre:
_____1___i___j___k

1/ ___1___i

i/ ___i___-1

j/

k/

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mtheory** · 07/06/2005, 11h20

Envoyé par BioBen

PS : mtheory les balises [b] avec du TeX

c'est GALERRRRRRRRRREEE

Oui, je sais , en plus hier soir j'ai eu deux coupures et j'ai donc dû refaire le texte plusieurs fois.Je te conseil de faire des copier/coller des passages avec balise qui sont déjà dans les posts

**matthias** · 07/06/2005, 12h33

Envoyé par mtheory

Quelqu'un pourraît-il faire un tableau de tout ça?
Du genre:
_____1___i___j___k

1/ ___1___i

i/ ___i___-1

j/

k/

genre ça :

$\text{[math]}$

?

**mtheory** · 07/06/2005, 12h55

Envoyé par matthias

genre ça :

$\text{[math]}$

?

Tout à fait MERCI!

**BioBen** · 07/06/2005, 17h36

Je te conseil de faire des copier/coller des passages avec balise qui sont déjà dans les posts

Tu penses bien que j'ai eu l'idée de le faire après ! Non mais quoi j'allais pas tout rééecrire quand même !

Moi les plantages viennet du fait que j'ai le bouton Retour sur la souris et parfois je clique involontairement et hop, tout disparait. Enfin mainteant je prends l'habitude de copier mon message régulièrement.

Quelqu'un pourraît-il faire un tableau de tout ça?

Oui désolé j'avais vu que tu demandais un tableau mais bon j'avais aps vraiment le courage et je savais pas comment le faire en TeX (et j'aillais la flemme d'aller chercher les balises à mettre), j'ai essayé de la faire le plus clairement possible

Merci matthias.

L'addition est bonne ? (message #3)
Personne a eu le courage de faire les multiplications ?? Bon bah je m'y colle plus tard dès que j'ai un peu révisé mes examens.

**BioBen** · 07/06/2005, 19h38

Qa * Qb

AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AzBz + AxBy + AzBt - AyBx]

**doryphore** · 07/06/2005, 19h41

Oui l'addition est bonne mais je me demande si Mtheory ne voulait pas plutôt dire: $\text{[math]}$

**doryphore** · 07/06/2005, 19h47

Envoyé par BioBen

AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AzBz + AxBy + AzBt - AyBx]

Tout à fait d'accord...

**BioBen** · 07/06/2005, 19h47

je me demande si Mtheory ne voulait pas plutôt dire:

Oui je crois qu'il voulait dire ca .... J'ai réécris son erreur puisque j'ai copié son message pour avoir les balises à disposition

.
Enfin bref ca change juste le premier j en i, pas de quoi en faire un drame

J'avais compris le principe, et puis bon l'addition ca a pas l'air d'être la chose la plus cimpliquée avec les quaternions.

Tout à fait d'accord...

Ouf avec mon stylo qui écrit à moitié j'avais peur de prendre les z pour des t en recopiant. Thanks.

**BioBen** · 07/06/2005, 22h14

$\text{[math]}$

BtAt - BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ BtAx + BxAt + ByAz - BzAy]
+ j [ BtAy + ByAt + BzAx - BxAz]
+ k [ BtAz + BzAt + BxAy - ByAx]

J'espere que c'est bon et j'attends la suite

**matthias** · 07/06/2005, 22h40

Envoyé par BioBen

AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AzBz + AxBy + AzBt - AyBx]

Envoyé par doryphore

Tout à fait d'accord...

Envoyé par BioBen

Ouf avec mon stylo qui écrit à moitié j'avais peur de prendre les z pour des t en recopiant. Thanks.

Et d'ailleurs, dans la dernière ligne il faut remplacer AzBz par AtBz

**BioBen** · 07/06/2005, 22h49

Et d'ailleurs, dans la dernière ligne il faut remplacer AzBz par AtBz

Oui j'ai revu mes feuilles et c'est bien un t et non un z.
Et puis c'est logique vu qu'il y a le AzBt y'a forcément aussi le AtBz...et puis en plus sinon ca fait un Az de trop et il manquerait un At.

Bref, je me comprends

-----------------------------

Je récapitule tout :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ =At1+Axi+Ayj+Azk et $\text{[math]}$ =Bt1+Bxi+Byj+Bzk
Donc
$\text{[math]}$ =1(At+Bt) + i(Ax+Bx) + j(Ay + By)+k(Az + Bz)

$\text{[math]}$
AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AtBz + AxBy + AzBt - AyBx]

$\text{[math]}$
BtAt - BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ BtAx + BxAt + ByAz - BzAy]
+ j [ BtAy + ByAt + BzAx - BxAz]
+ k [ BtAz + BzAt + BxAy - ByAx]

**mtheory** · 08/06/2005, 11h59

Envoyé par BioBen

Oui j'ai revu mes feuilles et c'est bien un t et non un z.
Et puis c'est logique vu qu'il y a le AzBt y'a forcément aussi le AtBz...et puis en plus sinon ca fait un Az de trop et il manquerait un At.

Bref, je me comprends

-----------------------------

Je récapitule tout :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ =At1+Axi+Ayj+Azk et $\text{[math]}$ =Bt1+Bxi+Byj+Bzk
Donc
$\text{[math]}$ =1(At+Bt) + i(Ax+Bx) + j(Ay + By)+k(Az + Bz)

$\text{[math]}$
AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AtBz + AxBy + AzBt - AyBx]

$\text{[math]}$
BtAt - BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ BtAx + BxAt + ByAz - BzAy]
+ j [ BtAy + ByAt + BzAx - BxAz]
+ k [ BtAz + BzAt + BxAy - ByAx]

Bonjour ,j'ai réussi à me trouver une connexion temporaire(suis en déplacement).
Bravo!Et merci à tout le monde ,notamment pour avoir corriger mon erreur

On voit donc bien que la multiplication de deux quaternions n'est pas commutative.
Histoire de voir si on peut retomber sur des choses connues ,je rappelle que les quaternions sont en partie à l'origine des vecteurs et du calcul vectoriel, posez Bt=At=0, regardez ce qui se passe

et commentez.

**BioBen** · 08/06/2005, 17h46

posez Bt=At=0, regardez ce qui se passe

Tu aurais pu le dire avant ca m'aurait évité des calculs

$\text{[math]}$
- AxBx - AyBy - AzBz
+ i [ AyBz - AzBy]
+ j [ AzBx - AxBz]
+ k [ AxBy - AyBx]

$\text{[math]}$
- BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ ByAz - BzAy]
+ j [ BzAx - BxAz]
+ k [ BxAy - ByAx]

Je remarque...que la partie sur i de l'un est l'opposée de l'autre, tout comme sur j et k.
Ca indiquerait une rotation dans l'esapce ?
La première partie ("réelle") joue quel role ? (parce que là c'est la même)
Les quaternions se mettent sous forme exponentielle comme les complexes ? Le module est où (racine de {reelle² + "partie en i"² + "partie en j"² + "partie en k"²} ?)

**matthias** · 08/06/2005, 19h01

En posant:
$\text{[math]}$
on peut faire intervenir le produit scalaire et le produit vectoriel de ces vecteurs.

**BioBen** · 08/06/2005, 19h55

Ok alors si on reagrde avec un produit vectoriel et un produit scalaire on obtient :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
(car le produit scalaire est commutatif)

**doryphore** · 08/06/2005, 22h23

Il y a peut être un truc à voir qui a un rapport avec le message #1, mais je n'en dis pas plus...

**BioBen** · 08/06/2005, 22h37

Il y a peut être un truc à voir qui a un rapport avec le message #1, mais je n'en dis pas plus...

Bah en fait j'essaie un peu de visualiser : supposons que les 2 vecteurs soient orthogonaux, alors le produit scalaire est nul, mais par contre le produit vectoriel permet de faire une rotation d'angle Pi/2 ou -Pi/2.
Par contre j'avoue avoir un peu de mal ce soir à m'imaginer la combinaison des deux, mais bon ca doit être pour pouvoir faire toutes les sortes de rotations en 3D...

**mtheory** · 09/06/2005, 19h00

Envoyé par BioBen

Tu aurais pu le dire avant ca m'aurait évité des calculs

Salut!

Eh ben non, les bénéfices de l'exercice auraient été perdus.
Effectivement, on voit que l'on retombe sur le produit scalaire et le produit vectoriel en 3D, et justement i,j,k peuvent s'interpréter comme les vecteurs de base auxquels on est habitués.
C'est pourquoi l'emploi des quaternions ,bien qu'ayant stimulé le développement de notre calcul vectoriel moderne, a été relégué au second plan à la fin du 19 ème siécle.
Comme tu l'as bien vu autant partir directement d'un quaternion de la forme $\text{[math]}$ =A_xi+A_yj+A_zk .

La notation i,j,k est tout de même restée.

En fait, on peut considérer que $\text{[math]}$ =a+v où a est un scalaire et v un vecteur 3D.Par analogie, on parle de partie réelle (a) et 'imaginaire pure' (v).

A

1)Justement,un nombre complexe peut se voir comme un couple de nombres réels.
J'affirme qu'on peut écrire un quaternion comme une certaine combinaison linéaire de nombres complexes.

Donner cette combinaison (on utilisera le tableau précédent pour cela).

2)Si l'on veut introduire un calcul sur les quaternions similaire à celui sur les complexes il nous faut définir l'inverse d'un quaternion.
Le construire (indication utiliser $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ).

3)On a vu que les quaternions ne respectent pas la règle de la commutativité du produit, quid de celle sur l'associativité?

(On verra la question des rotations dans pas longtemps mais on peut déjà dire qu'une généralisation de la formule d'Euler peut être trouvée

)

B

Enfin (L1/L2) pour faire un début de connexion avec les opérateurs différentiels:

1) rappeler l'expression de la différentielle totale d'une fonction F(x,y,z) et son lien avec l'opérateur gradient.

2)Calculer (toujours avec les quaternions)

( $\text{[math]}$ i+ $\text{[math]}$ j+ $\text{[math]}$ k ) $\text{[math]}$ (A_xi+A_yj+A_zk) .

Interpréter.

**doryphore** · 09/06/2005, 20h43

Envoyé par mtheory

A

1)Justement,un nombre complexe peut se voir comme un couple de nombres réels.
J'affirme qu'on peut écrire un quaternion comme une certaine combinaison linéaire de nombres complexes.

Donner cette combinaison (on utilisera le tableau précédent pour cela).

2)Si l'on veut introduire un calcul sur les quaternions similaire à celui sur les complexes il nous faut définir l'inverse d'un quaternion.
Le construire (indication utiliser $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ).

3)On a vu que les quaternions ne respectent pas la règle de la commutativité du produit, quid de celle sur l'associativité?

(On verra la question des rotations dans pas longtemps mais on peut déjà dire qu'une généralisation de la formule d'Euler peut être trouvée

)

Je ne suis pas sûr que je m'y sois bien pris mais la question 3 m'a fait revoir les produits mixtes et les doubles produits vectoriels...
Il y a peut être plus rapide ?

**mtheory** · 09/06/2005, 21h53

Envoyé par doryphore

Je ne suis pas sûr que je m'y sois bien pris mais la question 3 m'a fait revoir les produits mixtes et les doubles produits vectoriels...
Il y a peut être plus rapide ?

Le plus rapide c'est d'utiliser la représentation $\text{[math]}$ _a=(a,A).

$\text{[math]}$ _a $\text{[math]}$ _b=(ab-A.B,aB+bA+A $\text{[math]}$ B)

pour ceux qui connaissent le produit vectoriel A $\text{[math]}$ B

**doryphore** · 09/06/2005, 22h13

Je pense que la combinaison linéaire de complexes permet de se dépatouiller aussi. Par contre il faut éviter absolument d'utiliser l'écriture en base (1,i,j,k) des quaternions, c'est indigeste!!!

**BioBen** · 09/06/2005, 22h58

Salut
Vous allez réussir à vous de mettre d'accord

?
Enfin toute facon je m'y remet samedi puisque là demain c'est exam de math et c'est pas super bien parti

et demain soir je dors (suis épuisé totalement HS)

$\text{[math]}$ <- Trop bien je le trouvais dans le pdf de LaTeX donc j'étais forcé de mettre X. D'ailleurs sachez (enfin vous le savez peut-être déja) qu'on en entend pas parler en Terminale du produit vectoreil...après on s'étonne que 80% d'une classe d'age à le bac, c'est sûr qu'en baissant le niveau tous les ans...bref
Les quaternions ont déja été au programme de Terminale ?

**mtheory** · 09/06/2005, 23h01

Envoyé par BioBen

Salut
Vous allez réussir à vous de mettre d'accord

?

Mais on est d'accord

**doryphore** · 11/06/2005, 11h52

Envoyé par mtheory

Mais on est d'accord

Tout à fait !!

invite09c180f9 · 14/06/2005, 20h22

Salut,
c'était juste pour savoir comment accéder à l'éditeur de formules svp!!!
Merci d'avance

**doryphore** · 15/06/2005, 10h45

Tout est indiqué sur ce fil:
http://forums.futura-sciences.com/thread12735.html

Bon courage!

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