Soit A un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi . est noté 1.
1) Soit nilpotent. Montrer que est inversible.
2)Si et x nilpotent, simplifier l'expression
.
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26/10/2005, 21h03
#2
invite2f886c49
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Je souhaite répondre à la question 1 ...
Si x est nilpotent, j'appelle alors n tel que , =1.
Or,
Il s'ensuit que
puisque A est un anneau.
On en conclut que 1 - x est inversible dans A.
26/10/2005, 21h48
#3
doryphore
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Attention, un élément x d'un anneau est dit nilpotent s'il existe un exposant p pour lequel , l'élément neutre de la loi "additive" et non pas 1, l'élément neutre de la loi "multiplicative".
Attention aussi au fait que l'anneau n'est pas a priori commutatif, donc tu n'as pas vraiment démontré l'inversibilité...
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26/10/2005, 22h11
#4
invite2f886c49
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
J'ai utilisé, dans ma démonstration, le fait que =0 ... j'ai fait une cocquille en tappant sur mon clavier à la première ligne
Ensuite j'utilise l'associativité de . pour justifier que et non la commutativité .
Il est vrai que ma démonstration n'est pas très rigoureuse ... je vais tâcher d'en trouver une autre ...
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
26/10/2005, 22h18
#5
doryphore
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Non, c'est très bien, seulement tu n'as pas vraiment montré l'inversibilité, je rappelle la définition de l'inversibilité:
Un élément x d'un magma associatif unitaire (E,*) est dit inversible s'il existe un élément y de E tel que: x*y=y*x=e où e est l'élément neutre de (E,*).
Tu comprendras mieux pourquoi, je parle de commutativité...
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26/10/2005, 23h00
#6
invite2f886c49
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Si j'ai bien compris, ce qui manque dans ma démonstration c'est que ce qui se justifie par le fait que . est associative et distribue l'addition.
26/10/2005, 23h05
#7
doryphore
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
C'est exact...et ce sont bien la distributivité et l'associativité qui permettent de justifier les identités remarquables dans un anneau.
La commutativité t'aurais permis de t'épargner d'écrire l'inversibilité à gauche, mais en L1, on commence à étudier des anneaux non commutatifs (Matrices) donc j'en profite pour en parler...
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26/10/2005, 23h12
#8
invite2f886c49
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Merci pour cette correction !
j'ai une question un peu bête mais que signifie L1 ?
26/10/2005, 23h24
#9
g_h
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Salut,
Ca veut dire "1ère année de licence"
27/10/2005, 00h08
#10
invite2f886c49
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Merci pour cette précision ...
13/11/2005, 17h57
#11
invitea1edae53
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
est que vous pouvez m'expliquer les anneaux
13/11/2005, 18h31
#12
doryphore
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Re : [Maths] [L1] Anneaux
Tu peux regarder les cours en ligne conseillés dans la bibliothèque des mathématiques de Martini-Bird en cliquant ici.
Si tu as des questions précises par la suite, poses les dans le forum de mathématiques ou pose-les moi en message privé.
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