Limitre d'une fonction avec exponentielle

[inviteaa8f7e46]

Bonjour
Je n'arrive pas à trouver

A chaque fois, je tombe sur une forme indéterminée....
Je ne devrai normalement pas avoir recours à ln
Pouvez vous m'aider?
a+
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[invite71b1f7de]

Bonjour
Si tu a vu la crossance comparée , tu devrais savor que :
X/exp(X) tend vers 0 lorsque X tend vers l'infini

Ici , il faut mettre exp(2x) en facteur tu as :
exp(2X) [ 1-2x/exp(2x)]
=exp(2X) [ 1-2x/exp(x)²]
=exp(2X) [ 1-(2x/exp(x))*(1/exp(x))]
2x/exp(x) tend vers O
1/exp(x) aussi

Donc [ 1-(2x/exp(x))*(1/exp(x))] tend vers 1

Donc exp(2X) [ 1-2x/exp(2x)] tend vers + l'infini
Soit

exp(2x) - 2x tend vers + l'infini

[inviteaa8f7e46]

Non je n'ai pas encore vu les croissances comparées
Merci pour l'aide! Quand on fait ce genre de choses, c'est a dire transformer une expression pour trouver autre chose qu'une forme indéterminée, il faut tâter par ci par la, ou bien il y a une réelle démarche à faire?
a+

[invite71b1f7de]

Il n'y a pas de réelle demarche
Le but etant de ne plus tomber sur des formes indeterminées , l faut savoir ( avec l'habitude) quel terme va dominer sur les autres et mettre en facteur celui dominant

On les dominances:

exp(x)/x tend vers l'infini en l'infini
x.exp(x) tend vers 0 en - l'infini
ln(x)/x tend vers 0 en l'infini
exp(x)/(x^n) tend vers l'infini en l'infini
ln(x)/(x^n) tend vers 0 en l'infini
(x^n).exp(x) tend vers 0 en - l'infini
(x^n).exp(-x) tend vers 0 en l'infini

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite95753ccc]

Tu va avoir besoin de l'integration pour la démo, mais je pense que c'est bon non?

On va calculer la lim de e^x/x

e^x/x = e^x/e^(ln(x)) = e^(x-ln(x) = e^(x.(1-ln(x)/x))

Alors c'est quoi la limite de ln(x)/x? bin c'est zéro et pour sa, il faut repasser par une autre limite! (c'est le lemme (et pas LEM))

NB: sqrt = racine carré (pour Square Root je crois)

t>sqrt(t)

1/t < 1/sqrt(t)

donc intégre (rien que sa!) entre 1 et x

ln(x) - ln(0)< 2.sqrt(x) - 2

ln(x) < 2.sqrt(x) - 2

ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x

pour x>1

0< ln(x)/x < (2.sqrt(x) - 2)/x

Or lim (2.sqrt(x) - 2)/x = 0 (je te laisse le faire!)

D'après le THM des gendarmes:

ln(x)/x = 0

Retour a notre fonction de départ: e^(x.(1-ln(x)/x))

en +OO, sa va tendre (en étape ici, mais sa se fait en une fois normalement!) vers e^x(1-0) (car ln(x)/x tend vers 0) donc en +OO

Finalement ta fonction était e^2x - 2x

On va prendre une fonction composée:

x => 2x=y => e^y - y

e^y - y = y.(e^y/y - 1)

x tend vers +OO, donc y aussi (car lim 2x = +OO)
y tend vers +OO et e^y/y aussi! tout le monde est contant!!

Enjoy!

[invite6a693c42]

Salutations, j'ai des problèmes moi aussi avec les limites, j'ai vu que vous parlez de la limite de X/exp(X qui est 0, comment pourrais-je le démontrer sans la croissance comparée svp

[invite00970985]

Juste pour revenir sur ces formules, un moyen simple "avec les mains" de s'en souvenir :
exp est le plus fort,
ln est un looser (dixit un de mes profs, j'ai adoré)

C'est à dire que si on a un exp multiplié à une puissance de x (positive,négative, entiere,réelle) , c'est l'exp qui va déterminer le comportement de la limite

A l'inverse, si on a ln multiplié à une puissance de x, c'est la puissance de x qui va jouer

Evidemment, cela ne constitue qu'un aide mémoire, absolument pas une preuve