Ecrire racine de 3 en fonction de racine de 2

Witten · 26/01/2006, 18h53

Bonjour,

Je dois démontrer par l'absurde que ceci n'est pas possible :

$sqrt{3} = a + b sqrt{2}$
a et b étant rationnel

Je n'ai aucune idée comment, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider.

Merci d'avance

**Coincoin** · 26/01/2006, 18h57

Salut,
Personnellement, j'éléverais au carré, puis je regrouperais les termes rationnels. Tu t'en rends compte alors qu'il te reste un terme en $ab \sqrt{2}$ . Il faudrait que ce terme làsoit rationnel aussi, donc au final il faudrait que $\sqrt{2}$ soit rationnel...

Witten · 26/01/2006, 19h20

C'est ce que j'ai écris pour le moment, mais j'étais pas sur si ça démontre réellement que racine de 3 ne peut pas s'écrire en fonction de racine de 2 (car notre professeur est très pointilleux là-dessus).

Merci pour ton aide Coincoin, ça doit surement être juste.

**matthias** · 26/01/2006, 19h24

Tu n'as pas l'air convaincu ...
Pourtant en mettant au carré, et en exprimant $\sqrt{2}$ en fonction de a et b, tu démontres rigoureusement que si ta relation initiale est vraie alors $\sqrt{2}$ est rationnel.
Sois tu sais déjà que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel et tu conclues ta démonstration par l'absurde, soit tu le démontres ...

Witten · 26/01/2006, 19h31

On a démontré avant que racine de 2 est irrationnel, maintenant je suis convaincu.

Merci