Cherchez l'erreur (fonctions de Green, résidus, contour de Feynman)

[Skippy le Grand Gourou]

Salut,

Je pense enfin avoir compris la méthode des résidus (j'entends déjà les mauvaises langues : "il t'a fallu que deux mois et demi ? ). Juste une petite vérification :le signe moins qui apparaît (ou pas) devant les deux hippies, dû au sens de parcours du contour d'intégration choisi, est en fait dicté par le sens de l'intégration sur l'axe réel (par exemple : contour fermé par le haut, et intégration sur l'axe réel de -oo à +oo, on parcourt donc dans le sens trigo et on a un signe +, mais si on intégrait de +oo à -oo ou si on fermait le contour par le bas ce serait le contraire), c'est ça ?

Enfin, je ne poste pas uniquement pour dire que je suis content, mais surtout parce que j'ai un problème de signe...

Voilà le problème : je cherche à retrouver le propagateur de Feynman en intégrant la fonction de Green G(x'-x) le long du contour F (euh... c'est pas pour le plaisir du calcul... ), bien connu je pense mais qu'au cas où je rappelle :

                              |Im(E)
                              |                             
                              |
                              |                     F
            -|p|             |  _______________
________x__________|/_________x______\__ Re(E)
  \________________/|             +|p|
                              |
                              |

(Il est pas beau mon dessin ? )

Je vais numéroter les équations, ça sera plus simple pour la réponse.

J'ai dans la fonction de Green (1) :


le terme en (2) :

qui diverge au deux pôles du schéma.

Pour t'>t, le demi-plan supérieur est interdit pour le calcul des résidus, car l'exponentielle tend vers l'infini. Je dois donc fermer le contour par le bas. Par conséquent, je le parcours dans le sens non-trigonométrique, et j'ai donc un facteur -2 hippies. Je peux donc, en vertu du fameux théorème, remplacer l'intégrale précédente par le résidu en +|p|, c'est-à-dire (3) :

Les deux signes - s'annulent et le résidu est donc positif. Je me sers ensuite de (4) :

pour réécrire ce résidu sous la forme (5) :

La somme allant de 0 à +oo, je peux multiplier par la fonction de Heaviside pour E, et grâce à la relation (6) :

j'en déduis que la somme précédente vaut (7) :

Et j'obtiens finalement une fonction de Green opposée à celle que je devrais trouver (8) :


Est-ce que quelqu'un voit où est l'erreur de signe ? J'ai beau faire et refaire les calculs, ça passe à la trappe...

Merci.

EDIT : Non, il est pas beau le dessin, et j'ai oublié de prévisualiser... J'essaye de faire ça avant la fin du chrono !
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[Skippy le Grand Gourou]

Bon, j'ai au moins eu le temps de corriger quelques erreurs...
Pour le dessin, ben c'est juste que le contour passe sous le pôle -|p| et au-dessus du pôle +|p|.

[Meumeul]

juste comme ca, quand tu fais des dessins en texte, mets les entre des balises de code, ca evite de voire disparaitre les espaces

### note de la modération : done, merci ! ###

[Stibium]

Euh... Si je comprends bien tes notations, il me semble que Q(E)=E^2-|p|^2, et donc Q' vaut +2E et non -2E, non?
Du coup dans (3) il reste bien un signe -...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Skippy le Grand Gourou]

Stibium > Merci !!! Je savais bien que ça devait être une erreur stupide : j'ai dérivé Q par rapport à |p|...

Meumeul > Merci du tuyau, j'essaierai d'y penser la prochaine fois.

Deep > C'est pas beaucoup mieux, mais merci quand même... Je prévisualiserai la prochaine fois, promis !