Géodésique prise dans une onde gravitationnelle !

[invité576543]

L'hypersurface de simultanéité représente-t-elle "quelque-chose" de tangent à l'espace-temps (4D)

C'est quoi ce truc? 1) On peut parler d'UNE hypersurface de simultanéité pour un système de coordonnées donné. 2) Une sous-variété ne peut pas être "tangente" à la variété.

, puisque localement la RG se décrit avec un espace-temps "plat", comme la terre vue par moi sera plate alors que vue de "l'espace" elle sera courbe.
Selon cette "équivalence", où s'arrête la comparaison?
Jusqu'où peut-on faire du proche en proche? Sinon, Peut-on aboutir, à partir d'un point de vue locale, et en "intégrant" de proche en proche, à un point de vue global? Une réponse sur cette question pourrait éclaircir les lacunes des arguments de Bergson sur la RG.

je ne suis pas sur de comprendre.

Quelques points:

Comme sur la sphère, la RG présente la particularité que la vision locale est la même en tout point (dans le cas de la sphère isotropie des directions pour tout point (métrique ++), dans le cas de la RG organisation des directions toujours la même, cône de lumière à la Minkowski, métrique +---). Mais on peut aboutir à la même "uniformité" sur un ellipsoïde en mettant une métrique isotrope en tout point.

La vision globale ne se dérive pas de la vision locale, mais de la relation entre visions locales de points proches (le tenseur de courbure). Une sphère est caractérisée par une courbure fixe, l'ellipsoïde a une courbure variable; cela ne se voit pas nécessairement dans la "vision locale" au premier degré , mais se voit au second degré, sur le tenseur de courbure (par exemple, ou la connexion, ou les coeffs de Christoffel).

Cordialement,
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[jojo17]

merci d'avoir quand même pris la peine de répondre michel.
laisse tomber (désolé de le dire), j'essayais juste de persévérer dans ma compréhension de ce p.....n de diagramme et tout ce qui va "dedans".
Mais bon, aujourd'hui, entre 2 "dossiers"... j'abandonne, je verrai cela plus tard.

A bientôt.

[invité576543]

merci d'avoir quand même pris la peine de répondre michel.
laisse tomber (désolé de le dire), j'essayais juste de persévérer dans ma compréhension de ce p.....n de diagramme et tout ce qui va "dedans".

Quel diagramme? Sur un site particulier? (Pas nécessairement pour discuter plus, juste pour que j'essaye de me faire une idée qu'est-ce qui peut bloquer, et aussi essayer de comprendre ce qui se cache derrière le vocabulaire.)

Cordialement,

[jojo17]

et bien, juste le schéma que j'ai mis dans le dernier message, ce que j'appelle,(à tord sûrement) diagramme de minkowski.
pour tenter de comprendre, en posant des questions...comme

on peut parler d'UNE hypersurface de simultanéité pour un système de coordonnées donné

Si on place deux événements (séparés par n'importe quel intervalle) sur l'hypersurface, le fait que nous soyons en espace-temps plat ne provoque-t-il pas une approximation du fait de la "réalité" courbe de cet espace-temps?

Merci michel en tout cas.

[invité576543]

J'ai peut-être un problème avec mon logiciel, mais je ne vois pas de diagramme dans le message de 11h53. Il y a bien le "ceci" qui laisse penser qu'il devrait y en avoir un, mais il n'y est pas. Peut-être pour ça que je n'ai pas compris la question?

Cordialement,

[invité576543]

Si on place deux événements (séparés par n'importe quel intervalle) sur l'hypersurface,

Si on prend une hypersurface de simultanéité (un volume, précisons ) pour un système de coordonnées donné, l'intervalle entre les deux événements est nécessairement de genre espace, pas n'importe quel.

le fait que nous soyons en espace-temps plat

Nous ne sommes pas dans un espace-temps plat d'après la RG, même approximativement! Le seul fait de sentir l'attraction de la Terre le prouve .

ne provoque-t-il pas une approximation du fait de la "réalité" courbe de cet espace-temps?

Si je comprends cela non pas comme "être dans un espace-temps plat", mais par "se croire dans un espace-temps plat" (grosse nuance ), alors oui c'est une approximation à cause de la courbure, et une grosse : les effets sont loin d'être négligeables.

Mais on compense partiellement ces effets par l'introduction d'une force gravitationnelle. Combiner espace-temps plat + gravitation newtonienne est l'approximation newtonienne de la gravitation. Ou encore, la gravitation à la Newton est une approximation de l'effet de la courbure, exprimé sur un espace-temps plat fictif.

Cordialement,

[invité576543]

Je crois que j'ai compris pour le diagramme : c'est à cause d'Adblock, configuré pour virer tout plein d'images inutiles pour moi sur une page Futura

Meilleure réponse: l'hypersurface représentée dans le diagramme n'est pas "tangente à l'espace-temps" du diagramme si celui-ci représente un espace affine. Mais si ce qui est représenté est l'espace vectoriel tangent, alors l'hypersurface est tangente à l'espace-temps affine, en tant que sous-espace du vectoriel tangent.

(Mais pour le vectoriel tangent, on n'écrirait peut-être pas "space", mais "spatial directions", non?)

Cordialement,

[invité576543]

Autre point: dans le diagramme en question, seul le cône de lumière a une signification physique. La direction temporelle et les directions spatiales sont arbitraires : elle définissent un observateur.

Ces diagrammes sont trompeurs parce qu'on a l'impression (causée par notre habitude de la géométrie euclidienne) que la direction temporelle et les directions spatiales sont déterminées par le cône (axe et plan bissecteur), mais ce n'est pas du tout le cas. On peut prendre d'importe quelle droite à l'intérieur du cône et la considérer comme "axe du cône" en géométrie hyperbolique. Un peu le même effet que la non-unicité d'une parallèle dans cette géométrie.

D'où ma remarque qu'on ne peut pas parler de l'hypersurface de simultanéité, mais qu'il faut parler d'une...

Cordialement,

[invite6754323456711]

Oui, c'est précisément l'image d'une fonction continue de R (ou d'un sous-ensemble connexe de R) vers la variété. Cette définition s'applique à toute dimension.

La définition comme image corresponds aux courbes paramétrées, comme t --> (a cos(t), b sin(t)) dans le plan euclidien.

La formule y=f(x) n'est qu'un cas particulier, x --> (x, f(x)) (en limitant l'espace de départ au sous-ensemble de définition).

Je me place dans un premier dans un espace-temps de dimension 2 qui n'est pas courbe. Il est donc constitué de la variété simple qui est

Si on part d'une courbe sur une variété qui est l'image de l'application différentiable :

La courbe peut être décrite par deux fonctions différentiables :




Qui en est son équation paramétrique.

La coordonnée est de genre temps et est de genre espace.

Donc pour définir la notion de géodésique il faut une métrique. Dans cet exemple on peut donc prendre la métrique de Minkowski de signature (-,+)

Comment s'expriment mathématiquement les différentes géodésiques : genre temps, genre espace et genre lumière ?

Patrick

[invité576543]

(...)

Tu te mets en espace-temps plat... Les géodésiques sont des droites (t, x+ut, y+vt, z+wt) avec u²+v²+w²<1 pour genre temps, =1 pour genre lumière, >1 pour genre espace, non? (Plus les droites du plan t=0, de genre espace)

(Tu adaptes pour la 2D, pas difficile)

Où est le problème?

Cordialement,

[invite6754323456711]

(Tu adaptes pour la 2D, pas difficile)

Je cherche à monter les gammes progressivement

Où est le problème?

Comprendre le sens du paramètre de la courbe qui ne peut être, pour une géodésique de genre lumière, le temps propre par exemple.

Patrick

[invite6754323456711]

Tu te mets en espace-temps plat... Les géodésiques sont des droites (t, x+ut, y+vt, z+wt) avec u²+v²+w²<1 pour genre temps, =1 pour genre lumière, >1 pour genre espace, non? (Plus les droites du plan t=0, de genre espace)

Tu sembles faire intervenir une notion de vitesse (notion relative) donc de déplacement non ?



Patrick

[invité576543]

Tu sembles faire intervenir une notion de vitesse (notion relative) donc de déplacement non ?

Pas vraiment. Une droite c'est une droite, et elle peut avoir une pente.

C'est toi qui a décrit x0 comme "temps" et x1 comme "espace", non? Cela peut amener à voir un rapport dx1/dx0 comme une "vitesse", certes. Mais c'est plaquer une interprétation sur la géométrie.

Je peux parler de la colonne h d'un plateau d'échec, ou de la diagonale h1-a8 (donc de distinguer plusieurs types de droites), sans parler de mouvement des pièces, non?

Cordialement,

[invité576543]

Comprendre le sens du paramètre de la courbe qui ne peut être, pour une géodésique de genre lumière, le temps propre par exemple.

Pour une géodésique de genre espace non plus!

Toute géodésique peut être paramétrée, cela consiste à mettre des petites marques! A part celle t=0, toutes peuvent être paramétrées par une variable de type "temps".

La particularité des géodésique de type temps c'est la paramétrisation canonique de genre temps, celle telle que =1. C'est pas avec qu'on peut obtenir ce 1. (Note : Je prends la signature +---.)

Et ensuite, on interprète cela comme le temps propre, ou plutôt comme le temps physique.

Il y a aussi une paramétrisation canonique pour le genre espace, avec =-1. On va l'interpréter autrement (longueur propre). Mais c'est encore une interprétation physique. En 2D c'est totalement arbitraire, d'ailleurs. Tu peux permuter ton x0 et et ton x1...

Pour ds=0 il y a une sorte de paramétrisation canonique, mais seulement à un facteur multiplicatif près. (En prenant les intersections avec le feuilletage défini par une géodésique de genre temps et son paramètre canonique; le facteur multiplicatif dépendant du choix de cette géodésique.) Tu peux interpréter comme une phase d'onde plane, le facteur multiplicatif est interprétable comme l'énergie.

Cordialement,

[ordage]

Comprendre le sens du paramètre de la courbe qui ne peut être, pour une géodésique de genre lumière, le temps propre par exemple.

Patrick

Salut

Efectivement le paramétrage d'une courbe n'est pas aussi trivial qu'il paraît.
En particulier pour une courbe de type lumière.
Mais dans ce dernier cas comme il n'y a pas de référentiel "propre" associé au photon dans lequel on pourrait définir des grandeurs physiques mesurables, ce paramètrage apparaît comme un intermédiaire qui s'élimine à la fin du calcul, car, par exemple,on va toujours calculer l'énergie (la fréquence si on pose h =1) du photon dans le référentiel (de type temps) d'un observateur, ce qui se fait en projetant le vecteur (nul) lumière sur le vecteur 4-vitesse (de type temps) de l'observateur (produit scalaire en RG des deux vecteurs).


Pour le paramétrage, ceci est expliqué par exemple en:
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG3F.htm#af

Cordialement

[invite6754323456711]

Efectivement le paramétrage d'une courbe n'est pas aussi trivial qu'il paraît.

Ce n'est effectivement pas immédiat.

Maintenant, en étudiant le cas général de distance entre deux points P et P' d'une variété C différentiable de dimension 4 avec g un champ tensoriel sur C (tenseur métrique) représentant une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et de signature (−,+,+, +).

En considérant le vecteur séparation infinitésimal DP^ associer au deux points et appartenant à l'espace vectoriel tangent en P à la variété C.

J'arrive à mieux comprendre en s'intéressant au carré de la distance entre P et P' vis-à-vis du tenseur métrique g : ds² = g(DP^, DP^), :

- Que le signe de ds² dépendant évidemment du genre du vecteur DP^ (produit scalaire <0, >0 ou nul)

- Mais surtout que lorsque la séparation entre les points P et P' n'est plus infinitésimale, il faut se donner une courbe reliant P et P' et définir la distance en intégrant l'élément sqrt(±ds²) le long de cette courbe. Le résultat obtenu dépend du choix de la courbe. il existe donc des courbes qui minimisent ou maximisent la distance entre P et P' : ce sont les courbes géodésiques.

Patrick

[invite6754323456711]

Le chemin est déterminé par intégration à partir de la distribution des distances entre chaque points voisins qui est caractérisé par le tenseur métrique Gij (r,t). Ce tenseur métrique qui définit la géométrie de l'espace-temps (la géométrie) est lui-même déterminée par le champ de tenseur énergie-impulsion Tij(r,t) qui représente les sources de gravitation.

C'est un point que je viens de comprendre. En RR, à la fois la variété C et la métrique g sont fixés à priori : C = R⁴ et g est la métrique de Minkowski.

Alors qu'en RG, ni C et ni g ne sont déterminés a priori. g est calculé en résolvant l'équation d'Einstein.

Patrick

[invité576543]

annullé le temps de réfléchir un peu plus...

[invite6754323456711]

annullé le temps de réfléchir un peu plus...

Sur ce point déjà :
C'est plutôt dans l'autre sens On définit le genre par le signe. Le point important est que la métrique n'est pas définie positive et donc peut prendre les deux signes. Une vraie métrique (euclidienne par exemple) est définie positive, et il n'y a qu'un seul genre.

C'est effectivement le fait que la métrique peut prendre les deux signes qui fait sens, le reste n'est que convention.

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je m'appuie sur le cours d'introduction à la RG d'Eric Gourgoulhon : http://www.luth.obspm.fr/~luthier/gourgoulhon/ que je trouve clair.

Maintenant effectivement comme ce n'est qu'une introduction il a du faire des raccourcis trompeur.

Patrick

[invité576543]

- Que le signe de ds² dépendant évidemment du genre du vecteur DP^ (produit scalaire <0, >0 ou nul)

C'est plutôt dans l'autre sens On définit le genre par le signe. Le point important est que la métrique n'est pas définie positive et donc peut prendre les deux signes. Une vraie métrique (euclidienne par exemple) est définie positive, et il n'y a qu'un seul genre.

- Mais surtout que lorsque la séparation entre les points P et P' n'est plus infinitésimale, il faut se donner une courbe reliant P et P' et définir la distance en intégrant l'élément sqrt(±ds²) le long de cette courbe.

Utiliser le mot "distance" est trompeur. La métrique n'étant pas définie positive, il n'y a pas de distance au sens fort du terme (au sens mathématique en particulier). Intégrer le long d'une courbe où ds² est de signe constant (ou partout nulle) peut avoir un sens, mais sur une courbe quelconque cela n'en a pas de clair. Cela amène l'existence de deux termes "la distance pour le genre espace", qu'on va appeler distance ou longueur, et "la distance pour le genre temps", qu'on va appeler durée. Je n'ai jamais vu d'application physique à sur une courbe quelconque (avec un signe de ds² variable)⁽¹⁾, et je ne sais même pas trop si cette intégrale a des propriétés mathématiques intéressantes.

il existe donc des courbes qui minimisent ou maximisent la distance entre P et P' : ce sont les courbes géodésiques.

Pas si simple. En Minkowski, il n'y a pas de couples de points qui sont joignables à la fois par une courbe de genre temps et par une courbe de genre espace. Du coup, on peut parler des paires séparées temporellement et de minimiser l'intégrale de le long des courbes strictement de genre espace; ou parler des paires séparées spatialement et maximiser l'intégrale de le long des courbes strictement de genre temps. Les courbes ayant ces propriétés sont des portions de géodésiques.

Mais attention, ce n'est pas réciproque. Par exemple sur le tore il y a une infinité de portions de géodésique qui joignent deux points, et on peut en trouver de longueur aussi grande que l'on veut.

Mais ce sont toutes des extréma locaux : si on prend une courbe (de genre défini) très proche d'une portion de géodésique, elle est de longueur plus grande ou de durée plus courte (ou égale, dans des cas vicieux).

Cordialement,

(1) Il y en a peut-être pour les trous noirs, mais là je décroche.

[invite6754323456711]

Utiliser le mot "distance" est trompeur.

Elle ne correspond donc pas à une définition mathématique telle que :

(symétrie)
(séparation)
(inégalité triangulaire)

?

Comme par exemple la distance de Hamming.

Patrick

[invité576543]

Elle ne correspond donc pas à une définition mathématique telle que :

Non. En math, une distance est définie positive.

Il est clair que

(séparation)

qui est la même chose que la propriété "définie", n'est pas respecté par la pseudo-métrique de Minkowski.

Et il est facile (laissé en exercice ) de trouver des cas ne respectant pas l'inégalité triangulaire.

(Bon, il reste la symétrie, c'est mieux que rien...)

Cordialement,

[invite6754323456711]

(Bon, il reste la symétrie, c'est mieux que rien...)

ll faut peut être alors étendre le concept de distance en Mathématique pour prendre en compte le comportement de la nature

Patrick