Topologie - Diamètre

[invite423aa977]

Bonsoir,

Je bosse ce soir sur un contrôle de l'année précédente de Topologie de L3 pour m'entraîner. J'ai essayé de m'imposer le coté temps limité de l'exercice et maintenant que c'est terminé je m'interroge sur une des questions qui me laisse dubitatif . (C'est juste pour placer le contexte).

Je vous redéfinie rapidement le diamètre:

diam (A) = sup { d(x,y) / x et y appartenant à A }

La fameuse question (on se place dans (E,d) un métrique):

Montrer que diam (A barre) = diam (A)

Avec la convention: A barre = { intersection de tous les fermés contenant A }

Il va de soi que je m'interroge sur l'inégalité

diam (A barre) <ou= diam (A) l'autre étant assez "facile" à mon avis.

Mon plus gros problème dans cette histoire c'est qu'au vu du cours, la seule chose que je connais c'est la définition du diam et absolument aucune caractérisation des fermés par les suites ou ce genre de chose ce qui fais que je ne sais même pas comment commencer. De manière générale avec le niveau de nos exercice il n'y a pas grand chose que je n'arrive pas à faire mais là je bloque de manière inhabituelle -> même pas d'idée.

En espérant que vous pourrez me débloquer cette situation.

Cordialement, Calintzz.
-----

[invite514148c3]

Salut, alors faisons proprement :

* Supposons A (et A barre) bornés.

* A barre fermé borné donc compact.

La fonction f qui à (x,y) associe d(x,y) est continue (normal !) sur (A barre)² car (A barre)² compact comme produit de compacts. Et son image est un compact de R, en particulier la borne sup est atteinte en un couple (x,y) défini de A barre.

D'après la définition de A barre, plus petit fermé qui contienne A, on peut construire une suite xn d'éléments de A qui tendent vers x élément de A barre, et yn qui tend vers y.

Alors (xn, yn) tend vers (x,y). Comme f est continue, f(xn, yn)->f(x,y), et tu as donc diam A >= diam A barre.
L'autre implication étant évidente car A inclus dans A barre, tu as bien égalité.

* Maintenant, si A n'est pas borné, alors diam A = diam A barre = infini.

voilà, ca fait un bout de temps maintenant que j'ai laissé la prépa derrière moi, mais ca devrait tenir la route

[invite423aa977]

Merci de cette réponse. Elle ne me pose pas de problème de compréhension puisque j'ai déjà vu toutes ces choses dans les EVN l'année dernière. On va admettre que tout est bien valide dans les métriques (je peux certifier que ce je connais).

Le truc c'est que tout ça on l'a pas encore fait ^^ Le contrôle et donc l'exercice est fait pour des étudiants ayant que les notions de topologie, ouvert, fermé, distance, norme, adhérence, intérieur (les choses de bases). Compact, topologie produit c'est pour plus tard

Je suis plus à la recherche d'une solution en concordance avec les notions que je suis sensé avoir par rapport au cours étant donné que c'est pour me préparer à un contrôle. Résoudre l'exercice en tant que tel à n'importe quelle n'étant pas la chose recherchée. (Si je fais ça en contrôle je n'ai pas les points même si c'est juste).

J'espère que vous comprendrez ma démarche et que vous saurez me guider vers quelque chose plus en rapport avec les connaissances basiques que je dois mettre en oeuvre.

[invite514148c3]

hmmm, bah au pire tu redémontres le cours sur la compacité, etc

bon ben sinon oui ca doit être faisable, mais y a moyen que ca soit un peu laborieux...

* Bon on a encore diam A barre >= diam A par inclusion de A dans A barre.

* Supposons diam A barre = R' > R = diam A.

Alors il existe un couple (x,y) de A barre tel que d(x,y)>R
(puisque sup d(x,y) = R' > R).


* Si x et y appartiennent à A, c'est absurde.
* Si un seul des deux appartient à A, par convention disons que x élément de A, et y élément de A barre privé de A :

Alors B(y,d(x,y)-R) est une boule ouverte (non vide car d(x,y)-R> 0) de A barre dont aucun point n'appartient à A.
Donc A barre privée de cette boule est un fermé qui contient A. C'est absurde car A barre était censé être le plus petit fermé contenant A.

* Si x et y appartiennent à A barre privé de A : tu appliques le même raisonnement, seulement au lieu de d(x,y)-R, tu montres que x ou y (un des deux au moins) a une distance à A supérieure strictement à 0, et tu appliques la boule ouverte de rayon égal à cette distance.

voilà

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite423aa977]

Merci, c'est déjà plus en rapport avec ce que je fais même si effectivement c'est plus "compliqué".

Cela dit le point trois me chagrine un peu. En effet x et y appartiennent à A barre privé de A donc ils appartiennent a A barre de manière générale. Or il est démontré que dans un métrique on a:

x appartient a A barre ssi d(x,A)=0

avec d(x,A)=inf d(x,a) pour tout "a" appartenant à A.

Donc je ne vois pas comment je peux montrer que l'un des deux au moins à une distance à A supérieur à 0!

[erik]

Je pense avoir la solution (j'ai rien vérifié) :

on suppose diam(A barre)>diam(A)
Il existe alors x € A barre tel que x n'appartient pas à A.
Soit B la boule ouverte de centre x de rayon r<diam(A barre)-diam(A).
On doit pouvoir montrer que B ne rencontre pas A.

Donc Abarre-B contient A et Abarre-B est contenu Dans Abarre, c'est donc un fermé plus petit que Abarre qui contient A : ce qui est contradictoire avec la définition de Abarre.

Donc impossible que l'on ait diam(A barre)>diam(A)


EDIT :arrrg, je part dans mon coin réfléchir au truc, et je poste sans regarder si quelqu'un a répondu. Je ne fait que répéter ce que dit ParkerLewis

[invite514148c3]

Merci, c'est déjà plus en Cela dit le point trois me chagrine un peu. En effet x et y appartiennent à A barre privé de A donc ils appartiennent a A barre de manière générale. Or il est démontré que dans un métrique on a:

x appartient a A barre ssi d(x,A)=0

avec d(x,A)=inf d(x,a) pour tout "a" appartenant à A.

Donc je ne vois pas comment je peux montrer que l'un des deux au moins à une distance à A supérieur à 0!

justement, c'est bien parce que c'est absurde

en fait, je l'entendais comme : à partir de la situation que l'on s'est donnée (et qui est absurde, mais on cherche justement à le montrer), on déduit que leur distance à A est supérieure à zéro. Et là, tu concluais en disant que c'était absurde.

Simplement, je ne savais pas que tu avais directement cela dans tout court, alors j'ai fait au plus "passe-partout possible" (sans supposer que tu avais déjà cette proposition pour acquise). donc c'est bon, c'est juste que visiblement t'as pas besoin de détailler autant.

voilà voilà

Je pense avoir la solution (j'ai rien EDIT :arrrg, je part dans mon coin réfléchir au truc, et je poste sans regarder si quelqu'un a répondu. Je ne fait que répéter ce que dit ParkerLewis

Pas grave par contre, si tu as deux minutes, j'ai moi aussi un petit problème de proba sur lequel j'aimerai bien un coup de main

[invite423aa977]

Merci, je vais essayer de faire mon truc avec ça.

[ichigo01]

Salut à tous ! Et bonne année !

En cherchant sur un moteur de recherche j'ai trouvé ce poste !
Et j'ai une simple question à poser :

Comment ça se faite que :
Alors que si A est une ouvert de R , il doit exister au moins un x qui appartient et n'appartient pas A !
Et par definition : {} .

Je ne suis pas si je suis le seule mais je trouve qu'il y a une contradiction

Merci !

[Médiat]

Je ne suis pas si je suis le seule mais je trouve qu'il y a une contradiction

Peut-être parce que vous pensez que si un ensemble est strictement plus grand qu'un autre, son diamètre est forcément strictement plus grand ? Mais c'est faux :
Quel est le diamètre de [0, 1] et celui de ]0, 1[ ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Même si le post est vieux de plusieurs années, ça m'a fait bondir :

A barre fermé borné donc compact.

Mais bien sur ...
On est dans un espace métrique quelconque, donc a priori c'est faux.

[ichigo01]

Peut-être parce que vous pensez que si un ensemble est strictement plus grand qu'un autre, son diamètre est forcément strictement plus grand ? Mais c'est faux :
Quel est le diamètre de [0, 1] et celui de ]0, 1[ ?

Je pense qu'ils n'ont pas le même diamètre ( par définition c'est pour le 2 ème !! )

Merci !

[ichigo01]

Je retire ce que je viens de dire à propos de la définition ( car c'est pour les intervalles d'éxtrémités + ou - l'infini ) j'ai confondu les choses !

Mais pour le diamètre de A et A(bar) c'est toujours pas clair !

[Médiat]

Je retire ce que je viens de dire à propos de la définition ( car c'est pour les intervalles d'éxtrémités + ou - l'infini ) j'ai confondu les choses !

Mais pour le diamètre de A et A(bar) c'est toujours pas clair !

Quelle est la plus grande distance entre éléments de [0, 1] ? C'est bien 1, n'est-ce pas ?
Si vous supposez que dans ]0, 1[, cette distance maximale est d < 1, alors il est facile de trouver deux éléments x, et y de ]0, 1[ qui sont à cette distance d l'un de l'autre, puis, il est très facile de trouver un x' telle que la distance entre x' et y est plus grande que d, qui ne peut pas être le sup ...

[ichigo01]

Quelle est la plus grande distance entre éléments de [0, 1] ? C'est bien 1, n'est-ce pas ?
Si vous supposez que dans ]0, 1[, cette distance maximale est d < 1, alors il est facile de trouver deux éléments x, et y de ]0, 1[ qui sont à cette distance d l'un de l'autre, puis, il est très facile de trouver un x' telle que la distance entre x' et y est plus grande que d, qui ne peut pas être le sup ...

Oui , pour [0, 1] c'est bien 1 .
Pour la supposition j'ai pas bien compris , pourtant je comprends que si on trouve une distance plus grande que d , il doit y exister une autre plus grande, et ainsi de suite ... mais c'est toujours < 1 !!!!!

[Médiat]

Oui , pour [0, 1] c'est bien 1 .
Pour la supposition j'ai pas bien compris , pourtant je comprends que si on trouve une distance plus grande que d , il doit y exister une autre plus grande, et ainsi de suite ... mais c'est toujours < 1 !!!!!

Ben non puisqu'aucune valeur inférieure à 1 ne peut convenir (c'est le même problème pour 1 = 0.9 (je rappelle que le soulignementidentifie la période))

[ichigo01]

Ben non puisqu'aucune valeur inférieure à 1 ne peut convenir (c'est le même problème pour 1 = 0.9 (je rappelle que le soulignementidentifie la période))

Oui, oui , j'ai compris maintenant , merci beaucoup pour votre aide !