1>0 ?

[doryphore]

Un auteur prétend que dans un corps commutatif ordonné, on a nécessairement 1>0 et il explique succintement qu'on obtient ce résultat "en élevant au carré".

Je ne vois pas ce qu'il veut dire. :confused:

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer
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[invitef6a8dd1c]

Ca vient de la définition d'un corps (ou d'un anneau) ordonné.
Soit (K,+,*) ton corps. Il est dit ordonné par la relation < si:

* (K,+, <) est un groupe ordonné, c'est-à-dire que pour tous a,b,c,d tels que a<b et c<d, alors a+c < b+d

* Pour tous a,b tels que 0<a et 0<b, alors 0<a*b

Fais l'hypothèse que 1 < 0:
tu auras alors 0 < -1, et du coup:
1*(-1) < 0*(-1), soit -1 < 0, ce qui contredit l'hypothèse.

Geoffrey

[doryphore]

Merci, Geof, j'avais besoin que quelqu'un me confirme qu'il n'y a pas besoin d'élever quoi que ce soit au carré.

[invitef6a8dd1c]

Il s'agit en fait de montrer qu'un carré est "positif", ce qui est vrai pour 1 et -1 l'étant pour tout élément du corps:

Soit a tel que 0 < a
Alors 0*a = 0 < a*a

Pour a < 0, alors, 0 < -a, et donc:
0*-a = 0 < (-a)*(-a) = -(a*(-a)) = a*a

Conclusion, un carré est positif. Or, pour 1, élément neutre de la multiplication, on a 1 = 1*1, d'où le résultat.

Geoffrey

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

D'accord, merci Geof.

La formulation un peu rapide de l'auteur ne m'avait pas permis d'envisager cette voie de démonstration et j'étais resté sur celle que tu as donnée en premier en la recherchant par moi-même.

[invitec12706a7]

Ca vient de la définition d'un corps (ou d'un anneau) ordonné.
Soit (K,+,*) ton corps. Il est dit ordonné par la relation < si:

* (K,+, <) est un groupe ordonné, c'est-à-dire que pour tous a,b,c,d tels que a<b et c<d, alors a+c < b+d

* Pour tous a,b tels que 0<a et 0<b, alors 0<a*b

Fais l'hypothèse que 1 < 0:
tu auras alors 0 < -1, et du coup:
1*(-1) < 0*(-1), soit -1 < 0, ce qui contredit l'hypothèse.

Geoffrey

Salut !

Quels axiomes de korps ordonné fais-tu intervenir pour obtenir la dernière inégalité ? on ne peut multiplier deux inégalités que si elles sont supérieures à 0, or 1 < 0 ne respecte pas cette condition.

La deuxième démonstration par contre est jolie.

[invitef6a8dd1c]

Zut, grillé, sur ce coup

En fait, il serait plus juste d'écrire: 0 < -1, et en prenant a=b=-1, on retrouve
0 < -1*(-1) = 1 (pour les mêmes raisons qu'indiquées dans la 2ème démo).

Geoffrey

[doryphore]

* Pour tous a,b tels que 0<a et 0<b, alors 0<a*b

En fait, l'axiome est le suivant: la relation d'ordre est compatible avec la multiplication par un nombre positif, ce n'est pas exactement la même chose. ET donc il ne me semble pas qu'il y ait problème.

[invitef6a8dd1c]

J'aurai dû spécifier ma source. La définition que j'utilise vient d'ici:
http://www.sciences-en-ligne.com/mom...ico/ordre.html

Avec la définition de doryphore, il n'y a effectivement pas de problème.

Un autre (petit) problème, c'est que dans 0 < 1 ne contredit pas véritablement 1 < 0 (le symbole < n'est pas le "plus grand que" usuel, mais correspondrait plutôt à <=, donc on peut écrire 0 < 0).
En fait, il faut utiliser également le fait que 1 != 0 (assuré dans un anneau) pour conclure

Geoffrey

[doryphore]

La définition d'un anneau ordonné que j'ai donnée provient d'un livre de préparation à l'agrégation.

Dans un anneau, on n'a pas forcément 0!=1, il existe un anneau dit nul: ({0},+,+)

Donc, la question que je me pose doit prendre en compte ce cas particulier et c'était bien de le préciser.

http://folium.eu.org/algebre/struct/anneau/anneau.html

[invitef6a8dd1c]

Je l'avais oublié, celui là. Mais c'est effectivement un cas pathologique.
Ceci dit, dès lors que tu as une relation d'ordre, la réflexivité assure 0 < 0

Geoffrey

[doryphore]

En fait, dans le livre que je lisais: le but de la manoeuvre était de montrer qu'un anneau ordonné était de caractéristique 0.

Donc on avait vraiment besoin de la stricte positivité de 1, puis de tout n>1 (par récurrence, en utilisant la compatibilité avec l'addition)

[invitef6a8dd1c]

Là, je n'arrive plus à suivre, désolé. Qu'est-ce que c'est que la caractéristique d'un anneau ?

Geoffrey

[Quinto]

La caracteristique c'est le plus petit entier k s'il existe non nul, tel que pour tout x de A, kx=0.

Par exemple Z/3Z est de caracteristique 3, parce que pour tout x de Z/3Z
x+x+x=0
Un anneau de Boole est de caracteristique 2 car x+x=0 etc...
R est de caracteristique nulle parce qu'on ne pourra jamais trouver un tel entier.
Idem pour Q.

[invitec12706a7]

La caracteristique c'est le plus petit entier k s'il existe non nul, tel que pour tout x de A, kx=0.

Par exemple Z/3Z est de caracteristique 3, parce que pour tout x de Z/3Z
x+x+x=0
Un anneau de Boole est de caracteristique 2 car x+x=0 etc...
R est de caracteristique nulle parce qu'on ne pourra jamais trouver un tel entier.
Idem pour Q.

Une autre façon de voir la caractéristique c'est l'indice du noyau de l'application
f : Z --> A
qui envoie n sur 1+1+...+1 (n fois) où 1 est l'élément unité de ton anneau A
Le noyau est donc un kZ et k est la caractéristique de A

(mais c'est pile ce que Quinto a dit, sous un autre point de vue)