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Points extrêmes !



  1. #1
    invite52487760

    Points extrêmes !


    ------

    Bonjour:
    Soit : .
    est un ensemble convexe de .
    Je cherche à déterminer l'ensemble des points extrêmes de selon la définition suivante :

    Définition:
    Soit un convexe de .
    Un point est un point extrême de si :
    avec : et alors : .

    Dans le cours, l'ensemble des points extrêmes de est , mais malheureusement, sans démonstration .. !
    Merçi d'avance !!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : Points extrêmes !

    La preuve géométrique est plus jolie.
    Ton ensemble S est le disque unité dont le bord est le cercle unité E.
    L'équivalent géométrique de ta condition avec les lambda est :
    "M est un point extrême ssi si pour tout segment [AB], A et B étant dans S, alors M=A ou M=B.
    Soit un point M à l'intérieur de S et prenons une droite passant par M, cette droite coupe E en deux points M1 et M2, M est strictement entre M1 et M2 donc n'est pas un point extrême.
    Soit M un point sur le bord, si M est sur [M1M2] alors M est sur le bord de ce segment car M est sur le bord de S donc M=M1 ou M=M2.

  4. #3
    invite52487760

    Re : Points extrêmes !

    Oui, c'est vrai "homotopie"..., mais j'ai du mal à comprendre comment utiliser la définition pour arriver au résultat !!

  5. #4
    Garf

    Re : Points extrêmes !

    Soit le cercle de centre 0 et de rayon 1.

    * D'abord la partie "facile" : .
    On a .
    Le complémentaire de dans est la boule ouverte de rayon 1. Soit dans cette boule.
    En prenant , et ,

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Garf

    Re : Points extrêmes !

    Désolé, erreur de manip'.
    Je recommence.


    Soit le cercle de centre 0 et de rayon 1.


    * D'abord la partie "facile" : .
    On a .
    Le complémentaire de dans est la boule ouverte de rayon 1. Soit dans cette boule.
    Prenons , et , où , sachant que .
    On remarque , et dans , et .
    Donc .
    Donc (pas réussi à la faire en Latex).
    Donc .


    * Ensuite, l'inclusion réciproque.
    Soit .
    Soient et dans tels que .
    On a alors
    On en tire .
    Or et . Dans tous les cas, on a . sont sur le cercle de rayon 1.

    Maintenant, un peu de trigo.
    Je pose et , et dans
    Après manipulation, on obtient , soit ou encore .
    Donc .
    Finalement, on a bien , d'où

    Valà !
    Dernière modification par Garf ; 02/08/2007 à 01h29. Motif: Correction erreur

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