Points extrêmes !

invitecbade190 · 01/08/2007, 16h29

Bonjour:
Soit : $\ S = \{ \hspace{5cm} x = (x_{1},x_{2}) \hspace{5cm} : \hspace{5cm} x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 1 \hspace{5cm} \}$ .
$\ S$ est un ensemble convexe de $\ IR^{2}$ .
Je cherche à déterminer l'ensemble des points extrêmes de $\ S$ selon la définition suivante :
$\ \hspace{150cm} =======================$
Définition:
Soit $\ S \neq \empty$ un convexe de $\ IR^{n}$ .
Un point $\ x \in S$ est un point extrême de $\ S$ si :
$\ x = \lambda.x_{1} +(1-\lambda).x_{2}$ avec : $\ (x_{1},x_{2}) \in S \times S$ et $\ \lambda \in ]0,1[$ alors : $\ x = x_{1} = x_{2}$ .
$\ \hspace{150cm} =======================$
Dans le cours, l'ensemble des points extrêmes de $\ S$ est $\ E = \{ \hspace{5cm} x = (x_{1},x_{2}) \hspace{5cm} : \hspace{5cm}x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 1 \hspace{5cm} \}$ , mais malheureusement, sans démonstration .. !
Merçi d'avance !!

**invite35452583** · 01/08/2007, 17h02

La preuve géométrique est plus jolie.
Ton ensemble S est le disque unité dont le bord est le cercle unité E.
L'équivalent géométrique de ta condition avec les lambda est :
"M est un point extrême ssi si pour tout segment [AB], A et B étant dans S, alors M=A ou M=B.
Soit un point M à l'intérieur de S et prenons une droite passant par M, cette droite coupe E en deux points M1 et M2, M est strictement entre M1 et M2 donc n'est pas un point extrême.
Soit M un point sur le bord, si M est sur [M1M2] alors M est sur le bord de ce segment car M est sur le bord de S donc M=M1 ou M=M2.

invitecbade190 · 01/08/2007, 22h45

Oui, c'est vrai "homotopie"..., mais j'ai du mal à comprendre comment utiliser la définition pour arriver au résultat !!

invitea07f6506 · 02/08/2007, 00h44

Soit $C$ le cercle de centre 0 et de rayon 1.

* D'abord la partie "facile" : $E \subset C$ .
On a $E \subset S$ .
Le complémentaire de $C$ dans $S$ est la boule ouverte de rayon 1. Soit $x$ dans cette boule.
En prenant $x_1=x.(1+r)$ , $x_2=x.(1-r)$ et $\lambda = 1/2$ ,

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitea07f6506 · 02/08/2007, 01h27

Désolé, erreur de manip'.
Je recommence.

Soit $C$ le cercle de centre 0 et de rayon 1.

* D'abord la partie "facile" : $E \subset C$ .
On a $E \subset S$ .
Le complémentaire de $C$ dans $S$ est la boule ouverte $B$ de rayon 1. Soit $x$ dans cette boule.
Prenons $x_1=x.(1+r)$ , $x_2=x.(1-r)$ et $\lambda = 1/2$ , où $r=\frac{1-|x|}{2}$ , sachant que $|x| \neq 1$ .
On remarque $x = \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$ , $x_1$ et $x_2$ dans $S$ , $\lambda \subset ]0,1[$ et $x \neq x_1 \neq x_2$ .
Donc $x \neq E$ .
Donc $E \cap B = "ensemble-vide"$ (pas réussi à la faire en Latex).
Donc $E \subset C$ .

* Ensuite, l'inclusion réciproque.
Soit $x \subset C$ .
Soient $\lambda \subset ]0,1[$ et $x_1,x_2$ dans $S$ tels que $x = \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$ .
On a alors $1 = |x| \leq \lambda |x_1|+ (1-\lambda)|x_2| \leq max(|x_1|,|x_2|) \leq 1$
On en tire $max(|x_1|,|x_2|) = 1$ .
Or $|x_1| = \frac{1+(\lambda-1)|x_2|}{\lambda}$ et $|x_2| = \frac{1-\lambda |x_2|}{1-\lambda}$ . Dans tous les cas, on a $|x_1|=|x_2|=1$ . $x_1,x_2$ sont sur le cercle de rayon 1.

Maintenant, un peu de trigo.
Je pose $x_1 = $\array{cos(\T_1)\\sin(\T_1)}$$ et $x_2 = $\array{cos(\T_2)\\sin(\T_2)}$$ , $\T_1$ et $\T_2$ dans $[0,2\Pi[$
Après manipulation, on obtient $|x|^2 = 1 +2 \lambda (1-\lambda)(cos(\T_1 - \T_2)-1) = 1$ , soit $cos(\T_1 - \T_2) = 1$ ou encore $\T_1 = \T_2$ .
Donc $x_1 = x_2 = x$ .
Finalement, on a bien $C \subset E$ , d'où $E = C$

Valà !

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