Points extrêmes !

invite52487760 · 01/08/2007, 15h29

Bonjour:
Soit : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est un ensemble convexe de $\text{[math]}$ .
Je cherche à déterminer l'ensemble des points extrêmes de $\text{[math]}$ selon la définition suivante :
$\text{[math]}$
Définition:
Soit $\text{[math]}$ un convexe de $\text{[math]}$ .
Un point $\text{[math]}$ est un point extrême de $\text{[math]}$ si :
$\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
Dans le cours, l'ensemble des points extrêmes de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , mais malheureusement, sans démonstration .. !
Merçi d'avance !!

**invite35452583** · 01/08/2007, 16h02

La preuve géométrique est plus jolie.
Ton ensemble S est le disque unité dont le bord est le cercle unité E.
L'équivalent géométrique de ta condition avec les lambda est :
"M est un point extrême ssi si pour tout segment [AB], A et B étant dans S, alors M=A ou M=B.
Soit un point M à l'intérieur de S et prenons une droite passant par M, cette droite coupe E en deux points M1 et M2, M est strictement entre M1 et M2 donc n'est pas un point extrême.
Soit M un point sur le bord, si M est sur [M1M2] alors M est sur le bord de ce segment car M est sur le bord de S donc M=M1 ou M=M2.

invite52487760 · 01/08/2007, 21h45

Oui, c'est vrai "homotopie"..., mais j'ai du mal à comprendre comment utiliser la définition pour arriver au résultat !!

**Garf** · 01/08/2007, 23h44

Soit $\text{[math]}$ le cercle de centre 0 et de rayon 1.

* D'abord la partie "facile" : $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ .
Le complémentaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est la boule ouverte de rayon 1. Soit $\text{[math]}$ dans cette boule.
En prenant $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Garf** · 02/08/2007, 00h27

Désolé, erreur de manip'.
Je recommence.

Soit $\text{[math]}$ le cercle de centre 0 et de rayon 1.

* D'abord la partie "facile" : $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ .
Le complémentaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ est la boule ouverte $\text{[math]}$ de rayon 1. Soit $\text{[math]}$ dans cette boule.
Prenons $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ , sachant que $\text{[math]}$ .
On remarque $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ (pas réussi à la faire en Latex).
Donc $\text{[math]}$ .

* Ensuite, l'inclusion réciproque.
Soit $\text{[math]}$ .
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ .
On a alors $\text{[math]}$
On en tire $\text{[math]}$ .
Or $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Dans tous les cas, on a $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ sont sur le cercle de rayon 1.

Maintenant, un peu de trigo.
Je pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
Après manipulation, on obtient $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ .
Finalement, on a bien $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$

Valà !

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