Examen final proba

[invitefce64850]

bonjour
j'ai passé l'examen final en proba mais j'ai pas pu répandre à une questionne que je trouve difficile.
car j'ai pas bien compris la question

on demande d'estimer le paramétre P=exp(-j)

on a l'échantillon (X1,X2,...,Xn)

pour lemontrer ilfaut d'abord montrer que T=indice {X1=0} est un estimateur

sans biais pour P.

("alors moi je crois que T=1 [COLOR="blue"]si X1=0 et T=0 sinon") j'ai aucun idée alors ci qlq'un a une réponse ou peut m'expliquer qu'est ce que çà veut dire T=indice {X1=0} merci d'avence.
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[invite986312212]

bonjour, je ne comprends pas bien: qu'est-ce que j ? quelle est la distribution de X1 ?

[invitefce64850]

ON VEUT ESTIMER exp(-J) avec (X1,X2,..,Xn)
echantaillon tel que chaque Xi suit loi de poisson(j) c-à-d de paramétre j
on sait déja que X barre est un estimateur de j et on veut par la suite montrer que Tet un estimateur de exp(-j)
j'ai voulu le faire par la méthode des moment c-à-d E[X1]=j
et on a g(E[X1])=exp(-j)=g(j)
alors g(x)=exp(-x)
alors g(Xbarre)=exp(-Xbarre) est un estimateur de exp(-j)
je crois que si je peux mtrer que T=exp(-Xbarre) alors c'est résolu

Xbarre=(X1+X2+...+Xn)/n

[invite986312212]

bonjour,

d'abord une petite remarque sémantique, l'expression "T est un estimateur de theta" est quasiment vide de sens: à peu près n'importe quoi peut être un estimateur de n'importe quel paramètre, il y a juste une condition de mesurabilité.

je suppose donc que tu cherches un estimateur sans biais de exp(-j) où j est la moyenne de la loi de Poisson. Dans la loi de Poisson exp(-j) est la probabilité de zéro, donc un estimateur qui vient à l'esprit est la proportion de zéros dans l'échantillon. Il est évidemment sans biais. Je ne suis pas sûr qu'il soit très bon... mais je n'en vois pas d'autres tout de suite. Je vais voir si je trouve ça dans la littérature.

si tu voulais estimer exp(j) ce serait plus simple. Si X suit la loi de Poisson de paramètre j, E(2^X)=exp(j) et donc un estimateur sans biais est la moyenne des 2^Xi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

ah ben si, finalement j'ai une autre idée: la fonction génératrice des probabilités pour une loi de Poisson de paramètre j est g(s)=exp(j(s-1)) et donc tu veux estimer g(0) (qui n'est autre que la proba de zéro, on retombe sur l'estimateur précédent). Mais tu peux estimer g(s) pour un certain nombre de valeurs de s (par de simples moyennes) et prendre l'ordonnée à l'origine d'un ajustement de ces valeurs par une courbe du type exp(j(s-1)). Mais ça m'étonnerait que se soit sans biais (je pense qu'on peut même prouver le contraire).

[invitefce64850]

merci pour tes réponses mais j'ai pas bien compris quel est le rapport entre l'estimateur T=indice de{X1=0}et la fonction
génératrice et je veux savoire si les etapes que j'ai fait vant dans le bon sens
tu as dit que "l'expression "T est un estimateur de theta" est quasiment vide de sens" mais c'était comme çà dans l'énancé de l'examen final
T=II{X1=0} doit etre un estimateur sans biais de exp(-j)

[invite986312212]

salut, si X1,..,Xn est un échantillon i.i.d. et theta un paramètre, un estimateur de theta est simplement une application mesurable des Xi qui n'est pas fonction de theta (cette dernière condition étant d'ailleurs assez floue, c'est pour éviter de dire que theta est un estimateur de theta). Tu vois qu'en gros un estimateur c'est une fonction mesurable des observations, c'est-à-dire à peu près toute fonction raisonnable des observations. La fonction (X1,..,Xn)->0 est par exemple un estimateur de n'impoprte quel paramètre. Sa variance est nulle (mais pas son erreur quadratique moyenne!).

pour en revenir au Poisson, il est possible qu'on parle de la même chose. Si par T=indice de{X1=0} tu entends l'indicatrice de l'ensemble {X1=0} alors c'est bien ce que je suggérais: estimer exp{-j} par la proportion de zéros dans l'échantillon.
Je pense toutefois que ce n'est pas un très bon estimateur. Il est possible par exemple qu'il n'y ait pas de zéros, alors tu estimes exp{-j} par 0 ce qui est absurde. Par ailleurs, il y a de l'information sur j dans les données non nulles et c'est dommage de ne pas en tenir compte.

si tu prends l'estimateur classique de j (la moyenne empirique de l'échantillon m), et ensuite exp{-m}, tu obtiens un estimatyeur biaisé, mais il est fort possible que son erreur quadratique moyenne E{(exp(-m)-exp(-j))^2} soit plus faible que celle de l'estimateur basé sur P(X=0).
(j'ai la flemme de les calculer)

[invitefce64850]

salut

c'est ceque je voulais dire l'indicatrice