∞ !

[Coincoin]

Pour en revenir à , il ne faut pas lire ça comme :"pour un n très très grand, on a . Mathématiquement, dire que la limite en l'infini vaut 0 signifie qu'on peut trouver un N tel que soit plus petit que tout nombre positifi aussi petit que l'on veut. C'est la définition d'une limite. C'est avec ce genre de définition qu'on peut démontrer rigoureusement que la somme dont on parle tend vers 1 quand le nombre de termes tends vers l'infini. C'est des maths, c'est rigoureux.

EDIT Le temps que je poste, 09Jul85 a déjà dit plus ou moins la même chose...
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[Gwyddon]

Youp'titou, si tu croises les posts de Coincoin et les miens, et que tu les lis attentivement, je pense que tu arriveras à saisir le fond du problème qui est, il est vrai, assez délicat

[invitee6b69a67]

ouais...je sens que ca commence a venir...Il faut encor que je médite cette nuit et je vous en di + demain!
Aller A+

[Evil.Saien]

Salut,
je vois le problème intuitif...
Une solution: mathématiquement on a vu que la somme des distances convergeait vers 1 ! On est d'accord mais maintenant ce qui te gene c'est le temps mis pour la parcourir. Dit toi aussi que pour le temps c'est éxactement la meme suite. Admetont que l'objet mette 1/2 seconde pour parcourir la moitié, donc 1/4 de seconde pour le 1/4 et ainsi de suite.
Donc au niveau du temps, on a bien la meme chose: 1/2 + 1/4 + 1/8 +... = 1 seconde soit le double de la moitié, normale quoi !

[invitee619f7a1]

C'est vrai que ca peut etre dur à admettre que 1/2 exposant l'infini valle 0 (dsl, je ne sait pas encore utiliser la notation mathematique sur ce forum... ) mais jevois un certain lien entre le 4,999999... qui est égal à 5 et ce problème, c'est meme le cas inverse je pense.

Enfin, je laisse les personnes ô combien supérieures à moi en ce domaine continuer à démontrer ca plus intelligemment

[invite0f31cf4c]

Je viens juste semer un peu le bazar ...
Y a rien de bizarre que de dire que ... Puisque et que , donc beaucoup plus grand que 1 et donc ... Je me trompe ? (Mais je crois que je répète ce qui a déjà été dit ...)
[EDIT]Désolé pour la notation, mais je sais pas comment on fait en Latex pour mettre "Limite de machin quand truc tant vers bidule" ...[/EDIT]

[invitea8d97425]

Bonjour,

Si tes notations signifient "limite de...", c'est correct.

Pour le justifier, on montre que 2^n tend vers + l'infini quand n tend vers + l'infini, soit qu'il existe n0, il existe A >0 tel que pour tout n >n0, |2^n| > A. Donc en inversant l'inégalité, |1/2^n| < 1/A. Comme A est grand, 1/A est aussi petit que l'on veut, et on prouve ce que l'on veut.
Voilà un raisonnement type de détermination rigoureuse de limites...

NB : en général, on utilise des inégalités larges partout, mais elles sont strictes ici par commodité d'écriture.

[invite687e0d2b]

je pense que ce paradoxe est faux mais je vais l'expliquer plus par la physique que par les mathématiques (excusez-moi)
depuis le début de ce débat vous discutez de ce paradoxe enterme de distance parcourue par la pierre mais en physique une autre donnée joue: le temps
explication:
supposons que la pierre que la pierre va parcourir la distance qui la sépare du mur en une seconde
a 1/2 seconde,elle aura parcourue la 1/2 de la distance, a 3/4s ca sera 3/4 de la distance... et ainsi de suite. nous pourrions continuer a diviser la distance et le temps en longueur et en durée de plus en plus courtes. mais justement non! nous ne pouvons pas car les lois de la physique nous disent que le temps n'est pas une grandeur que nous pouvons divisé indéfiniment. on dit que le temps a un aspect quantique. et oui! le temps s'écoule par saccade!!! la durée minimum s'appelle temps de planck et elle est égale a 10^-44 seconde et ainsi la pierre ne pourra plus parcourir des distances plus courtes qu'une distance minimale dépendant de sa vitesse par conséquent elle finira par atteindre le mur

[justine&coria]

En fait, c'est dû à la vitesse, disons constante pour simplifier (ou plutôt qui ne tend pas vers 0 à l'infini), de la pierre que tu lances sur le mur.
J'ai pas le temps d'expliquer maintenant, mais bon pour te faire réfléchir : qu'est-ce qui différencie ce pseudo-paradoxe du problème suivant :
Considérons une petite fourmi (de volume nul) qui est à 1m d'un mur. Après chaque seconde, elle a parcouru la moitié du chemin la séparant du mur (une fourmi très bizarre, me dis-tu ). Va-t'elle un jour atteindre ce mur ?

Alors, maintenant, esssaie de voir en quoi ce problème est différent (et a une toute autre réponse) que le pseudo-paradoxe de Zénon.

[invite687e0d2b]

d'abord je préférerai que tu dise que son volume tend vers zéro car un volume nul c'est quasiment plus un volume
et là, je pense que cette fourmi (oui très bizarre je confirme) n'atteindra jamais le mur meme sans faire entrer le paradoxe de zénon
puisque atteindre ou toucher quelque chose en générale requiert un volume
essaie de tracer une ligne et de dessiner un point accolé a cette ligne ensuite prend une loupe et regarde ton dessin le point ressemblera plus a un rond qu'a un point. pour réparer ton erreur tu devra prendre un crayon plus fin pour desiiner un autre point plus petit et ainsi de suite
donc pour moi en utilisant cette fourmi ce n'est plus un paradoxe puisqu'un objet dont le volume tend vers zéro ( que tu ne trouveras jamais) est dèja un paradoxe

maintenant a toi de voir

[justine&coria]

Stein_junior, tu es trop "dans la Physique" !
Tout d'abord, quand je dis que la fourmi est de volume nul, c'est qu'il faut la considérer comme un point : un point mathématique, pas un point tracé au crayon de papier.
Deuxièmement, j'ai jamais dit que mon problème relevait du (pseudo-)paradoxe de Zénon. D'ailleurs, je n'ai pas cessé de dire : "qu'est-ce qui différencie mon problème du pseudo-paradoxe de Zénon?"
Enfin, la preuve même que tu restes trop "dans la Physique", c'est que l'explication que t'as donné 3 messages avant ferait dire que la petite fourmi du problème touchera nécessairement le mur alors que c'est faux.

Et parler d'un point de volume nul, c'est utilisé partout en Physique !!! En Physique, l'expression "objet ponctuel" revient très très souvent.
On assimile souvent une planète (et oui !!), une balle, un mobile, un électron etc. à un point (au vu des distances mises en jeu etc.). Et pourtant ce point (de volume nul) a bien un mouvement, une vitesse.
Il s'agit bien évidemment d'une approximation/modélisation qui est là pour simplifier les problèmes, mais ça ne gêne personne de parler d'un point qui physiquement n'existe pas (c'est là que les maths entrent en jeu).

[invite65f84ed6]

la lampe est eteinte

[invitecec15c73]

Alors juste pour me souhaiter la bienvenue ds ce forum je vs laisse mon pti commentaire sur le sujet...

Imaginez que, à la place du mur il y ait du papier et que l'on veuille percer le papier en jetant la pierre dessus et pr que ce soit plus clair, derrière le papier on va mettre un trou et on vise donc le trou avec la pierre.
Mnt, on est bien d'accord que le papier va etre dechiré
( celà dépend bien sur de la masse de la pierre, de la force avec laquelle on la jette, de la tension du papier, de l'action d'autres forces....mais ceci relève de la divine science de la physique).
Vs pouvez donc discuter autant que vous voulez sur ce fait, la pierre aura percé la feuille de papier étant donné que, ds ce cas-ci, le papier n'est qu'une étape à franchir pr arriver au trou.
Oui mnt on peut dire que la pierre n'atteindra jamais le trou, mais si l'on fait le meme raisonnement a l'infini on devrait y arriver...
Ceci-dit, ce n'est qu'une traduction pauvre du langage mathématique de limite qui explique ceci.Donc tt à fait d'acc avec certains qui l'ont expliqué mathématiquement

[invite6de5f0ac]

Salut à tous!

Un petit grain de sel pour l'égalité (???) .

Il y a une astuce (un peu sordide) qui s'appelle l'analyse non-standard. Pour tout entier , illimité (c'est-à-dire plus grans que tout entier naturel standard) mais fini (oui, ça se peut), est un infinitésimal, c'est-à-dire un réel plus petit que tout réel standard...

Bien sûr que ça revient à escamoter la notion de limite dans une construction axiomatique un peu tordue... Mais après tout, pourquoi ne pas emballer une bonne fois pour toutes ces sordides histoires de ?

-- françois

[inviteb47fe896]

Non, il est faux d'affirmer que le paradoxe des Eléates a été infirmé ; d'ailleurs l'axiomatique actuelle de la géométrie le confirme en admettant "l'axiome d'ordre" qui stipule qu'ente deux points il en existe toujours un troisième ; alors comment un point pourrait-il se déplacer, au sens commun du terme, s'il lui est impossible d'atteindre son successeur, puisqu'on ne peut trouver deux point contigus ? C'est la raison pour laquelle il faut reprendre la construction de la géométrie.

[invitecec15c73]

la géometrie est basée sur un raisonnement en termes de continuité, donc d'apres moi, on ne peut faire un tel raisonnement en termes de valeurs discrètes...
en d'autres mots on ne peut pas isoler un évènement sans prendre en compte ce qui le précède et ce qui vient après...
purement avis personnel...

[inviteb47fe896]

Le problème reste donc de savoir ce qui vient avant et ce qui vient après, et, s'il y a bien ce qui vient avant et ce qui vient après