Re : ln

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h06

bonjour ,
je bloque sur un petit exercice
:
supposons qu'une variable économique atteigne une valeur x en janvier 2008, varie d'un pourcentage p en un an, pour atteindre une valeur x' en janvier 2009. Notons t la quantité p/100

exprimer x' en fonction de x et p alors ça j'ai trouvé : x'= x(1+p)
puis en fonction de x et t et la j'ai beau chercher je ne trouve pas ...

et après il faut que je montre que lnx'-lnx= ln(1+t)
et que je montre ensuite que lim quand t tend vers o de lnx'-lnx/t = 1

je ny 'arrive pas du tout

Merci par avance de votre aide

**Universus** · 18/10/2009, 15h11

Ton erreur se situe en x'=x(1+p) . p peut prendre a priori n'importe quelle valeur entre 0 et 100 (même plus). Ton équation donnerait une croissance monstrueuse!

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h14

je n'y arrive pas alors ....comment dois je faire?

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h16

parce que regardez :
si x = 3000 et x'= 3150 et p=5 pourcent
j'ai fait le calcul et ça marche :
x'= 3000*(1+5/100)=3150

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Universus** · 18/10/2009, 15h20

Oui, sauf que là tu n'as pas écrit x'=x(1+p), mais x'= x(1+t)

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h22

mais p=5 ou p=5/100 pour dire que le pourcentage est de 5 pourcent ?

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h26

en gros c'est x'=x(1+p/100) et x'=x(1+t)

??

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h32

comment je fais pour montrer que lnx'-lnx= ln(1+t) ?

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h34

oups ça j'ai trouvé je voulais dire pour trouver la limite quand t tend vers o de ln(1+t)/t =1

**Universus** · 18/10/2009, 15h36

Étant donné la façon dont on a définit t, j'imagine que p vaut 5 si on a un taux de 5% (on a donc t = 5/100). Donc oui x' = x(1+t) et il te suffit de savoir que t = p/100 pour exprimer x' en fonction de x et p.

Sinon, ne te laisse pas impressionner par les logarithmes. Tu sais que (1+t) = x'/x. Fais le logarithme de chaque côté et tu y es (en utilisant une propriété bien utile du logarithme ayant pour argument une fraction).

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h38

merci beaucoup j'ai reussi

**Universus** · 18/10/2009, 15h41

Ah ok. $\text{[math]}$ . Ainsi, $\text{[math]}$ et par continuité de la fonction ln cela égale $\text{[math]}$ . Il faut que tu reconnaisses ce que vaut cette dernière limite (peut-être cela te paraîtra plus clair si tu fais le changement de variable u = 1/t).

invite340f0c11 · 18/10/2009, 15h43

ça fait ln(0) ce qui est impossible

invite986312212 · 18/10/2009, 15h48

juste une remarque de vieux chnok: ln c'est bon pour les programmeurs, en maths on écrit log.

**Universus** · 18/10/2009, 15h58

Non, $\text{[math]}$ ne vaut pas 0. En fait, sans connaître la réponse, on peut voir que ce n'est pas plus petit que 1 puisque u et 1/u sont positifs. Autrement, ayant déjà la réponse que cela doit valeur 1, à quoi devrait égaler cette limite pour que le logarithme naturel de cette limite donne 1?

invite340f0c11 · 18/10/2009, 16h10

lorsque le logarithme d'une variable économique x varie d'une faible quantité t, quelle interprétation pratique peut on donner sur l'evolution de x ?
j'ai dit que l'evolution de x varie rapidement mais je pense que c'est faux
???

**Universus** · 18/10/2009, 16h23

Bon, je vais le dire, $\text{[math]}$ et on sait que $\text{[math]}$ .

Sinon, tu sais que si x varie d'une faible quantité t (si $\text{[math]}$ ), $\text{[math]}$ .

e⁰ valant 1, on voit que la variation $\text{[math]}$ est proche de 0 aussi, mais encore que l'exponentielle empêche d'avoir une bonne intuition de comment ça varie.

Là, je dis ça juste pour informations, mais on a pour t très proche de 0 sans nécessairement y être égal (l'égalité fonctionne) $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , en bonne approximation (mais t est vraiment proche de 0). Bref, tu vois que la variation de la variable économique x varie linéairement avec t pour t proche de 0. Cela vient du fait que ton rapport $\text{[math]}$ pour t proche de 0 (le logarithme croît quasi linéairement).