ln

[invite340f0c11]

bonjour ,
je bloque sur un petit exercice
:
supposons qu'une variable économique atteigne une valeur x en janvier 2008, varie d'un pourcentage p en un an, pour atteindre une valeur x' en janvier 2009. Notons t la quantité p/100

exprimer x' en fonction de x et p alors ça j'ai trouvé : x'= x(1+p)
puis en fonction de x et t et la j'ai beau chercher je ne trouve pas ...

et après il faut que je montre que lnx'-lnx= ln(1+t)
et que je montre ensuite que lim quand t tend vers o de lnx'-lnx/t = 1


je ny 'arrive pas du tout

Merci par avance de votre aide
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[invite93e0873f]

Ton erreur se situe en x'=x(1+p) . p peut prendre a priori n'importe quelle valeur entre 0 et 100 (même plus). Ton équation donnerait une croissance monstrueuse!

[invite340f0c11]

je n'y arrive pas alors ....comment dois je faire?

[invite340f0c11]

parce que regardez :
si x = 3000 et x'= 3150 et p=5 pourcent
j'ai fait le calcul et ça marche :
x'= 3000*(1+5/100)=3150

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Oui, sauf que là tu n'as pas écrit x'=x(1+p), mais x'= x(1+t)

[invite340f0c11]

mais p=5 ou p=5/100 pour dire que le pourcentage est de 5 pourcent ?

[invite340f0c11]

en gros c'est x'=x(1+p/100) et x'=x(1+t)

??

[invite340f0c11]

comment je fais pour montrer que lnx'-lnx= ln(1+t) ?

[invite340f0c11]

oups ça j'ai trouvé je voulais dire pour trouver la limite quand t tend vers o de ln(1+t)/t =1

[invite93e0873f]

Étant donné la façon dont on a définit t, j'imagine que p vaut 5 si on a un taux de 5% (on a donc t = 5/100). Donc oui x' = x(1+t) et il te suffit de savoir que t = p/100 pour exprimer x' en fonction de x et p.

Sinon, ne te laisse pas impressionner par les logarithmes. Tu sais que (1+t) = x'/x. Fais le logarithme de chaque côté et tu y es (en utilisant une propriété bien utile du logarithme ayant pour argument une fraction).

[invite340f0c11]

merci beaucoup j'ai reussi

[invite93e0873f]

Ah ok. . Ainsi, et par continuité de la fonction ln cela égale . Il faut que tu reconnaisses ce que vaut cette dernière limite (peut-être cela te paraîtra plus clair si tu fais le changement de variable u = 1/t).

[invite340f0c11]

ça fait ln(0) ce qui est impossible

[invite986312212]

juste une remarque de vieux chnok: ln c'est bon pour les programmeurs, en maths on écrit log.

[invite93e0873f]

Non, ne vaut pas 0. En fait, sans connaître la réponse, on peut voir que ce n'est pas plus petit que 1 puisque u et 1/u sont positifs. Autrement, ayant déjà la réponse que cela doit valeur 1, à quoi devrait égaler cette limite pour que le logarithme naturel de cette limite donne 1?

[invite340f0c11]

lorsque le logarithme d'une variable économique x varie d'une faible quantité t, quelle interprétation pratique peut on donner sur l'evolution de x ?
j'ai dit que l'evolution de x varie rapidement mais je pense que c'est faux
???

[invite93e0873f]

Bon, je vais le dire, et on sait que .

Sinon, tu sais que si x varie d'une faible quantité t (si ), .

e⁰ valant 1, on voit que la variation est proche de 0 aussi, mais encore que l'exponentielle empêche d'avoir une bonne intuition de comment ça varie.

Là, je dis ça juste pour informations, mais on a pour t très proche de 0 sans nécessairement y être égal (l'égalité fonctionne) , d'où , en bonne approximation (mais t est vraiment proche de 0). Bref, tu vois que la variation de la variable économique x varie linéairement avec t pour t proche de 0. Cela vient du fait que ton rapport pour t proche de 0 (le logarithme croît quasi linéairement).