Sum of digits

[invitecceb1161]

Bonjour Soit x=123456789^123456789
et la fonctiond tel que d(n) représente la somme des chiffres de l'entier naturel n.
Alors calculer d(d(d(x))).
Bonne chance.
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[invite97a92052]

Bon, vu l'énoncé, je vais dire que ça vaut 10 (jsais pas, ça ferait bien )

Sérieusement, je ne vois vraiment pas comment m'y prendre (enfin, c'est peut-être pas de mon niveau...)

[invite14ea0d5b]

Bon, vu l'énoncé, je vais dire que ça vaut 10 (jsais pas, ça ferait bien )

Sérieusement, je ne vois vraiment pas comment m'y prendre (enfin, c'est peut-être pas de mon niveau...)

moi non plus, mais t'es surement pas loin vu que la réponse est <18 [je crois]

[invite97a92052]

Oui, je trouve pareil (inférieur à 18)
Et en prenant 4,5 pour valeur moyenne des chiffres, on trouve 9
Il suffit d'arrondir à 10 pour trouver 10

Bon, j'arrête ici le hors-sujet

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Bon, vu l'énoncé, je vais dire que ça vaut 10 (jsais pas, ça ferait bien )

La somme des chiffres d'un nombre divisible par 9 étant divisible par 9, 123456789 étant divisible par 9, je doute qu'on arrive à 10 ...

[invitedebe236f]

le calcul fait 998952457,2 chiffre soit 9*998952457,2
somme max 8990572115 somme max de 9999999999 -> 90

soit ca fait 9 puisque ca peut pas faire 18

[invited6139184]

Bonjour,

Il me semble que le chiffre de départ est 123456789 à la puissance 123456789 (et non multiplié par).

On imagine bien que ce nombre est énorme et comporte aussi un nombre de chiffres important. Or, si l'on considère que les chiffres sont répartis aléatoirement dans ce nombre, il y a à peu prés autant de 0 que de 1, que de 2, ...Etc.

Si l'on somme tous les chiffres de ce nombre (et sachant que l'addition de tous les chiffres de 0 à 9 font 45) celà revient à diviser le dit nombre par 45. Et donc, la fonction etant d(d(d(x))), ceci 3 fois soit, 45 puissance 3. Ce qui est un petit nombre par rapport à notre nombre de départ.

En tout cas, pour moi, la réponse serait de l'ordre de: nombre de départ divisé par 45 au cube. Donc je ne comprends pas comment vous pouvez trouver 10, 9, ou même 18 ?

Si je me trompe dans mon raisonnement, merci de me l'expliquer

[invite4793db90]

Bonjour et bienvenue sur le forum, Le_boulet!

Tu t'égares dans ton raisonnement: faire la somme des chiffres ne revient pas à diviser par 45. Par exemple le nombre 112233445566778899 contient le même nombre de fois les chiffres 1, 2, ..., 9. Mais la somme des chiffres (90) est très loin de 112233445566778899/45.

Cordialement.

PS: la réponse a été donnée par matthias.

[invitec314d025]

Il me semble que le chiffre de départ est 123456789 à la puissance 123456789 (et non multiplié par).

Oui, mais je ne crois pas que quiconque ait fait la confusion.

On imagine bien que ce nombre est énorme et comporte aussi un nombre de chiffres important. Or, si l'on considère que les chiffres sont répartis aléatoirement dans ce nombre, il y a à peu prés autant de 0 que de 1, que de 2, ...Etc.

Possible, mais ça n'a rien d'évident.

Si l'on somme tous les chiffres de ce nombre (et sachant que l'addition de tous les chiffres de 0 à 9 font 45) celà revient à diviser le dit nombre par 45.

Prends, 123456789, la somme de ses chiffres fait 45. Divise le par 45 et regarde si tu trouves une bonne approximation. Ca ne marche absolument pas.

[invited6139184]

Merci pour vos messages de bienvenue.

Ok, c'est idiot ce que j'ai dit (je savais bien que mon pseudo était bien trouvé !! )

En fait, mon raisonnement est faux à la fin. 4,5 n'est que le modulo qui relie la réponse, au nombre de digits du nombre de départ.

Soit un nombre de 10 chiffres -> 45,
20 chiffres 90
30 chiffres 135 ... Etc. Cette "loi" sera d'autant plus vraie que le nombre de digits sera important ...

Mais comment faites-vous pour connaître le nombre de digits du nombre "de départ" ?

[invitec314d025]

Mais comment faites-vous pour connaître le nombre de digits du nombre "de départ" ?

Donc a moins de chiffres
etc, etc.

[invited6139184]

Bon ben voilà !! J'ai compris.

Merci pour votre patience à tous.

[invitedf667161]

Comme a dit Matthias le nombre est divisible par 9, donc si tu fais la somme des chiffres assez de fois tu trouves 9.
Ensuite ça dépend quelle définition tu donnes à la fonction d, i.e. si on doit faire juste la somme des chiffres ou bien faire la somme des chiffres jusqy'à obtenir un nombre de un seul chiffre.
La deuxième semblerait mieux vu que tu réappliques la fonction d.
Maintenant est-ce que l'appliquer trois fois suffit à tomber sur 9, ça parait être un problème plus dur!

[invite4793db90]

Maintenant est-ce que l'appliquer trois fois suffit à tomber sur 9, ça parait être un problème plus dur!

Une "petite" majoration de d(n) suffit.



Ainsi d(d(d(123456789^123456789)))<1 8...

Cordialement.

[invitedf667161]

Trés jolie majoration Martini, moi qui me demandait toujours à quoi ca sert les log base 10, me voilà comblé.

[invited6139184]

Comme a dit Matthias le nombre est divisible par 9, donc si tu fais la somme des chiffres assez de fois tu trouves 9.
Ensuite ça dépend quelle définition tu donnes à la fonction d, i.e. si on doit faire juste la somme des chiffres ou bien faire la somme des chiffres jusqy'à obtenir un nombre de un seul chiffre.
La deuxième semblerait mieux vu que tu réappliques la fonction d.
Maintenant est-ce que l'appliquer trois fois suffit à tomber sur 9, ça parait être un problème plus dur!

Voilà ! Je savais bien que je ne comprenais pas tout ! Le problème, au départ, était de ne réitérer que 3 fois le processus, justement. Et, je suis désolé, dans ce cas, je ne pige pas la solution !

Excusez-moi, je ne suis pas un matheux, je ne suis qu'un curieux !

Combien de réitations sont-elles nécessaires pour aboutir à 9, dans un cas général ?

[invitec314d025]

Voilà ! Je savais bien que je ne comprenais pas tout ! Le problème, au départ, était de ne réitérer que 3 fois le processus, justement. Et, je suis désolé, dans ce cas, je ne pige pas la solution !

Excusez-moi, je ne suis pas un matheux, je ne suis qu'un curieux !

Combien de réitations sont-elles nécessaires pour aboutir à 9, dans un cas général ?

Tu peux soit faire le calcul "à la main" en partant de ce que je t'ai montré, ou mieux réfléchir au message de martini (la majoration te montre qu'en appliquant d successivement, la décroissance est très rapide).
Le principe de base est toujours le même. Tu majores ton nombre par une puissance de 10. Tu connais le nombre de chiffres exact d'une puissance de 10. Ensuite tu considères que chacun de ces chiffres est inférieur ou égal à 9, ce qui te donne une majoration de la somme des chiffres.

[invite4793db90]

Combien de réitations sont-elles nécessaires pour aboutir à 9, dans un cas général ?

Tout dépend, mais si le nombre de départ est choisi au hasard, c'est beaucoup plus dur! D'ailleurs je ne pense pas qu'il y ait de méthode autre que ad hoc pour ce genre de problème.

Cordialement.

EDIT: grillé par matthias, qui doit savourer sa victoire!

[invited6139184]

Merci !! Maintenant j'ai compris parfaitement !
( j'ai un peu honte pour mon coup de la division par 45 !!!)

A bientôt.

[invitecceb1161]

enfin je suis arrivé, oui il fallait utiliser log(x).
En fait on fait :
Soit X=123456789^123456789
Donc sait que X = d(X) [9] (1)
X a n chiffres, où n = floor(log(X))+1 = floor(123456789*log(123456789) )+1 = 998952458
or d(X)_max = 998952458*9 = 8990572122
Donc d(X) <= 8990572122
Donc d(d(X)) <= (7+9+9+9+9+9+9+9+9+9) = 88
Donc d(d(X)) <= 7+9 = 16
Donc d(d(d(X))) <= 9
Or X = d(d(d(X))) [9] d'après (1)
Comme 9|123456789 , donc 123456789^123456789 = 0[9]
Or d(d(d(X)) ne peut pas être égal à 0 , donc on a finalement:
d(d(d(X))=9.
Voilà, ai-je faux ?

[invitecceb1161]

rectification :

enfin je suis arrivé, oui il fallait utiliser log(x).
En fait on fait :
Soit X=123456789^123456789
Donc sait que X = d(X) [9] (1)
X a n chiffres, où n = floor(log(X))+1 = floor(123456789*log(123456789) )+1 = 998952458
or d(X)_max = 998952458*9 = 8990572122
Donc d(X) <= 8990572122
Donc d(d(X)) <= (7+9+9+9+9+9+9+9+9+9) = 88
Donc d(d(d(X))) <= 7+9 = 16
Or X = d(d(d(X))) [9] d'après (1)
Comme 9|123456789 , donc 123456789^123456789 = 0[9]
Or d(d(d(X)) ne peut pas être égal à 0 , donc on a finalement:
d(d(d(X))=9.
Voilà, ai-je faux ?

[invite14ea0d5b]

ben la réponse à déjà été donnée, oui c'est 9 (et ton raisonnement est juste)

[invited6139184]

Bonsoir,

C'est marrant le formalisme mathématique que vous avez !
Je veux dire dans les notations: du genre "floor", "max", ...Etc.

Je n'ai pas un grand niveau en maths, disons (maths sup)/2 d'il y a 27 ans, mais je n'avais jamais vu cette notation !

C'est nouveau ou vous utilsez des termes de language informatique, juste entre vous ??

(Je sais que ma question est un peu hors-sujet, mais je ne voulais pas créer un topic juste pour çà.)

[invitec314d025]

Bonsoir,

C'est marrant le formalisme mathématique que vous avez !
Je veux dire dans les notations: du genre "floor", "max", ...Etc.

Je n'ai pas un grand niveau en maths, disons (maths sup)/2 d'il y a 27 ans, mais je n'avais jamais vu cette notation !

C'est nouveau ou vous utilsez des termes de language informatique, juste entre vous ??

(Je sais que ma question est un peu hors-sujet, mais je ne voulais pas créer un topic juste pour çà.)

Ce ne sont pas spécifiquement des termes de langage informatique en fait. "max" désigne usuellement le maximum d'un ensemble. "floor" signifie plancher en anglais et je crois que les anglo-saxons l'utilisent en mathématiques, ce qui explique qu'on le retrouve dans les calculatrices et les langages informatiques. C'est vrai qu'en France on utilise plutôt les parties entières (différence pour les nombres négatifs).

[invited6139184]

D'accord. Mais est-ce que ces termes sont "autorisés" dans le formalisme mathématique à la française ? Je veux dire, par exemple, dans la copie qu'un élève rend à son prof.

Promis, après j'arrête de vous poser des questions hors-sujet ...

[invitec314d025]

D'accord. Mais est-ce que ces termes sont "autorisés" dans le formalisme mathématique à la française ? Je veux dire, par exemple, dans la copie qu'un élève rend à son prof.

"max" oui, pas de problème (pas comme Yalcin l'a utilisé, mais max(E) où E est un ensemble admettant un maximum)
"floor" je ne pense pas.

[invite4793db90]

D'accord. Mais est-ce que ces termes sont "autorisés" dans le formalisme mathématique à la française ? Je veux dire, par exemple, dans la copie qu'un élève rend à son prof.

Promis, après j'arrête de vous poser des questions hors-sujet ...

Salut,

la notation "floor" est surtout utilisée en informatique: on préfère des crochets en maths. Sinon max est une notation standard pour désigner le maximum d'un ensemble ordonné, pourvu qu'il existe.

Cependant, dans la mesure où l'on définit clairement ses propres notations, qu'elles restent cohérentes, et sutout que l'on accompagne ses formules de texte, ça ne pose pas plus de problème que ça.

Cordialement.

EDIT: grillé par Nattias.

[invited6139184]

Merci à (N)atthias et à (N)artini, pour vos réponses ...

De mon temps (Mince, j'ai l'impression d'être un vieux crouton !), Il fallait être vachement rigoureux sur le formalisme !!

Bon, comme promis, je ne vous embête plus ... Enfin, pas tout de suite