Un bifton, fiston?

[invite76e2b617]

C'est la fin de l'année et la grand-mère du petit Bartini-Nird, qui est trés joueuse, s'approche de son petit-fils et lui présente 2 enveloppes rigoureusement identique.

"Cette année pour tes étrennes, tu as le choix entre ces 2 enveloppes: l'une contient X Euros et l'autre 2X Euros, voyons si tu as de la chance."

Bartini prend une enveloppe, s'appréte à l'ouvrir, hésite, et déjà mathématicien dans l'âme, tente un raisonnement:

Admettons que cette enveloppe contienne Y Euros (je ne sais pas si Y=X ou Y=2X), il y a une chance sur deux pour que l'autre enveloppe contienne 2Y Euros ou 1/2Y Euros, l'espérance de gain
pour cette enveloppe est donc de 1/2*2Y+1/2*1/2Y=1.25Y Euros.

Damned, 1.25Y>Y, Mémé essaie de me rouler, il faut que je choisisse l'autre enveloppe!
Oui mais alors...si j'avais d'abord choisi l'autre enveloppe et fait le même raisonnement...

"Houla, Mémé, attends 2 secondes, faut que j'appel mon copain Nattias."

Qu'est ce qui ne va pas ?

Toufou
-----

[invitec314d025]

la grand-mère du petit Bartini-Nird

mon copain Nattias."

Bizarrement ces noms me disent vaguement quelque chose

Sinon ce problème (ou paradoxe pour certains) est assez connu. Comme quoi, il faut faire TRES attention quand on manipule des probas.

[invite76e2b617]

Pourtant ça parait imparable !?
D'ailleurs, je ne comprends pas super bien comment lever le paradoxe.

[invitec314d025]

Pourtant ça parait imparable !?
D'ailleurs, je ne comprends pas super bien comment lever le paradoxe.

Essayons de faire ça rigoureusement et pas à pas.
Avant de calculer des espérances mathématiques, il faudrait déjà définir de manière explicite et sans ambiguïté un espace probabilisé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76e2b617]

Euh, j'dirais X et 2X avec une proba d'1/2, non?

[invitec314d025]

Euh, j'dirais X et 2X avec une proba d'1/2, non?

Mais dans ton calcul, tu n'écartes pas la possibilité d'avoir X/2 ...

[invite76e2b617]

Mais c'est Y/2 pas X/2, au final j'ai soit X soit 2X, jamais X/2.

[invitec314d025]

Admettons que cette enveloppe contienne Y Euros (je ne sais pas si Y=X ou Y=2X), il y a une chance sur deux pour que l'autre enveloppe contienne 2Y Euros ou 1/2Y Euros, l'espérance de gain
pour cette enveloppe est donc de 1/2*2Y+1/2*1/2Y=1.25Y Euros.

Si Y=X, alors Y/2 = X/2
Si Y=2X, alors 2Y = 4X
Dans tous les cas tu introduis des probabilités non nulles pour des valeurs différentes de X et 2X dans ton calcul de l'espérance.

[invite76e2b617]

je comprends pas grand chose, je réfléchi et je reviens !

[invite76e2b617]

Ouais ok, j'vois le problème. Le raisonnement n'a pas de sens car il revient à donner une même proba à une infinité de cas. Ce qui est impossible, car alors la somme des proba serait supérieur à 1 !!!
C'est ça ?

[invitec314d025]

Ouais ok, j'vois le problème. Le raisonnement n'a pas de sens car il revient à donner une même proba à une infinité de cas. Ce qui est impossible, car alors la somme des proba serait supérieur à 1 !!!
C'est ça ?

Oui en gros ça revient à ça.

Ce qui m'énerve c'est que j'ai vu ce pseudo-paradoxe expliqué par un pseudo-philosophe dans une revue scientifique. Il prétendait que les mathématiciens n'étaient pas d'accord entre eux sur ce problème, qui restait donc selon lui un véritable paradoxe.

[invite76e2b617]

Tiens, du coup, j'me demande: ça existe vraiment les paradoxes en mathématiques ? ça parait incompatible, non ? Vous en connaissez des vrais ?

[invite4793db90]

Salut et bienvenue,

quand on parle de paradoxe, il faut considérer ce mot du point de vue étymologique: est paradoxal ce qui va à l'encontre de l'opinion générale. Parmi les plus célèbres, il y a le paradoxe de Banach-Tarski.

Cordialement.

[invite76e2b617]

Et zut, j'arrive pas à dormir...
J'étais trés content de mon post #10, mais si la somme d'une infinité de cas ayant la même proba est supérieur à 1, alors ça revient à dire que l'équiprobabilité est impossible sur un ensemble infini, non?
Quoi, qu'est-ce ?! L'infini n'est pas pour l'égalité des chances ?!?
Y a un surement un truc qui m'échappe... le sommeil surement...

[invite76e2b617]

Aaarrff, quelle Quiche...
En plus Matthias, avait déjà répondu avec la notion d'espace probabilisé.
En fait, c'est le truc du calcul de proba avec la cible et la fléchette, il faut raisonner sur des intervalles. Il n'y a pas de loi uniforme sur les entiers, mais cela ne veut pas dire que l'on ne peut pas "ramener" cette loi sur des ensembles infinis, il suffit de passer chez nombres réels. Dés fois, j'me fait peur !
Au fait, Martini, c'est démentiel le truc d'Hamach et Starsky, euh... Banach et Tarski veux-je dire.