dénombrement avec répétitions "limitées"

[invite4fffd1f6]

Salut à tous

Je ne suis pas étudiant en maths, mais j'ai actuellement un probleme qui pourrait etre transposé comme cela :

Soit un zoo avec 10 emplacements numérotés pouvant contenir 1 animal chacun.
Il y a 3 classes d'animaux (avec des sous classes espèces)
classe 1 félins : lion, tigre, leopard
classe 2 singes : macaque, chimpanzé
classe 3 oiseau : perroquet

La question est : combien d'arrangements possibles (l'ordre compte) existe t il, en sachant qu'au total il y aura 4 félins, 4 singes, et 2 oiseaux.

Je suis un peu perdu, car ce n'est ni arrangement sans répétitions, ni arrangements avec répétition, et en plus il y a des classes et des sous classes...

merci pour votre précieuse aide !
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[Hamb]

pour ce dénombrement, vois la chose ainsi :
pour placer tes animaux, il faut d'abord choisir les 4 cages ou il y aura un félin, puis les 4 ou il y aura un singe. (les 2 qui restent sont celles des oiseaux).
ensuite, il faut pour chaque cage choisir l'animal de la classe correspondante.

[invite4fffd1f6]

merci Hamb. En fait j'ai trouvé la réponse (C(4,10)*C(4,6)*3^4*2*4*1^2), mais la question était incomplète :

Les enclos numérotés de 1 à 10 sont également classés par taille : 3 enclos de 2m², 5 enclos de 3m² et 2 enclos de 4m²

Donc en fait, l'ensemble N=10 est lui meme subdivisé en 3 sous ensembles de 3,5, et 2.

Exemple : 2 félins et un singe dans les enclos de 2m², 3 singes et 1 oiseau dans les enclos de 3m², et 1 félin et 1 oiseau dans les enclos de 4m²
On ne différencie pas les différents "ordres" de chaque classe d'animaux au sein d'un meme enclos :
{lion tigre lion} dans les enclos de 2m² sera identique a {lion lion tigre} et {oiseau macaque lion} est équivalent à {macaque lion oiseau}


Question finale : combien y a t'il de combinaisons différentes avec ces sous ensembles, respectant la condition 4 félins, 4 singes et 2 oiseaux ?

[Hamb]

c'est le meme type de raisonnement, tu répartis tes animaux dans les cages sans t'occuper des tailles, et apres tu divises par les nombres de permutations au sein d'un groupe de taille donnée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4fffd1f6]

merci hamb. Je crois comprendre ce raisonnement, mais je crois aussi qu'il y a un hic : cela suppose de savoir a l'avance quels animaux et combien il y en a dans chaque groupe de taille, mais je ne le sais pas !

[Hamb]

regarde, dans le premier cas (sans les enclos) tu obtenais un nombre A de possibilités. maintenant tu supposes que tes 10 cages sont séparées en 3 groupes de taille (2,3 et 4m²) de cardinaux respectifs 3 5 et 2.
ta nouvelle condition (si j'ai bien compris ta question) est que si a partir d'une reapartition donnée on permute les animaux a l'intérieur d'un des 3 groupes de cages, alors la configuration obtenue est considérée comme équivalente.
sans trop formaliser, etant donnée une configuration, le nombre de configurations equivalente que tu peux former est obtenu en choisissant une permutation pour chaque groupe de cages, ce qui en fait 3!*5!*2!
Donc tu obtiens en regroupant les configurations equivalentes A/(3!*5!*2!) possibilités.