Biholomorphisme de C

[invitea41c27c1]

Bonjour,

Quelqu'un aurait-il une indication pour montrer que les biholomorphismes de C sont les applications affines non constante ? (une piste suffira)

Merci.
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[invitea41c27c1]

Je réitère ma question. Merci pour toute réponse.

[thepasboss]

Bonsoir,

Tu peux étudier l'application g qui à z associe f(1/z) ou f est un biholomorphisme de C, et ensuite montrer que le pôle en zéro de f n'est pas une singularité essentielle.

Ensuite en utilisant un développement en série de Laurent en zéro de g tu devrais t'en sortir ^^ (en t'arrangeant pour déduire le développement en série de Laurent de f de celui de g, ce qui n'est pas très dur).

[invitea41c27c1]

Ok ça roule. Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

Une question sur ta solution : comment démontres-tu que la singularité n'est pas essentielle ? Moi, j'utilise le théorème de Picard, mais c'est un théorème compliqué. As-tu une méthode plus simple ?

Merci.

[thepasboss]

Hum une version allégé du théorème de picard, le Théorème de Weierstrass-Casorati qui dit que tout voisinage de la singularité a une image dense dans C par f <=> la singularité est essentielle

Sinon la méthode que tu emplois doit revenir au même ensuite (dire que l'image par g de C\D(0,r) est un ouvert ( D est prit fermé ici ), et comme g est bijectif de C \ {0} dans C \ {f(0)} alors, l'image de D(0,r) par g ne contient pas une boule ouverte, et donc n'est pas dense dans C )