Exercice scilab

[invite66d3397b]

Bonjour,

j'ai un exercice à faire très rapidement dont je ne trouve pas la réponse. Pouvez-vous m'aider ?


On propose de refaire une expérience numérique spectaculaire qui a contribué

à mettre en lumière un phénomène physique compliqué, le chaos.

En simplifiant des modèles issus de la météorologie, on obtient un système

(dépendant de trois paramètres : sigma, b et r) de trois équations, à trois inconnues
: x, y et z, ces inconnues sont fonctions du temps t.

.
x = sigma (y ? x)
.
y = ?x z + r x ? y
.
z = x y ? b z
.
ou' sigma, r et b sont des réels positifs et x représente la dérivée partiel(x)/dérivée partiel(y)... Il s'agit de montrer sur cet exemple simple, l'effet papillon :

le vol d'un papillon dans le ciel d'Amazonie, influe sur les déplacements d'air au dessus de

la tour Eiffel.

(a) Calculer x, y et z sur un intervalle de temps [0, T] assez grand (à vous de définir T !).

Représentez x(t), y(t), et z(t).
. .
(b) Représenter aussi y(x), z(x), z(y), x(x), z(z).
On pourra prendre sigma = 10, b = 8/3 , (x0, y0, z0) = (0, 1, 0).
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[invite6a7988bf]

Bonjour


Quelle est ta question ?

[invite66d3397b]

Ben en fait pour l'instant j'ai fait ça :
function Y=F(X);
X=[X(1);X(2);X(3)];
X(1)=sigma*(X(2)-X(1)); X(2)=-x*z+r*x-y; X(3)=x*y-b*z;
t=0:0.1:T
X0=[0;1;0]
endfunction

En fait x=X(1), y=X(2), z=X(3)

Je pense que c'est par là qu'il faut commencer mais je bloque...

[invite66d3397b]

Oups je voulais dire function Y=F(X);
X=[X(1);X(2);X(3)];
Y(1)=sigma*(X(2)-X(1)); Y(2)=-X(1)*X(3)+r*X(1)-X(2); Y(3)=X(1)*X(2)-b*X(3);
t=0:0.1:T
X0=[0;1;0]
endfunction

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a7988bf]

Tu poses "function Y=F(X)" (je précise, sans ";" )

Donc "Y" est la valeur de retour de ta fonction, or je ne la vois nulle part ailleurs. Il faut avoir à la fin de ta fonction "Y = ..."


On peut écrire une fonction de cette manière, mais il existe en scilab "deff" qui permet d'écrire des fonctions mathématiques plus simplement et de manière plus condensé (voir cours 8 exemple 1).

As-tu compris qu'il s'agit d'un système d'équation différentielle ? (voir cours 9 première page) "x" avec un point au dessus est signifie "dx/dt" dans cet exo.

[invite6a7988bf]

function Y=F(X);
X=[X(1);X(2);X(3)]; // cette ligne est inutile
Y(1)=sigma*(X(2)-X(1)); Y(2)=-X(1)*X(3)+r*X(1)-X(2); Y(3)=X(1)*X(2)-b*X(3);
t=0:0.1:T // attention, la variable "t" n'est utilisable qu'à l'intérieur de la fonction, il vaut mieux rentrer cette donnée directement dans la console. De toute façon, ces information ne sont utiles que pour la résolution du système à l'aide de "ode"
X0=[0;1;0] // même chose
endfunction

et r sigma et b ?

[invite66d3397b]

Les valeurs de sigma, et sont données dans l'exercice par contre combien dois je prendre pour r ?

[invite66d3397b]

Voila ce que j'ai fait, j'ai pris r=2
Par contre je n'ai pas répondu à la question calculer x,y et z. Comment dois-je faire ? En tout cas, merci de tes réponses !

sigma=10;
b=8/3;
r=2;
T=10;
deff('dx=fct(t,x)','dx(1)=sigm a*(x(2)-x(1));dx(2)=-x(1)*x(3)+r*x(1)-x(2);dx(3)=x(1)*x(2)-b*x(3)')
t0=0;
x0=[0;1;0];
t=0:0.1:T ;
z=ode(x0,t0,t,fct);

plot(t,z(1,: ))
plot(t,z(2,: ))
plot(t,z(3,: ))

[invite6a7988bf]

C'est un paramètre supplémentaire. A toi de tester pour différentes valeurs, en faisant un "plot".

[invite6a7988bf]

Que représente "z(1,: )" ?

[invite66d3397b]

z(1,: ) veut dire que tu prends la première ligne de z c'est-à-dire ici dx(3)
C'est ce qui est marqué dans le cours 9

[invite6a7988bf]

"z" est une matrice de trois lignes et, d'après la taille de "t", de 101 colonnes.

"z" est aussi solution de ton système d'équation différentielle.

Donc z(1,: ) i.e. la première ligne de "z" représente...

[invite66d3397b]

dx(1) je voulais dire...

[invite66d3397b]

Si je fais disp(z(1,: )) ca me donne les solutions de dx1 non ?

[invite6a7988bf]

lis attentivement la première page du cours 9, tu as x(t) = z(1,: )

[invite66d3397b]

J'ai relu et je ne vois où c'est écrit. Pour moi c'est z(1,=dx(t)

[invite6a7988bf]

Déjà dx(t)/dt = sigma(y(t) - x(t)), et rien d'autre.

Et si je lis le cours :

"... z=ode(y0,t0,t,fct) permet de calculer et de stocker dans la variable z les solutions du système d’équations différentielles(d’inconnues y1 et y2) [...]
aux instants t = 0, 0.1, 0.2, ... , jusqu’à t = 10.

Pour tracer ensuite y1 en fonction de t, on pourra taper plot(t,z(1, : ))"

y1 = z(1, : ) voila tout.